劉延斌 李志松 韓建海

河南科技大學(xué)，洛陽，471003

0 引言

奇異位形是機(jī)構(gòu)的工作空間中存在無法運(yùn)動(dòng)或瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)無法確定的位形。在奇異位形附近，機(jī)構(gòu)的剛度、精度等性能指標(biāo)都會(huì)變差。相對(duì)于串聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形更為豐富、復(fù)雜，因此如何規(guī)避或消除奇異是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究領(lǐng)域的一個(gè)難題。冗余驅(qū)動(dòng)方法是目前提出的減少或消除奇異的一種有效方法。該方法通常是在正常機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上將一部分被動(dòng)關(guān)節(jié)變?yōu)橹鲃?dòng)關(guān)節(jié)，或者在保證機(jī)構(gòu)自由度不變的前提下，增加新的支鏈，并在該支鏈上引入冗余驅(qū)動(dòng)［1］。前者雖然簡單，但由于在被動(dòng)關(guān)節(jié)上添加驅(qū)動(dòng)器會(huì)增大系統(tǒng)的慣性或質(zhì)量，從而影響機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能；后者由于引入新的支鏈，無疑也增加了機(jī)構(gòu)的復(fù)雜性，但該方法可以較容易地將驅(qū)動(dòng)器安裝在固定基座上，可保證機(jī)構(gòu)的對(duì)稱性，并能解決運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的多解性問題，所以通過引入新支鏈的冗余驅(qū)動(dòng)方法更具優(yōu)越性。

目前，人們的研究主要集中在冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)所具有的性能、性能評(píng)估、驅(qū)動(dòng)力優(yōu)化、基本原理，以及基于某些性能的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面［2－13］。然而對(duì)如何從機(jī)構(gòu)方面設(shè)計(jì)性能最優(yōu)的冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)關(guān)注的卻不多。對(duì)于第二種冗余驅(qū)動(dòng)方法來說，引入何種結(jié)構(gòu)形式的支鏈，如何布置冗余支鏈，如何最少地引入支鏈來消除奇異等關(guān)鍵問題，目前的文獻(xiàn)幾乎都沒有系統(tǒng)地加以闡述和解決。

本文依據(jù)螺旋理論提出了一種基于非瞬時(shí)支鏈位形設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)內(nèi)部奇異消除方法，然后以3－RRR型、4－RPTR型和3－RRRT型并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例闡述了該方法的設(shè)計(jì)過程。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的分類及特點(diǎn)

1.1 約束奇異

根據(jù)螺旋理論，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每一支鏈對(duì)其動(dòng)平臺(tái)都會(huì)有一個(gè)或多個(gè)約束螺旋（六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)除外）。若這些力螺旋的獨(dú)立個(gè)數(shù)為r，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為6－r，而當(dāng)機(jī)構(gòu)處于某些特殊位形時(shí)，這些力螺旋的獨(dú)立個(gè)數(shù)降為s（s＜r），此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生約束奇異。該奇異位形可能發(fā)生在工作空間內(nèi)部，也可能發(fā)生在工作空間邊界。

1.2 驅(qū)動(dòng)奇異

正常情況下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每一支鏈對(duì)其動(dòng)平臺(tái)都會(huì)有一個(gè)驅(qū)動(dòng)螺旋，如果約束螺旋不降秩，而所有驅(qū)動(dòng)螺旋和約束螺旋合在一起的秩小于6時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生驅(qū)動(dòng)奇異。該奇異位形大多發(fā)生在工作空間內(nèi)部，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能影響較大。

1.3 支鏈奇異

并聯(lián)機(jī)構(gòu)在某些特殊位形下，若支鏈中的驅(qū)動(dòng)螺旋與驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)螺旋互易積為零，則機(jī)構(gòu)發(fā)生支鏈奇異，此時(shí)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生新的約束螺旋，動(dòng)平臺(tái)將失去某些自由度。支鏈奇異一般發(fā)生在工作空間邊界，因此對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能影響不太大。

綜上所述，約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異位形一般發(fā)生在工作空間內(nèi)部，不易規(guī)避，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能影響最為嚴(yán)重，這里暫且將這兩類奇異稱為內(nèi)部奇異。支鏈奇異位形大多發(fā)生在工作空間邊界，容易規(guī)避，對(duì)機(jī)構(gòu)性能影響不是很大，所以本文主要研究約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異位形的消除方法，而對(duì)支鏈奇異暫不考慮。

