李卓凡

(韓山師范學(xué)院，潮州521041)

1 引言

隨著航天科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，遙感器的分辨率不斷提高，遙感圖像的數(shù)據(jù)量必然不斷增加，這給有限的傳輸信道帶寬帶來沉重的傳輸壓力。如何對(duì)遙感圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行高保真、高壓縮地傳輸，成為了當(dāng)今一個(gè)重要的課題。

遙感圖像的空間冗余較小，容量大，細(xì)節(jié)豐富。小波變換具有優(yōu)異的時(shí)頻局域性、多分辨性，以及良好的去相關(guān)能力，因此采用了基于小波變換的圖像壓縮技術(shù)。在基于小波變換的圖像壓縮算法中，嵌入式零樹小波編碼(EZW)是一種高效且簡(jiǎn)單的小波圖像編碼方法。在EZW算法的基礎(chǔ)上，Said和Pearlman提出了分層樹集合分裂算法(SPIHT)。它繼承了小波系數(shù)的零樹結(jié)構(gòu)，針對(duì)消除樹間冗余進(jìn)行了改進(jìn)，是一種更為高效的小波圖像編碼算法。在基于小波的圖像壓縮SPIHT算法的研究中，大多是針對(duì)于算法本身的改進(jìn)研究，但忽略了小波分解層數(shù)對(duì)壓縮效果的影響。小波分解的層數(shù)并不是越多越好，要根據(jù)圖像的特征，及所選取的小波基來確定。

2 小波基的選取

小波變換，實(shí)質(zhì)上是將圖像信號(hào)投影到由小波基函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間中，得到小波分解系數(shù)，從理論上講，由小波分解系數(shù)通過小波逆變換可準(zhǔn)確重構(gòu)信號(hào)。但實(shí)際上，并不是所有的小波基都適合圖像分解，小波基必須依據(jù)以下的條件來選取:①正交性;②對(duì)稱性及線性相位;③正則性;④消失矩階數(shù);⑤緊支撐性。

通常，在選擇小波基時(shí)，首先考慮其對(duì)稱性和正交性，一般會(huì)放棄一部分正交性而選擇具有線性相位的雙正交小波基，以減少感官誤差;然后考慮其正則性和消失矩。正則性相同的情況下，消失矩階數(shù)越高越好，在消失矩相同的情況下正則性階數(shù)越高越好;最后，考慮其緊支性［2］。在文獻(xiàn)［1-2］中，對(duì)常用于小波圖像壓縮的幾個(gè)小波基進(jìn)行詳細(xì)的分析和對(duì)比，從文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出D9/7和D5/3最適合作為遙感圖像壓縮的小波基。

D9/7小波具有良好的能量集中性，消失矩較大，適用于有損壓縮，算法如下:

其中 α≈-1.586134342，β≈-0.05298011854，γ≈0.8829110762，δ≈0.4435068522，k≈1.149604398。

D5/3小波的支撐寬度小，緊支撐性好，適用于有損及無損壓縮。其小波變換僅靠整數(shù)加法和移位完成，運(yùn)算速度快，內(nèi)存需求低。算法如下:

表1為這兩個(gè)小波基各種參數(shù)的列表。本文采用D9/7小波及D5/3小波進(jìn)行圖像分解及重構(gòu)。

表1 D9/7、D5/3小波基性質(zhì)參數(shù)

3 小波變換分解層數(shù)的選擇

小波變換的級(jí)數(shù)越多，圖像的頻帶就劃分得越細(xì)，就越有利于圖像的編碼。但是由于上一級(jí)(較高層)頻帶分解的信號(hào)輸出又作為下一級(jí)(較低層)頻帶分解的輸入，級(jí)數(shù)增加意味著級(jí)聯(lián)的濾波器越多，造成的信號(hào)移位也越大。另一方面，由于每次小波系數(shù)分解/重構(gòu)都要進(jìn)行邊界延拓，級(jí)數(shù)越多引起的邊界失真也越大。而且級(jí)數(shù)越多，硬件實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度和存儲(chǔ)量都要增加。所以實(shí)際應(yīng)用中，確定小波分解/重構(gòu)的級(jí)數(shù)要兼顧不同方面的影響。

一幅圖像經(jīng)過小波變換以后，可分解為一個(gè)低頻子帶和水平、垂直、對(duì)角三個(gè)方向的高頻子帶，而低頻子帶又可以進(jìn)一步地分解為四個(gè)子帶。若分解層數(shù)為k，則總的子帶數(shù)為3k+1。那么，圖像分解成多少層才是合適的呢?這取決于三方面的因素:即圖像的復(fù)雜程度;濾波器的長(zhǎng)度;子圖信息量。

理論上，若一副大小為M*N(假設(shè)M＞N)的圖像，濾波器長(zhǎng)度為n，則小波分解的最大層數(shù)k必須滿足關(guān)系式:

但是圖像分解并不是越多層壓縮效果越好，分解層數(shù)合理選擇還關(guān)系到影響運(yùn)算量和復(fù)雜度。從信息論的觀點(diǎn)來看，熵的大小反映了信源的信息量，信源的熵值越大，壓縮的可能性也越大。信號(hào)S的熵定義為:

小波變換的一個(gè)重要目的就是減少熵，每一級(jí)離散小波變換將圖像數(shù)據(jù)分成LL、LH、HL、HH四個(gè)子帶。設(shè)第j層的低頻子帶為L(zhǎng)Lj，分解后的四個(gè)子帶分別為:LLj+1、LHj+1、HLj+1、HHj+1，其熵值分別為:HLLj+1、HLHj+1、HHLj+1、HHHj+1，由于熵與編碼所需的平均比特?cái)?shù)直接對(duì)應(yīng)，當(dāng)一個(gè)子圖分成四個(gè)子圖，要求四個(gè)子圖熵值的和應(yīng)該變小，這樣才能繼續(xù)分解，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮。分解后四個(gè)子帶編碼所需的平均比特應(yīng)小于分解前低頻子帶的平均比特?cái)?shù)，即:

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了更全面地分析不同分解層數(shù)對(duì)圖像壓縮的影響，本文選擇了7種不同的圖像大小為256×256像素的遙感圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn):map1(城市建筑)、map2(城市建筑)、map3(水域和建筑)、map4(山峰和森林)、map5(水域和農(nóng)田)、map6(水域和山)、map7(建筑和農(nóng)田)。表2為7幅圖像的熵:

表2 7幅不同圖像的熵

用D9/7、D5/3小波對(duì)各幅圖像進(jìn)行小波分解，然后根據(jù)式(2)計(jì)算各層分解圖像的熵，最后根據(jù)(3)式計(jì)算每層分解后四個(gè)子帶編碼的熵值和分解前低頻子帶編碼的熵值，并進(jìn)行比較。計(jì)算出每次分解熵值的減小，并畫出曲線，如圖1、圖2所示。圖1為用D9/7小波分解得到的曲線圖，圖2為用D5/3小波分解得到的曲線圖。圖1中除了map6、map7外，從第5層開始，熵值減小趨于平緩，曲線變得平穩(wěn);圖2則從第6層開始，熵值減小趨于平緩，曲線變得平穩(wěn)。

接著，用D9/7和D5/3小波對(duì)7幅圖像進(jìn)行圖像分解，用SPIHT算法對(duì)圖像進(jìn)行壓縮、解壓并重構(gòu)，計(jì)算不同分解層數(shù)重構(gòu)圖像的峰值信噪比(PSNR)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3、圖4所示。從數(shù)據(jù)圖表可以看出，用D9/7小波分解，隨著分解層數(shù)的增加，重構(gòu)圖像的PSNR明顯增大，但從第5層分解開始，重構(gòu)圖像的PSNR變化并不明顯;用D5/3小波分解，同樣各幅圖像在前面幾個(gè)層次分解重構(gòu)后，PSNR增大，從第4層到第6層、第8層分解后重構(gòu)的PSNR是趨于平穩(wěn)的，只有在第7層時(shí)有點(diǎn)波動(dòng)。

數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，對(duì)于遙感圖像小波分解層數(shù)為5-6層為最佳分解層數(shù)，作更多的分解并不能明顯改善圖像效果。從圖3、圖4中可以看出，D9/7更適用于遙感圖像的小波變換，其信噪比更優(yōu)于D5/3。圖5-圖7為map6分別用兩種小波作5層分解，用SPIHT算法壓縮圖像，解壓重構(gòu)后的圖像效果。從視覺效果看，作5層小波分解重構(gòu)后的圖像與原圖區(qū)別不大，而圖6要比圖7光滑，噪聲較小。

5 結(jié)束語

不同類型的圖像經(jīng)過小波變換后，其系數(shù)的分布特性是不同的，于是從理論上分析了不同圖像對(duì)小波基的選擇條件，綜合各方面的性能，選擇綜合性能最好的雙正交小波基的D9/7和D5/3小波對(duì)遙感圖像進(jìn)行小波變換。并從信息熵的角度分析了熵對(duì)小波分解層數(shù)的影響，小波分解后只有圖像的熵減小了，分解才有意義，才能達(dá)到壓縮的效果。最后通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得出了遙感圖像壓縮的小波分解層數(shù)為5-6層壓縮效果最好。

［1］ 柯麗，黃廉卿.適于遙感圖像實(shí)時(shí)壓縮的小波基的選擇［J］.光學(xué)技術(shù)，2005(1):77-83.

［2］ 赫華穎，陸書寧.幾種小波基在遙感圖像壓縮中的應(yīng)用效果比較［J］.國(guó)土資源遙感，2008(9):27-31.

［3］ 李戰(zhàn)明，遲洋.圖像壓縮中小波基的選擇研究［J］.機(jī)械與電子，2009(5):18-21.

［4］ 孫延奎.小波分析及其應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［5］ 成禮智，王紅霞，羅永.小波理論與應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［6］ Daubechies I.Orthonomal Bases of Compactly Supported Wavelets［J］.Commu.In Pure and Application Math，1988，41:906-996.

［7］ Villasensor J D，Belzer B，Liad J.Wavelet Filter Evaluation for Image Compression［J］.IEEE Trans.Image Processing，1995，4(8):1053-1060.