李金龍，林嘉宇，袁繼兵，鄭林華

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410073)

1 引言

跳頻技術(shù)是無線通信系統(tǒng)提高抗干擾能力、多址組網(wǎng)能力和抗截獲能力的一項重要技術(shù)，其實現(xiàn)方法是將一個較寬的頻帶分解為若干個細(xì)小的頻隙，然后利用偽隨機(jī)序列控制發(fā)射機(jī)，使得發(fā)射機(jī)在某一特定時間段內(nèi)發(fā)送特定的載波信號。這個用于控制載波頻率跳變的偽隨機(jī)序列就稱為跳頻序列，跳頻序列的偽隨機(jī)性決定了其難以預(yù)測。近年來，隨著非線性預(yù)測由理論轉(zhuǎn)向?qū)嶋H應(yīng)用的研究，跳頻序列的建模和預(yù)測研究成為通信領(lǐng)域的一個研究熱點。理想的預(yù)測建立在可靠的建模與重構(gòu)基礎(chǔ)之上。本文采用Bernstein多項式對跳頻序列進(jìn)行建模，并結(jié)合遞歸最小二乘(RLS，Recursive Least Squares)［1］自適應(yīng)濾波算法來實現(xiàn)對跳頻序列的重構(gòu)。理論分析和仿真實驗表明基于Bernstein多項式的自適應(yīng)算法能夠很好地對一些常見的跳頻序列進(jìn)行重構(gòu)，誤差小而且收斂速度快。

2 Bernstein多項式理論

由 Weierstrass逼近定理［2］可知:定義在區(qū)間［0，1］上的連續(xù)實函數(shù)f(x)，對于任意ε＞0，存在區(qū)間［0，1］上的多項式 p(x)，對于任意 x∈［0，1］，滿足|f(x)-p(x)|＜ε。即對于任一有界閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以用該區(qū)間上的任意多項式以任意精度進(jìn)行逼近。這意味著可以將連續(xù)函數(shù)的區(qū)間劃分為若干個充分小的區(qū)間，從而用低階多項式對連續(xù)函數(shù)進(jìn)行任意逼近。

上述提到的多項式有多種，這里采用Bernstein多項式來逼近跳頻序列的動力學(xué)系統(tǒng)，Bernstein多項式定義如下:

式中

由文獻(xiàn)［2］可得Bernstein多項式與連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，1］上一致，即 Bernstein多項式可以對［0，1］區(qū)間上的任意連續(xù)函數(shù)進(jìn)行逼近。這也是選用Bernstein多項式來對跳頻序列進(jìn)行建模與重構(gòu)的原因。

上述定理很容易推廣到多元的情況?？紤]到n維方體

對于給定的 n元實值連續(xù)函數(shù) f(x1，x2，...，xn)∈C(Sn)，構(gòu)造 n 元乘積型Bernstein 多項式［2］:

式中

由式(2)可以利用n元m階Bernstein多項式對定義在任意n維方體的連續(xù)函數(shù)f(x1，x2，...，xn)進(jìn)行任意精度的逼近。在對跳頻序列進(jìn)行重構(gòu)的實際應(yīng)用中，由于跳頻序列的動力學(xué)方程未知，因此可以采用待定參數(shù)的Bernstein多項式［3］:

式 中 a =(ak1，k2，...，kn，ki=0，...，m;i=1，2，...，n)為待定參數(shù)矢量。

式(4)中的多項式共有(m+1)n個參數(shù)，在參數(shù)取適當(dāng)值的情況下可以逼近任意n維方體上的任意n元連續(xù)函數(shù)，但是參數(shù)運算量太大不利于進(jìn)行實時處理。這里采用將變量的交叉乘積項去除的方法，以達(dá)到減少參數(shù)個數(shù)的目的。

去除交叉項后的n元m階待定參數(shù)的Bernstein多項式為:

