吳忠強 郄程飛

(燕山大學電氣工程學院工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

0 引言

地板輻射采暖系統(tǒng)(簡稱地暖系統(tǒng))作為一種新興的采暖末端裝置，以其節(jié)能、舒適、衛(wèi)生等優(yōu)點而逐漸被消費者所接受［1－3］。在理想情況下，可將地暖系統(tǒng)看作一個參數(shù)不確定的線性無約束大慣性系統(tǒng)。在室內(nèi)空氣溫度達到預設值的實際過程中，要求地暖系統(tǒng)控制器的輸入、輸出信號滿足多種約束條件［4－5］。

廣義預測控制在廣義最小方差控制的基礎上，在優(yōu)化過程中引入多步預測的思想，具有較強的魯棒性。對于過程參數(shù)慢時變系統(tǒng)，廣義預測控制易于在線估計參數(shù)，實現(xiàn)自適應控制。因此，本文提出一種將約束條件引入廣義預測控制的方法，并將其應用于地暖控制系統(tǒng)中。但將約束廣義預測控制應用于參數(shù)不確定的地暖系統(tǒng)后，會使求解控制量的滾動優(yōu)化問題變得復雜，導致迭代求解的計算量較大。對此，本文引入量子遺傳算法滾動優(yōu)化廣義預測控制的控制增量Δu(k)。試驗表明，該算法取得了較好的控制效果。

1 地暖系統(tǒng)數(shù)學模型建立

地暖系統(tǒng)模擬結構如圖1所示［6－7］。

圖1 地暖系統(tǒng)模擬結構圖Fig.1 Simulative structure of floor heating system

圖1中:標號1～4分別為系統(tǒng)的四個熱平衡點;tha為房間空氣溫度;ts為地板溫度;th為水泥砂漿填層的上表面溫度;tst為供暖管表面溫度;tfp為供暖管中的熱水溫度，作為控制量;tbo為保溫層的溫度;tw為室外空氣溫度，設tw=0℃;trp為室內(nèi)平均輻射溫度;k0為室內(nèi)外空氣傳熱系數(shù);k'0為吊頂與室內(nèi)空氣的傳熱系數(shù)，可近似認為k'0=α0;α0為房間內(nèi)空氣的傳熱系數(shù);k1為地面面層材料的傳熱系數(shù)，本文選擇瓷磚作為面層材料;k2為水泥砂漿填層的傳熱系數(shù);k3為保溫層泡沫傳熱系數(shù);k4為供暖管管壁的傳熱系數(shù)。

由平衡點2的熱平衡關系，得到熱平衡方程如式(2)所示:

由平衡點3的熱平衡關系，得到熱平衡方程如式(3)所示:

式中:供暖塑料管熱容 c3=cρ3ρ3δ3。

由于泡沫保溫層的熱阻隔作用，可假設地暖系統(tǒng)不存在向下的熱傳導。

由平衡點4的熱平衡關系，得到熱平衡方程如式(4)所示:

式中:房間空氣熱容 c0=cρ0ρ0v0，其中，cρ0、ρ0和 v0分別為房間空氣的比熱、密度和房間體積;Fi為各墻壁的面積。

取狀態(tài)變量x=［tsthtsttha］T，系統(tǒng)輸入 u=tfp，系統(tǒng)輸出 y=tha，得到該地暖系統(tǒng)的狀態(tài)方程如式(5)所示:

以某房間為實際研究對象，房間的長、寬、高分別為7.8 m、6.3 m、3.5 m;房間空氣的參數(shù)為cρ0=1.007 kJ/(kg·℃)、ρ0=1.169 1 kg/m3、v0=172 m3、α0=22.5 W/(m2·K)、k0=4.005 W/(m2·K)［8］;瓷磚參數(shù)為cρ1=2 300 kJ/(kg·℃)、ρ1=2 083 kg/m3、δ1=0.01 m、λ1=1.1 W/(m·K);水泥砂漿的參數(shù)為 cρ2=920 kJ/(kg·℃)、ρ2=2 300 kg/m3、δ2=0.03 m、λ2=1.51 W/(m·K);供暖塑料管的參數(shù)為 cρ3=950 kJ/(kg·℃)、ρ3=940 kg/m3、δ3=0.002 m、λ3=0.41 W/(m·K)。

