殷春武

（西京學(xué)院，西安710123）

自J.M.Bates和C.W.J.Granger在上世紀(jì)60年代證明了2種或2種以上無偏的單項預(yù)測可以組合出優(yōu)于每個單項的預(yù)測結(jié)果,即組合預(yù)測方法能克服單個預(yù)測模型的局限性，集結(jié)更多的有用信息并有效地提高預(yù)測的精度后，組合預(yù)測逐漸成為專家和學(xué)者研究中運用的主要方法【1-3】。組合預(yù)測的主要思想是將各種單一預(yù)測模型通過加權(quán)集結(jié)從而得到最終的預(yù)測結(jié)果，在組合預(yù)測模型的研究中，現(xiàn)在主要的研究方向是如何來確定各單個預(yù)測模型的權(quán)重【2】。

關(guān)于單個預(yù)測模型的權(quán)重的研究經(jīng)過各學(xué)者的研究，已經(jīng)有了一定的研究成果，基于不同的考慮得到不同的加權(quán)系數(shù)的權(quán)重確定模型，并在實際應(yīng)用中得到了較好的運用。但是通觀現(xiàn)有組合預(yù)測研究可以發(fā)現(xiàn)，在確定各單個預(yù)測模型的權(quán)重的時候并沒有考慮到歷史數(shù)據(jù)的新舊程度對建立模型的影響。即對于某一社會經(jīng)濟(jì)問題，由于受到市場環(huán)境、社會環(huán)境及國家宏觀調(diào)控政策等方面的影響，近期的數(shù)據(jù)對于最終的預(yù)測結(jié)果的影響程度肯定要比遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)的影響程度要大，所以在對后期數(shù)據(jù)的預(yù)測建模過程中，應(yīng)該對于所采集的歷史數(shù)據(jù)的不同時期給與不同的權(quán)重，這樣建立的組合預(yù)測模型更符合實際情況，且預(yù)測模型的實用性和精度會進(jìn)一步提高。

本文將充分考慮新舊歷史數(shù)據(jù)對模型精度的影響程度的不同，給出一種加權(quán)殘差平方和最小的最合預(yù)測模型組合權(quán)重確定模型，并基于離散情況下，給出組合權(quán)重確定模型。

1 基于時間權(quán)重的組合預(yù)測模型組合權(quán)重確定模型的建立

針對某一預(yù)測問題，采集到歷史數(shù)據(jù)為X=(x(1),…,x(n))T，設(shè)預(yù)測對象存在m個單項預(yù)測方法，利用這m個單項預(yù)測方法得到的第i個單項預(yù)測方法的預(yù)測值為fi,i=1,2,…,m。組合預(yù)測的基本形式為

其中，w1,w2,…,wm為各種預(yù)測方法的加權(quán)系數(shù)。第i個單項預(yù)測方法第t時刻的預(yù)測值為fi(t)(i=1,2,…,m)。

1.1 組合加權(quán)系數(shù)恒大于零的不合理性分析

在現(xiàn)有學(xué)者關(guān)于組合預(yù)測權(quán)重確定模型中，一般都事先假設(shè)加權(quán)系數(shù)滿足條件其實這是不合理的，假設(shè)第t時刻的歷史數(shù)據(jù)值為x(t)，而采用m種單項預(yù)測方法后，第t時刻的模擬值為fi(t)，如果每一種單項預(yù)測方法的模擬值都滿足fi(t)≥x(t)，且加權(quán)系數(shù)滿足，則組合模擬值

即f(t)≥x(t)，此式表明將單一預(yù)測方法的模擬值進(jìn)行加權(quán)組合后的組合預(yù)測值肯定是不小于原來的建模數(shù)據(jù)，這與實際生活中要求組合預(yù)測值和建模數(shù)據(jù)相等是不符的。而要使得組合模擬值和建模數(shù)據(jù)相等，只能是要求加權(quán)系數(shù)可正可負(fù)。

定理1組合預(yù)測模型的組合加權(quán)權(quán)重可正可負(fù)。

1.2 時間權(quán)重的探討

在利用歷史數(shù)據(jù)建模的過程中，一般離建模時間越近的歷史數(shù)據(jù)對后期的預(yù)測結(jié)果影響程度越大，離建模時間越遠(yuǎn)的歷史數(shù)據(jù)對建模結(jié)果的影響程度越小，故在建模的時候應(yīng)該考慮時間的時效性，為了能反映出歷史數(shù)據(jù)的新舊程度對建模結(jié)果的影響程度，可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的時間先后順序?qū)Ω鲿r間段的歷史數(shù)據(jù)賦予一定的權(quán)重，即時間權(quán)重，下面給出其定義。

