于麗杰，高宗余

（北京聯(lián)合大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100101）

0 引言

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（INS）能夠高速地輸出加速度和角速度。然而其精度會(huì)隨著時(shí)間而退化，主要是由于不同的誤差源，如，傳感器噪聲、漂移、偏差及刻度因子等的不穩(wěn)定造成。這些誤差隨著在慣導(dǎo)校正算法中數(shù)據(jù)積分的積累，將會(huì)引起航向誤差。因此，對(duì)傳感器誤差的建模與估計(jì)變得異常重要。本文主要討論隨機(jī)誤差建模，采用功率譜密度（PSD）與Allan方差對(duì)MEMS-INS隨機(jī)過程進(jìn)行分析。

Allan方差技術(shù)最初是為了研究精密儀器的頻率穩(wěn)定性而在19世紀(jì)60年代發(fā)展產(chǎn)生的［1］，它有助于識(shí)別存在于測量儀器中的誤差種類與大小。由于慣性傳感器與這類儀器的類似性，這一方法已經(jīng)應(yīng)用于慣性傳感器的隨機(jī)誤差特性分析中［2］。

與其他的隨機(jī)誤差分析方法相比，如，自相關(guān)分析法需要長時(shí)間采集精密儀器靜態(tài)數(shù)據(jù)，之后在一定條件下才能獲得所需結(jié)果［3］，采集時(shí)間甚至超過儀器壽命，Allan方差法可直接實(shí)時(shí)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算簡單，應(yīng)用范圍較大。

本文應(yīng)用Allan方差法對(duì)MEMS傳感器進(jìn)行特性描述。首先對(duì)數(shù)據(jù)采用Allan方差法獲得其特性曲線，此后通過對(duì)曲線分析以獲得存在于數(shù)據(jù)集中的隨機(jī)誤差的種類和大小，最后對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行識(shí)別、建模、計(jì)算出其系數(shù)。

1方法

1.1 功率譜密度

功率譜密度（PSD）的主要特點(diǎn)在于描述時(shí)間序列的頻譜特性，是一種分析數(shù)據(jù)和表示數(shù)據(jù)特性的方法，同時(shí)對(duì)隨機(jī)誤差模型的建立有重要作用。通過對(duì)一系列樣本的自相關(guān)函數(shù)估值進(jìn)行傅立葉變換可計(jì)算其相應(yīng)的PSD。PSD和信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是通過傅立葉變換進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如下式所示

式中S（ω）為PSD，K（τ）為自相關(guān)函數(shù)。

1.2 Allan方差

在Allan方差數(shù)據(jù)分析中，假設(shè)數(shù)據(jù)的不確定性是由誤差特性給出。每個(gè)誤差源協(xié)方差的大小是由數(shù)據(jù)估值得來。Allan方差的詳細(xì)描述和怎樣應(yīng)用于時(shí)頻分析見參考文獻(xiàn)［2，4］。這里做簡要描述。假設(shè)在時(shí)間段τ0內(nèi)采集N個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成數(shù)據(jù)點(diǎn)集，分別建立時(shí)間段為τ0，2τ0，…，nτ0，的數(shù)據(jù)點(diǎn)集，n＜（N－1）/2。假設(shè) MEMS傳感器瞬時(shí)輸出為Ω（t），其相應(yīng)的積分是角度（對(duì)陀螺輸出來說），如下式

由于在相關(guān)定義中［1］只是應(yīng)用了角微分，故積分的下限沒有標(biāo)出。傳感器的角以離散的方式t=kτ0，k=1，2，…，N給出，用更簡單的方式表示為

兩個(gè)時(shí)間間隔之間的平均角速率為

Allan方差為

上面的表達(dá)式稱之為Allan方差重疊法，能更好地適用于每個(gè)陀螺和加速度計(jì)。

1.3 PSD與Allan方差之間的關(guān)系

下式為PSD與Allan方差之間關(guān)系表達(dá)式

式中SΩ（f）為Ω（t）的PSD。式（7）通過Allan方差方程描述了隨機(jī)噪聲PSD的重要特性。并且說明在通過一個(gè)傳遞函數(shù)為sin4x/x2的濾波器時(shí)Allan方差與陀螺數(shù)據(jù)輸出中的總的誤差率呈正比。這一傳遞函數(shù)主要用于對(duì)點(diǎn)集進(jìn)行操作。式（7）也說明濾波器的帶通是由τ來確定，因此，通過設(shè)定不同的τ值能夠確定不同的隨機(jī)過程。這里采用重對(duì)數(shù)圖來描述σ［4］。

1.4 Allan方差應(yīng)用于誤差特性描述

Allan方差最主要的特性是能夠根據(jù)時(shí)頻域上不同噪聲在Allan方差圖上的斜率對(duì)噪聲進(jìn)行分類。根據(jù)Allan方差的定義和結(jié)果在慣性傳感器中共有七類噪聲項(xiàng)，如圖1所示。具體到MEMS傳感器中共有5類基本的噪聲項(xiàng)，分別是角隨機(jī)游走、速率隨機(jī)游走、偏差不穩(wěn)定性、量化噪聲和速率斜坡。由于相關(guān)噪聲和正弦噪聲對(duì)傳感器特性影響很小，因此，對(duì)其忽略。通常，隨機(jī)誤差依賴于設(shè)備類型、數(shù)據(jù)獲得環(huán)境及數(shù)據(jù)形式產(chǎn)生。如果噪聲是相對(duì)對(duì)立的，則每個(gè)Allan方差是各個(gè)噪聲源的平方和，即