式中 W=(wi，ki，ki=0，...，m;i=1，...，n)為待定參數(shù)矢量。

式(5)就是實際建模中采用的Bernstein多項式，將其與式(4)作對比可以看出略去乘積交叉項后參數(shù)個數(shù)下降為(m+1)·n，大大減少了多項式參數(shù)的個數(shù)，提高了算法的運算速度。這種做法是以犧牲Bernstein多項式對函數(shù)的逼近能力為代價來換取運算速度的提高，但是從后面的重構(gòu)結(jié)果中可以看出，略去乘積交叉項后仍然能夠?qū)μl序列進(jìn)行很好地重構(gòu)。

3 算法介紹

采用的自適應(yīng)重構(gòu)算法是先利用Bernstein多項式對跳頻序列進(jìn)行建模，然后再利用RLS算法對多項式中的參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)濾波，從而達(dá)到理想的重構(gòu)結(jié)果。為了降低算法復(fù)雜度，減小內(nèi)存開銷，實驗中利用數(shù)學(xué)特性減少多項式參數(shù)的計算量，同時對自適應(yīng)濾波算法進(jìn)行改進(jìn)，在每次訓(xùn)練中只保留濾波系數(shù)的有效矢量，得到一種稀疏的自適應(yīng)濾波器。

3.1 多項式建模

典型的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中自適應(yīng)算法模塊根據(jù)實際應(yīng)用中的性能指標(biāo)，以及輸入信號和期望響應(yīng)對濾波器系數(shù)的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)找到使自適應(yīng)濾波器具有最佳性能的濾波器權(quán)系數(shù)W后調(diào)整停止。實驗中采用RLS自適應(yīng)算法來對濾波器系數(shù)W進(jìn)行調(diào)整。而濾波結(jié)構(gòu)模塊則用于對輸入信號x進(jìn)行度量，形成輸出信號y。如果濾波器的輸出是輸入的線性組合，則稱該濾波器為線性濾波器，否則為非線性濾波器。所謂的建模也就是在濾波結(jié)構(gòu)中確定輸入信號與輸出信號的映射關(guān)系，由于實驗中采用Bernstein非線性多項式進(jìn)行建模，所以該濾波器為非線性濾波器。

圖1 自適應(yīng)濾波器的典型結(jié)構(gòu)圖

圖2 Bernstein多項式建模后的濾波器橫向結(jié)構(gòu)圖

3.2 自適應(yīng)重構(gòu)算法

跳頻序列不服從高斯分布，表現(xiàn)出局部非平穩(wěn)特性。在局部變化比較劇烈的跳頻序列中要提高重構(gòu)精度，對算法的收斂速度提出了較高的要求，因此實驗中采用RLS這種快速收斂的的自適應(yīng)算法與上述的Bernstein建模方法相結(jié)合，來實現(xiàn)對跳頻序列的重構(gòu)。具體算法流程如下［4］:

3.2.1 給定關(guān)鍵參數(shù)并對迭代變量進(jìn)行初始化

1)給定每幀輸入的樣點數(shù) n、預(yù)測器中Bernstein多項式核函數(shù)個數(shù)m，以及每幀預(yù)測的步數(shù)N。

2)給定RLS算法中的兩個重要參量λ和δ。其中，λ是遺忘因子，用于調(diào)整權(quán)值;δ是一個很小的正整數(shù)，用于提高收斂速度，迭代初值P(0)=δ-1I。

3)構(gòu)造(m+1)·n階濾波器權(quán)系數(shù)W，并將其值初始化為0。

3.2.2 重構(gòu)跳頻序列動力學(xué)方程獲取濾波器權(quán)系數(shù)

1)對每幀輸入的樣點利用Bernstein多項式建模后得到濾波器輸入列向量X(k)=［x(k-n+1)x(k-n)...x(k)］T，由Bernstein多項式可知:

2)利用RLS自適應(yīng)迭代算法調(diào)整濾波器權(quán)系數(shù):

3.3 算法復(fù)雜度改進(jìn)

RLS自適應(yīng)算法是以加權(quán)誤差平方和的代價函數(shù)最小為最優(yōu)化目標(biāo)，它具有收斂速度快，且其收斂性能與輸入頻譜特性無關(guān)，但存在計算復(fù)雜度較高的缺陷。實驗中分別從數(shù)學(xué)特性和算法的角度出發(fā)來降低復(fù)雜度。