定義1 設(shè)ρ（t）為第t時期的歷史數(shù)據(jù)對模型精度的影響程度的權(quán)重，則稱ρ（t）為時間權(quán)重。

時間權(quán)重函數(shù)ρ（t）主要是反映第t時期的歷史數(shù)據(jù)的對預(yù)測模型精度的影響程度，則時間權(quán)重應(yīng)該是一個正數(shù)。考慮到在建模過程中，雖然新舊數(shù)據(jù)對建模結(jié)果影響程度上的差別存在，但是相鄰兩個數(shù)據(jù)的貢獻(xiàn)程度差別不應(yīng)該過大，即時間權(quán)重ρ（t）的增加也不能夠增加過快，應(yīng)該是一個比較平緩。其次，雖然隨著t的推移，ρ（t）是逐漸增加的。但是當(dāng)t無限增大的時候，最開始的歷史數(shù)據(jù)和最后面的歷史數(shù)據(jù)的貢獻(xiàn)程度也不能相差太遠(yuǎn)，否則最開始的歷史數(shù)據(jù)就可以忽略不計了，這與采集該歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的原理相違背。故當(dāng)t無限增大的時候ρ（t）的取值也不能過于太大，綜合考慮各方面的因素，時間權(quán)重函數(shù)ρ（t）應(yīng)該滿足條件：0＜ρ（t）＜1。

同時在時間權(quán)重的確定過程中，時間權(quán)重和組合預(yù)測的權(quán)重確定是相互有聯(lián)系的，應(yīng)該組合權(quán)重同時確定。同時在確定組合預(yù)測模型的權(quán)重向量w=(w1,w2,…,wm)的過程中，考慮到最后預(yù)測的值應(yīng)該和實際采集到的數(shù)據(jù)的殘差δt=f(t)-x(t)的平方和盡可能的小，為此，在考慮歷史數(shù)據(jù)新舊程度不同對模型精度影響程度大小不同的情況下，建立如下加權(quán)殘差平方和最小的組合預(yù)測權(quán)重確定模型

在時間權(quán)重ρ（t）給定后，通過極值的原理可以計算出組合權(quán)重的計算公式。

2 模型的求解

基于時間權(quán)重的加權(quán)殘差平方和最小的組合預(yù)測權(quán)重確定模型給定后，下面運用極值最小的方法來確定該組合權(quán)重。對目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量wk,(k=1,2,…,m)求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)等于零，則得到如公式

為便于計算，將上面的式子寫成矩陣的形式，則有

X=(x(1)x(2)…x(n))T,W=(w1,w2,…,wm)T

則上面的矩陣可以表示成FPFTW=FPX從而得到最終的基于時間權(quán)重的組合加權(quán)權(quán)重計算公式為

W=(FPFT)-1FPX

定理2基于時間權(quán)重向量ρ（t）的殘差加權(quán)平方和組合預(yù)測加權(quán)權(quán)重為

W=(FPFT)-1FPX

3 結(jié)語

在以往的組合預(yù)測建模過程中，從未考慮到新的歷史數(shù)據(jù)對預(yù)測模型的影響程度比成舊數(shù)據(jù)對預(yù)測模型的影響程度要大這個因素。本文充分考慮到時間因素對預(yù)測模型的影響，建立了帶有時間權(quán)重的組合預(yù)測加權(quán)系數(shù)確定模型，該模型充分考慮了預(yù)測模型建模過程中歷史數(shù)據(jù)的時效性。同時，確定時間權(quán)重時，在充分分析實際需求的前提下給出了時間權(quán)重函數(shù)應(yīng)該滿足的條件，并基于其所滿足的條件給出了一個時間權(quán)重函數(shù)。通過實例計算分析發(fā)現(xiàn)，運用本文所給的模型所得的組合預(yù)測方法能有效提高預(yù)測精度。

[1] Tang Xiaowo,Zhou Zongfang,Shi Y.The Error Bounds of Combined Forecasting[J].Mathematical and Computer Modelling,2002,36(9).

[2] 陳華友.基于相關(guān)系數(shù)的優(yōu)性組合預(yù)測模型研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報,2006,21(4).

[3] 陳華友,趙佳寶，劉春林.基于灰色關(guān)聯(lián)度的組合預(yù)測模型的性質(zhì)[J].東南大學(xué)學(xué)報，2004,34(1).