2 基于非瞬時(shí)支鏈位形設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)內(nèi)部奇異消除

根據(jù)螺旋理論，約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異難以消除的主要原因是約束螺旋和驅(qū)動(dòng)螺旋的位形變化復(fù)雜、難以把握，其秩得不到有效控制。因此在整個(gè)工作空間內(nèi)，如果我們能夠使一部分支鏈約束螺旋和驅(qū)動(dòng)螺旋的位形具有確定性或可控性，那么就可以有目標(biāo)地消除部分甚至全部的奇異位形?；谶@個(gè)思路，我們提出一種基于非瞬時(shí)支鏈位形設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)內(nèi)部奇異消除方法，該方法具體步驟如下：

（1）分析機(jī)構(gòu)約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異位形。

（2）引入新支鏈，使其與原支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋和約束螺旋保持相對(duì)確定的位形。引入新支鏈應(yīng)遵循如下兩個(gè)原則：①使新引入的每一支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋和原機(jī)構(gòu)中一個(gè)或更多支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋保持某種確定位形，或是相交，或是保持空間關(guān)系（不相交也不平行）；②新支鏈的約束螺旋與所有原支鏈的約束螺旋相關(guān)，即不能改變動(dòng)平臺(tái)的自由度數(shù)目。

（3）根據(jù)原機(jī)構(gòu)的奇異位形合理布置新支鏈，以最大限度地消除內(nèi)部奇異為目標(biāo)確定所需最少支鏈個(gè)數(shù)。

下面以三種典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為設(shè)計(jì)實(shí)例，闡述該方法的具體實(shí)施過程。

2.1 3－RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的內(nèi)部奇異消除

圖1所示為一種經(jīng)典實(shí)用的3－RRR型平面三自由度（沿X軸、Y軸的平動(dòng)和繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)）并聯(lián)機(jī)構(gòu)。與基座連接的3個(gè)R副為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，當(dāng)不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，每一支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)均有3個(gè)約束螺旋和1個(gè)驅(qū)動(dòng)螺旋，如圖2所示，其中，＄f為約束力矢，、為2個(gè)約束力偶，＄a為驅(qū)動(dòng)螺旋。當(dāng)支鏈奇異時(shí)，驅(qū)動(dòng)螺旋消失，支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)會(huì)存在4個(gè)約束螺旋，其中，＄fn為增加的約束力矢，如圖3所示。

圖1 3－RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖2 一般位形下的RRR支鏈

圖3 支鏈奇異位形下的RRR支鏈

圖4 3－RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)奇異位形

圖5 RPR支鏈

按照上述非瞬時(shí)支鏈位形設(shè)計(jì)方法，將RPR支鏈驅(qū)動(dòng)螺旋與原支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋保持空間關(guān)系，即兩端的R副同軸。當(dāng)不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，、既不平行也不共面，并使RPR支鏈的約束螺旋與原支鏈的約束螺旋相關(guān)，如圖6所示，其中虛線部分表示的是新引入的支鏈。RPR支鏈在原機(jī)構(gòu)中的布置如圖7所示。

圖6 RPR支鏈與RRR支鏈的聯(lián)結(jié)

圖7 引入RPR支鏈后的機(jī)構(gòu)

由圖7b可以看出，A、B應(yīng)分別是兩對(duì)驅(qū)動(dòng)螺旋在XY面內(nèi)投影的2個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)RRR支鏈不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，A、B兩處的交點(diǎn)位置不會(huì)改變，此時(shí)圖4所示的驅(qū)動(dòng)奇異位形將不會(huì)存在。

2.2 4－RPTR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的內(nèi)部奇異消除

圖8所示的4－RPTR并聯(lián)機(jī)構(gòu)［14］有4個(gè)自由度（沿X軸、Y軸、Z軸的平動(dòng)和繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)），其中，4個(gè)P副為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。當(dāng)不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，每一支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)均有1個(gè)約束力偶＄r和1個(gè)驅(qū)動(dòng)螺旋＄a，如圖9所示。當(dāng)支鏈奇異時(shí)，驅(qū)動(dòng)螺旋消失，支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)會(huì)存在1個(gè)約束力偶＄r和1個(gè)新增約束力矢＄fn，如圖10所示。