將參數(shù)代入地暖數(shù)學模型中，得到如式(5)所示的狀態(tài)方程為:b=［0 0 0.114 781 63 0］T、c=［0 0 0 1］。

以T=200 s為采樣周期，將數(shù)學模型離散化，再轉化為傳遞函數(shù)形式，整理為受控自回歸積分滑動平均模型的形式，如下式所示:

式中:A(z－1)=1－0.515 1z－1－1.205z－2+0.368 4z－3+0.248 9z－4;B(z－1)=0.002 763+0.011 05z－1+0.016 58z－2+0.011 05z－3+0.002 763z－4;C(z－1)=1;δ=1－ z－1，為差分因子;ω(k)為不確定擾動，包括由冷空氣進入房間所引起的外界干擾量Hr和墻體與室內(nèi)空氣之間的換熱。

2 約束廣義預測控制

廣義預測控制是以受控自回歸積分滑動平均模型(controlled auto regressive integrated moving average，CARIMA)為基礎，采用了長時段的優(yōu)化性能指標，并結合辨識和自校正機制的預測算法［9－10］。

設預測步長為P，控制步長為L。系統(tǒng)從第k個采樣時刻起，未來L個控制增量Δu(k+1)，…，Δu(k+i)，…，Δu(k+L)通過量子遺傳算法(quantum genetic algorithm，QGA)得到。這些增量隨著時間的推移不斷向前滾動，最終得到未來L個控制量u(k+1)，…，u(k+i)，…，u(k+L)。其中:

由CARIMA地暖數(shù)學模型，計算得到系統(tǒng)預測輸出y(k+1)并反饋到優(yōu)化指標。優(yōu)化指標中引入了對輸出誤差和控制增量加權的二次型性能指標，并加入了對系統(tǒng)控制量和控制增量的約束，即對地暖系統(tǒng)的輸入量u(k)和輸入變化量Δu(k)的約束。用不等式的形式描述上述性能指標，得到在k時刻的優(yōu)化性能指標及約束條件如式(8)～式(10)所示。

式中:qi為輸出誤差系數(shù);λi為控制量加權系數(shù)，一般取常數(shù)值;yd(k+j)為輸出值y(k)至設定值S的輸入?yún)⒖架壽E。yd(k+j)的表達式為:

式中:β為柔化系數(shù);S為預設室內(nèi)空氣溫度值。

3 量子遺傳算法

量子遺傳算法(QGA)是基于量子比特和量子疊加態(tài)的概念提出的［11－13］。該算法采用了量子比特編碼，|0＞和|＞1表示微觀粒子的兩種基本狀態(tài)，稱為量子比特。一個量子位的狀態(tài)可以描述如下:

式中:|φ＞表示量子位的當前狀態(tài);α、β為復數(shù)，分別對應量子態(tài)被觀測為|0＞態(tài)和|1＞態(tài)的概率，且α、β滿足歸一化條件|α|2+|β|2=1。如果一個系統(tǒng)具有m個量子位，則該系統(tǒng)可同時描述2m個狀態(tài)。與傳統(tǒng)的二進制位編碼相比，量子遺傳算法的優(yōu)點在于一個量子位不僅可以處于|0＞態(tài)和|1＞態(tài)，而且還可以處于這兩個量子位中間的任意一個疊加態(tài)。

由于量子系統(tǒng)能夠描述疊加態(tài)，因此，基于量子比特編碼的量子染色體，比傳統(tǒng)進化算法具有更好的種群多樣性，且當|α|2或|β|2趨近于0或1時，多樣性消失，量子染色體會收斂到一個確定的狀態(tài)，從而獲得較好的收斂性。這表明了量子染色體同時具有探索和開發(fā)的能力。本文采用量子比特來編碼多狀態(tài)基因作為廣義預測控制中的控制增量Δu(k)，編碼形式如下所示:

3.1 適應度函數(shù)的選擇

量子遺傳算法適應度函數(shù)可以由廣義預測控制優(yōu)化性能指標式(8)變換得到，其形式如式(14)所示:

通過該形式的變換，GPC優(yōu)化指標J的極小值問題即轉化為量子遺傳算法優(yōu)化的極大值問題，且在該優(yōu)化算法運行中，適應度函數(shù)值始終位于［0，1］區(qū)間。

3.2 算法的實現(xiàn)