3.3.1 基于數(shù)學(xué)特性降低復(fù)雜度

通過觀察分析可以看到整個算法中，式(3)的計算量相當(dāng)大。進(jìn)行一次迭代運算需要的計算量為(由于加減運算較簡單，在這里不考慮):(m+1)·n次組合運算;2(m+1)·n次指數(shù)運算;2(m+1)·n次乘法運算。而指數(shù)運算以及組合運算的運算量又較乘法的運算大，因此主要考慮降低指數(shù)運算和組合運算的運算量。

在計算過程中就可以利用上一次的運算結(jié)果xki-1乘以x得到xki，減少了計算量，使算法復(fù)雜度得到了降低，在m取值較大時效果更為明顯。利用數(shù)學(xué)特性降低算法復(fù)雜度后，計算量的變化如表1所示，從表中可以看出改進(jìn)后乘法運算量增加(m-1)·n，但是組合函數(shù)運算量和指數(shù)運算量卻在很大程度上得到了降低。

本文采用差減法計算螢石中氟化鈣含量。全鈣的測定采用EDTA滴定法。關(guān)于碳酸鈣的測定，本文在參考標(biāo)準(zhǔn)GB/T 5195.1—2006方法1、經(jīng)驗修正法和去碳酸鈣的螢石樣作空白校正法[8]的基礎(chǔ)上，提出了一種新的方法。即分別稱取兩份不同質(zhì)量的螢石試樣，用稀鹽酸浸取其中的碳酸鈣，然后控制實驗條件(溶液pH值、鈣離子濃度、體積)，使兩份溶液中氟化鈣溶解量趨于一致，對兩份溶液進(jìn)行干過濾，采用EDTA滴定法測定兩份溶液中全鈣的質(zhì)量差(以碳酸鈣計)，經(jīng)過換算可得試樣中碳酸鈣的含量。最終，實現(xiàn)了差減法對螢石中氟化鈣的測定。

表1 復(fù)雜度降低前后計算量對照表

3.3.2 基于稀疏自適應(yīng)濾波算法降低復(fù)雜度

在程序調(diào)試中發(fā)現(xiàn)濾波器系數(shù)矢量W中，有一部分分量非常接近0。這些分量對于實際重構(gòu)結(jié)果的貢獻(xiàn)為“0”，這里將這些接近0的分量稱為無效分量，而其他分量為有效分量，則相應(yīng)的輸入信號矢量X也由無效分量和有效分量構(gòu)成。因此，實驗在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上提出了一種稀疏多項式自適應(yīng)重構(gòu)算法。該濾波器采用非線性自適應(yīng)迭代算法進(jìn)行訓(xùn)練，每次訓(xùn)練只保留濾波器權(quán)系數(shù)和輸入信號X的有效分量用于跳頻序列的重構(gòu)，從而實現(xiàn)濾波器權(quán)系數(shù)的減小。

假設(shè)某次訓(xùn)練結(jié)束后，濾波器權(quán)系數(shù)矢量W(k)為:

逐一考察 W(k)的各分量 wi，ki，當(dāng)滿足條件|wi，ki＜ α 時，則認(rèn)為 wi，ki與相對應(yīng)的輸入信號的分量為無效分量，否則為有效分量。其中，門限α為非常小的數(shù)，實驗中根據(jù)經(jīng)驗設(shè)定其取值范圍為α∈(0，3×10-5］。訓(xùn)練結(jié)束后，只保留有效分量對跳頻序列進(jìn)行重構(gòu)。這樣不僅使非線性多項式自適應(yīng)濾波器的規(guī)模減小，提高算法的收斂速度，使算法復(fù)雜度降低，同時在硬件實現(xiàn)上也減小了內(nèi)存的開銷。在輸入樣點數(shù)n和Bernstein多項式核函數(shù)個數(shù)m較大的情況下，這種稀疏算法的效果更加明顯。

4 仿真實驗

由于Bernstein多項式中輸入信號取值范圍為［0，1］，因此在仿真實驗前先按照(13)式對跳頻序列進(jìn)行歸一化處理:

式中，{y(i)}為原始跳頻序列，{x(i)}為歸一化后的跳頻序列。

4.1 重構(gòu)性能指標(biāo)及仿真參數(shù)確定

在仿真實驗中取歸一化后的跳頻序列{x(i)}來進(jìn)行建模重構(gòu)。假定待重構(gòu)的原始數(shù)據(jù)為x(k)，對應(yīng)的重構(gòu)數(shù)據(jù)為x^(k)，重構(gòu)數(shù)據(jù)的長度為L。仿真實驗中使用均方誤差(Pmse)、相對誤差(Prmse)和重構(gòu)準(zhǔn)確率(Pnice)作為評測標(biāo)準(zhǔn)。其中，均方誤差的計算式為:

由于跳頻序列{x(i)}的取值區(qū)間為［0，1］，所以當(dāng)x(k)-0.025≤x^(k)≤x(k)+0.025時就可以認(rèn)為是準(zhǔn)確重構(gòu)，該段范圍占［0，1］區(qū)間的5%。將準(zhǔn)確重構(gòu)的跳頻碼數(shù)除以總碼數(shù)就可以得到重構(gòu)準(zhǔn)確率。

重構(gòu)算法中所涉及的參數(shù)包括輸入樣點數(shù)n、Bernstein多項式核函數(shù)個數(shù)m、重構(gòu)數(shù)據(jù)的長度為L、門限值α以及RLS迭代算法中的初始化參數(shù)δ和λ。對不同跳頻序列的重構(gòu)性能而言，后面四個參數(shù)的影響很小可以忽略不計。因此，在仿真實驗中可根據(jù)經(jīng)驗值直接設(shè)定其取值分別為:L=1000，α=0，δ=10-4;λ=0.995。而對于參數(shù)n和m，由于不同的跳頻序列有不同的非線性映射關(guān)系，因此采用逐步試探法來對不同的跳頻序列確定合適的n和m。實驗中先分別令n和m的值等于1，然后逐步增加其權(quán)值，觀察在不同取值情況下的重構(gòu)性能。通過實驗發(fā)現(xiàn)對不同的跳頻序列，在n和m取值較小的情況下都能對其進(jìn)行很好的重構(gòu)，隨著n和m值的增加其重構(gòu)性能變化不大，呈現(xiàn)微小的上升趨勢。為了方便計算分析，實驗中對于所有的跳頻序列我們均取n=2，m=6。

4.2 實驗中使用的跳頻序列

為了驗證算法對跳頻序列的重構(gòu)性能，實驗中對一些常見的跳頻序列分別進(jìn)行重構(gòu)。使用的跳頻序列如下:

1)藍(lán)牙79跳跳頻序列

根據(jù)文獻(xiàn)［5］的算法產(chǎn)生藍(lán)牙79跳跳頻序列。其中藍(lán)牙設(shè)備地址低32位值ULA為:0xd5ebc7a6，而主設(shè)備時鐘CLK的初值為:0x00000000。

2)Lozi映射產(chǎn)生的跳頻序列

Lozi映射的關(guān)系式如式(16)所示，取x分量作為跳頻序列。

式中，x0=0.2，y0=0。

3)Lorenz流產(chǎn)生的跳頻序列

Lorenz流的關(guān)系式如式(17)所示，取x分量作為跳頻序列。

式中，σ =10，r=34，b=8/3。

4)Rossler流產(chǎn)生的跳頻序列

Rossler流的關(guān)系式如式(18)所示，取x分量作為跳頻序列。

式中 d=0.15，e=0.2，f=10。

以上四個跳頻序列中，藍(lán)牙跳頻序列和Lozi跳頻序列為離散序列，而Lorenz跳頻序列和Rossler跳頻序列為連續(xù)序列。仿真實驗中，對于所有跳頻序列，每次實驗均產(chǎn)生1002個真實值，并對后1000個實值進(jìn)行重構(gòu)，分析算法的重構(gòu)性能。