圖8 4－RPTR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖9 RPTR支鏈

圖10 RPTR支鏈奇異位形

圖11a所示為動(dòng)平臺(tái)和基平面重合時(shí)出現(xiàn)的位形。當(dāng)所有驅(qū)動(dòng)螺旋共面且平行于XY平面時(shí)，動(dòng)平臺(tái)沿直線L1的平動(dòng)和繞直線L2的轉(zhuǎn)動(dòng)將失控。

圖11b中，所有驅(qū)動(dòng)螺旋共點(diǎn)，此時(shí)必存在一條平行于Y軸的直線L通過該交點(diǎn)，動(dòng)平臺(tái)繞直線L的轉(zhuǎn)動(dòng)將失控。

圖11c中，所有驅(qū)動(dòng)螺旋與一條平行于Y軸的直線L同時(shí)相交。此時(shí)動(dòng)平臺(tái)繞直線L的轉(zhuǎn)動(dòng)將失控。

圖11d中，驅(qū)動(dòng)螺旋兩兩相交，且兩對(duì)相交螺旋所分別構(gòu)成的兩個(gè)平面相交，此時(shí)，動(dòng)平臺(tái)繞直線L的轉(zhuǎn)動(dòng)將失控。

圖11e中，所有驅(qū)動(dòng)螺旋同時(shí)垂直于一條直線L。此時(shí)，動(dòng)平臺(tái)沿直線L的平動(dòng)將失控。

圖11f中，所有驅(qū)動(dòng)螺旋空間平行，即同時(shí)垂直于一個(gè)平面P。此時(shí)，動(dòng)平臺(tái)沿平面P的平動(dòng)將失控。

圖11 4－RPTR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可能的驅(qū)動(dòng)奇異位形

為消除圖11所示的可能奇異位形，我們引入了2條與原支鏈結(jié)構(gòu)的相同的RPTR支鏈，P副仍為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，同樣按照非瞬時(shí)支鏈位形設(shè)計(jì)方法，將引入的RPTR支鏈驅(qū)動(dòng)螺旋與原支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋保持相交關(guān)系，而其約束螺旋與原支鏈約束螺旋相關(guān)，如圖12所示，其中，虛線部分表示的是新引入的支鏈。引入的RPTR支鏈在原機(jī)構(gòu)中的布置如圖13所示。

圖12 引入的RPTR支鏈與原支鏈的聯(lián)結(jié)

由圖13可以看出，驅(qū)動(dòng)螺旋和，以及和必相交于T1副、T2副的形心（T1副由R2副和R3副構(gòu)成，T2副由R7副和R8副構(gòu)成）。T1副、T2副形心不落在基平面上時(shí)，這種位形會(huì)一直保持。所以當(dāng)動(dòng)平臺(tái)和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，引入新支鏈處的2個(gè)T副不會(huì)重合在一起，因此圖11b所示的奇異位形不會(huì)出現(xiàn)。

圖13 引入RPTR支鏈后的機(jī)構(gòu)

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，過T1副、T2副形心的直線L1永遠(yuǎn)不會(huì)平行Y軸，因此圖11c所示的奇異位形不會(huì)出現(xiàn)。

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)和基平面重合時(shí)，圖11a所示的奇異位形卻不能避免。

2.3 3－RRRT并聯(lián)機(jī)構(gòu)的內(nèi)部奇異消除

圖14所示為一種3－RRRT型三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)［15］，基平面上的3個(gè)R副為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。當(dāng)不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，每一支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)均有1個(gè)約束力偶＄r和1個(gè)驅(qū)動(dòng)螺旋＄a，如圖15所示。當(dāng)支鏈奇異時(shí)，驅(qū)動(dòng)螺旋消失，支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)會(huì)存在1個(gè)約束力偶＄r和1個(gè)新增約束力矢＄fn，其奇異位形有兩種，如圖16所示。