開方后為

其中，An可通過最小均方誤差檢測得到。

一個(gè)典型的Allan方差分析結(jié)果如圖1所示。然而，由于曲線的類似性，一些誤差無法通過特性曲線辨識(shí)，比如:閃爍噪聲就與量化噪聲有同樣的曲線圖，這主要是Allan方差法受限所致。因此，這類誤差需要通過改良的Allan方差法來進(jìn)行分類［5］。

圖1 Allan方差類型圖Fig 1 Allan variance type map

2 實(shí)驗(yàn)仿真

本文中實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為MEMS-INS/GPS組合，其主要器件為ADIS16350和GPS系統(tǒng)，本實(shí)驗(yàn)主要對(duì)ADS16350中的三軸陀螺和三軸加速度計(jì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中，ADIS16350傳感器特性參數(shù)參看文獻(xiàn)［6］。

這里以量化噪聲為例進(jìn)行推導(dǎo)。量化噪聲主要由傳感器輸出特性的離散化造成，量化噪聲在振幅離散化過程中是固有的，它是通過數(shù)字化編碼引入模擬信號(hào)，是模擬輸入到數(shù)字輸出取整而產(chǎn)生。根據(jù)文獻(xiàn)［1］這一過程的PSD為

即

上式代入式（7）積分并開方得

圖2 Allan方差系數(shù)（以斜率為－1為曲線表示）Fig 2 Allan variance coefficient（result with slopes of－1）

由于篇幅所限，這里不對(duì)偏差不穩(wěn)定性、隨機(jī)游走及速率斜坡進(jìn)行具體推導(dǎo)。根據(jù)公式（5）首先對(duì)加速度和角速度進(jìn)行積分得到速度和角度。根據(jù)上述Allan方差法得到不同時(shí)段相應(yīng)的平均加速度和角速率。最后通過σ（τ）-τ的重對(duì)數(shù)圖來表示陀螺和加速度計(jì)的隨機(jī)噪聲的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分別如圖3和圖4所示。這里先對(duì)圖3中陀螺x軸量化噪聲系數(shù)計(jì)算給出具體說明，如圖5所示（此實(shí)驗(yàn)結(jié)果陀螺x軸在4 h所測數(shù)據(jù)）。

圖3 MEMS陀螺Allan方差結(jié)果Fig 3 MEMS Gyro Allan variance results

圖4 MEMS加速度Allan方差結(jié)果Fig 4 MEMS Accelerometer Allan variance results

圖5 x軸陀螺Allan方差結(jié)果Fig 5 x-axis gyro Allan variance result

表1 陀螺辨識(shí)誤差系數(shù)Tab 1 Gyro identification error coefficients

表2 加速度計(jì)的辨識(shí)誤差系數(shù)Tab 2 Accelerometer identification error coefficients

3 結(jié)論

利用Allan方差分析法對(duì)MEMS傳感器輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，能夠有效地分離各主要隨機(jī)誤差源，可精確地確定各項(xiàng)誤差系數(shù)的大小。應(yīng)用Allan方差分析法對(duì)實(shí)測數(shù)據(jù)研究表明:該方法有效辨識(shí)出MEMS傳感器各項(xiàng)誤差系數(shù)，從而對(duì)MEMS傳感器的性能做出較為客觀的評(píng)價(jià)，并且可與濾波算法相結(jié)合更好地為微慣性系統(tǒng)性能改善提供好的方法。

此外，這里的實(shí)驗(yàn)中注意到數(shù)據(jù)采集時(shí)間越長其計(jì)算越精確，但隨著時(shí)間的增長其數(shù)據(jù)不穩(wěn)定性也越高，這主要是MEMS傳感器隨著數(shù)據(jù)輸出時(shí)間的延長其溫度發(fā)生變化，導(dǎo)致輸出數(shù)據(jù)不穩(wěn)定所致。

［1］Allan D W.Statistics of atomic frequency standards［C］//Proceedings of the IEEE International Symposium，New York，USA，1966:221－230.

［2］Ko R.Standard specification format guide and test procedure for single-axis interferometric fiber optic gyros［S］.IEEE Std，Canada，1972:952 －977.

［3］Hou H.Modeling inertial sensors errors using AV［D］.Calgary，Canada:Univ of Calgary，2004:182 －188.

［4］Wang J H，Gao Y.An intelligent MEMS IMU-based land vehicle navigation system enhanced by dynamics knowledge［C］//Proc of US ION 61st Ann Meeting，2005:27 －29.

［5］Mu Y J，Ko Jaepyung.An inexpensive and accurate absolute position sensor for driving assistance［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2008，57（4）:864 －873.

［6］Papoulis A.Probability，random variables，and stochastic process［M］3rd ed.McGraw-Hill，1977:212 －224.

［7］Lee G W.UAV flight test of GPS attitude determination system［C］//International Symposium on GNSS/GPS，Camb，2004:138－151.