4.3 仿真實驗結(jié)果

下面根據(jù)4.1節(jié)中參數(shù)的取值以及重構(gòu)性能指標(biāo)，對4.2節(jié)中的跳頻序列進(jìn)行分析，分析過程中采用3.1節(jié)提到的直接多步重構(gòu)方法。首先選取藍(lán)牙跳頻序列分析重構(gòu)步數(shù)對序列重構(gòu)性能的影響。

從表2的實驗數(shù)據(jù)中可以看出，不同重構(gòu)步數(shù)對跳頻序列的重構(gòu)性能影響不大，本文的自適應(yīng)重構(gòu)算法在不同重構(gòu)步數(shù)下都能夠?qū)μl序列進(jìn)行很好的重構(gòu)。因此，下面只取一步重構(gòu)對不同的跳頻序列進(jìn)行重構(gòu)性能分析。

表2 藍(lán)牙跳頻序列的直接多步重構(gòu)性能

從表3可以看出，自適應(yīng)重構(gòu)算法對4.2節(jié)提到的4個常見的跳頻序列都有很好的重構(gòu)效果和重構(gòu)精度。圖3-圖6分別畫出四個跳頻序列一步重構(gòu)圖和相應(yīng)的誤差性能仿真曲線，每次取1000個點進(jìn)行仿真。為了便于實驗觀測，在重構(gòu)圖中每隔5個點輸出1個點標(biāo)示。

表3 不同跳頻序列的一步重構(gòu)性能

圖3 藍(lán)牙跳頻序列一步重構(gòu)仿真圖

圖4 Lozi跳頻序列一步重構(gòu)仿真圖

圖5 Lorenz跳頻序列一步重構(gòu)仿真圖

圖6 Rossler跳頻序列一步重構(gòu)仿真圖

從上述仿真實驗的重構(gòu)圖中可以看出本文的自適應(yīng)重構(gòu)算法，對離散跳頻序列和連續(xù)跳頻序列均能夠?qū)崿F(xiàn)很好的重構(gòu)。從誤差平方曲線可以看出，RLS算法的收斂性強(qiáng)，誤差平方在數(shù)量級為10-8范圍內(nèi)波動。同時，從連續(xù)跳頻序列的重構(gòu)圖和誤差平方曲線中還可以較為直觀地看出誤差平方曲線與跳頻序列在形狀上極為相似。

下面選取藍(lán)牙跳頻序列的一步重構(gòu)來分析3.3節(jié)中稀疏算法對重構(gòu)性能的影響。其濾波器系數(shù)圖如圖7所示，從圖中可以看出濾波器權(quán)系數(shù)的值有一部分分布在0附近，因此可以采用稀疏算法來降低算法復(fù)雜度。表4給出了不同門限值下的藍(lán)牙跳頻序列的一步重構(gòu)性能。

圖7 藍(lán)牙跳頻序列一步重構(gòu)濾波器系數(shù)圖

表4 不同門限值下藍(lán)牙序列的一步重構(gòu)性能

從表中可以看出α的取值越大，重構(gòu)濾波器的濾波系數(shù)越少，算法越簡單，反之，濾波器系數(shù)越多，算法越復(fù)雜。實際使用中，必須在非零wi，ki數(shù)與重構(gòu)精度之間進(jìn)行折衷考慮，設(shè)計合理的門限值。即在不損失重構(gòu)精度的前提下，盡可能地降低算法的復(fù)雜度。

5 結(jié)束語

針對跳頻序列重構(gòu)問題，本文研究實現(xiàn)了一種基于Bernstein非線性多項式的自適應(yīng)重構(gòu)算法，并對算法的復(fù)雜度進(jìn)行改進(jìn)。在算法改進(jìn)中，利用Bernstein多項式參數(shù)的數(shù)學(xué)特性以及濾波器系數(shù)稀疏的特點來降低算法的復(fù)雜度。通過對藍(lán)牙跳頻序列、Lozi跳頻序列、Lorenz跳頻序列和Rossler跳頻序列的重構(gòu)仿真實驗可以看出，本文的算法能夠?qū)σ话愕奶l序列進(jìn)行有效的重構(gòu)。下一步工作主要針對本文算法在高重構(gòu)精度的條件下，如何實現(xiàn)對跳頻序列進(jìn)行高精度預(yù)測的研究。

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