圖14 3－RRRT并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖15 RRRT支鏈

圖16 RRRT支鏈奇異位形

支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)約束力偶在工作空間內(nèi)可能出現(xiàn)如圖17所示的兩種位形。圖17a所示的是所有約束力偶平行于XY平面，此時(shí)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)繞直線L的轉(zhuǎn)動(dòng)將失去約束。圖17b中，所有約束力偶平行于Z軸，此時(shí)動(dòng)平臺(tái)繞平面P上所有直線的轉(zhuǎn)動(dòng)都將失去約束。

圖17 3－RRRT并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束奇異位形

3－RRRT并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)除動(dòng)平臺(tái)和基平面重合外，還可能出現(xiàn)如圖18所示的三種奇異位形。

圖18 3－RRRT并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三種奇異位形

圖18a所示的位形下，所有約束力偶都平行于XY平面，且所有驅(qū)動(dòng)螺旋皆位于平行于XY平面的同一平面內(nèi)，這些驅(qū)動(dòng)螺旋可能不共點(diǎn)或共點(diǎn)。當(dāng)不共點(diǎn)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)沿直線L的平動(dòng)將失控，如圖19a所示。當(dāng)共點(diǎn)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)繞直線L的轉(zhuǎn)動(dòng)將失去約束，動(dòng)平臺(tái)沿直線L的平動(dòng)也將失控，機(jī)構(gòu)同時(shí)產(chǎn)生約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異，如圖19b所示。

在圖18b所示的位形下，所有約束力偶和驅(qū)動(dòng)螺旋同時(shí)平行于Z軸，此時(shí)動(dòng)平臺(tái)繞平面P上所有直線的轉(zhuǎn)動(dòng)都將失去約束，動(dòng)平臺(tái)沿平面P的平動(dòng)也將失控，機(jī)構(gòu)同時(shí)產(chǎn)生約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異，如圖19c所示。

圖18c所示的位形下，3個(gè)約束力偶不相關(guān)，但所有驅(qū)動(dòng)螺旋平行，此時(shí)動(dòng)平臺(tái)沿平面P的平動(dòng)將失控，如圖19d所示。

圖19 3－RRRT并聯(lián)機(jī)構(gòu)可能的奇異位形示意圖

為消除圖19所示的奇異位形，我們引入了1條TPT支鏈，P副為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，如圖20所示，＄r為約束力偶，＄a為驅(qū)動(dòng)螺旋，TPT支鏈不會(huì)產(chǎn)生支鏈奇異。同樣，按照非瞬時(shí)支鏈位形設(shè)計(jì)方法，將TPT支鏈驅(qū)動(dòng)螺旋與原支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋保持空間關(guān)系，如圖21a所示，即兩端的R副同軸。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，、＄既不平行也不共面，而且保證θ≠0（如圖21b所示，θ為兩R副軸線的空間夾角）。因此TPT支鏈的約束力偶與原支鏈的3個(gè)約束力偶組成的力偶系的秩必為3，其中虛線部分表示的是新引入的支鏈。TPT支鏈在原機(jī)構(gòu)中的布置如圖22所示。

圖20 TPT支鏈

圖21 TPT支鏈與RRRT支鏈的聯(lián)結(jié)

圖22 引入TPT支鏈后的機(jī)構(gòu)

由于引入TPT支鏈后，所有支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束力偶的秩恒為3，因此當(dāng)動(dòng)平臺(tái)和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時(shí)，不會(huì)再產(chǎn)生如圖17所示的約束奇異。又因?yàn)門PT支鏈驅(qū)動(dòng)螺旋＄a1與原支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋既不平行也不共面（圖21），所以如圖19所示的驅(qū)動(dòng)奇異位形也不會(huì)出現(xiàn)。

3 結(jié)語

本文提出了一種基于非瞬時(shí)支鏈位形設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異消除方法，目的是消除約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異兩種內(nèi)部奇異位形。以3－RRR型、4－RPTR型和3－RRRT型并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，系統(tǒng)闡述了該方法的設(shè)計(jì)過程。結(jié)果表明，利用該方法能避免除動(dòng)平臺(tái)和基平臺(tái)重合的特殊位形以外的所有內(nèi)部奇異位形。通過該方法能夠較容易確定所引入支鏈的結(jié)構(gòu)形式、布置方式和最少支鏈個(gè)數(shù)。

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