與遺傳算法類似，量子遺傳算法也是一種概率搜索算法，算法優(yōu)化步驟具體如下［14］。

③算法進入循環(huán)迭代階段，隨著迭代的進行，種群的解向最優(yōu)解不斷收斂。在每一次迭代中，先對種群Q(t－1)進行測量，獲得一組確定解P(t);隨后計算符合約束條件的解P(t)的適應度值;再根據(jù)當前的演化目標和調(diào)整策略，利用量子旋轉門R(t)更新種群Q(t)。選擇P(t)中的當前最優(yōu)解，若該當前最優(yōu)解優(yōu)于之前存儲的最優(yōu)解，則用該當前最優(yōu)解將其替換。

此外，在利用量子旋轉門更新種群的過程中都必須保證新個體滿足約束條件，防止在種群迭代計算中出現(xiàn)不滿足約束條件的個體，從而保證結果的有效性。同時，由于量子染色體本身具有由量子疊加態(tài)而導致的個體多樣性，沒有必要再使用交叉、變異等遺傳算子。在QGA中，種群規(guī)模即量子染色體的數(shù)量始終是恒定不變的，并且使用了量子疊加態(tài)，所以QGA比普通遺傳算法具有更好的種群多樣性和收斂性，并能夠得到全局最優(yōu)解。

3.3 量子旋轉門的選擇

量子染色體qj的更新是通過量子旋轉門R(t)來實現(xiàn)的，其中第 ik個量子位(αik，βik)的更新過程如式(15)所示:

式中:旋轉角 θik=S(αikβik)·Δθik，其旋轉方向 S(αikβik)和旋轉大小Δθik根據(jù)事先設定的調(diào)整策略來確定［15－16］，具體策略如表1所示。

表1 量子旋轉門調(diào)整策略Tab.1 Adjustment strategy of quantum rotating gate

表1中:f(x)為目標函數(shù);bik和xik分別為最優(yōu)解和當前解中的第ik個值。當f(x)＞f(b)、xik=1、bik=0時，可將 Δθik設置為 0.025π。S(αikβik)決定了收斂到全局最優(yōu)解的方向，可依據(jù)αikβik的具體情況分別設置為+1、－1或0，以增大量子態(tài)|1＞的概率幅值。Δθik的值直接影響收斂速度。如果Δθik取值過大，容易引起早熟收斂，一般它的取值范圍在0.005π～0.05π之間。

4 仿真與試驗

基于量子遺傳算法的約束廣義預測控制器參數(shù)取P=3、L=2、λ =0.9、β =0.8、q=1。量子遺傳算法設定參數(shù)為初始種群Q(t)個數(shù)50、遺傳代數(shù)100、控制增量約束Δu∈［－5，5］、室內(nèi)溫度預設值25℃。為了說明本算法的有效性，與常規(guī)廣義預測控制方案進行比較，由梯度法尋優(yōu)得到常規(guī)廣義預測控制的最優(yōu)控制律如式(16)所示［8］:

式中:ΔU(k+1)=［Δu(k+1) Δu(k+2)］T;Yd(k+1)=［yd(k+1)yd(k+2)yd(k+3)］T;誤差系數(shù)陣Q=diag［1 1 1］;控制系數(shù)陣 R=diag［0.9 0.9 0.9］;ΔV(k－1)=［Δu(k－3) Δu(k－2) Δu(k－1)］T;Y(k)=［y(k－3)y(k－2)y(k－1)y(k)］T。

QGAGPC與GPC控制作用下的輸出仿真結果如圖2所示。

圖2 輸出仿真曲線Fig.2 Output simulation curves

由圖2可以看出，常規(guī)廣義預測控制反應時間較短，具有快速性，但是超調(diào)較大，而且在控制過程中振蕩過程時間較長，恒溫環(huán)境的舒適度較差;在控制初始過程中需要較高的輸入值u，即需要較高的供暖熱水溫度，能源消耗較大。而采用基于量子遺傳算法的約束廣義預測控制方法的系統(tǒng)輸出反應時間稍長，但室內(nèi)空氣溫度變化超調(diào)小且振蕩少，能夠較快地達到預設溫度值，符合人體對空氣溫度的舒適度的要求;控制輸入u的變化也較為平穩(wěn)，即對供暖水的溫度要求較低，從而實現(xiàn)了節(jié)約能源目的。此外，控制輸入u的振蕩也會相應減少，避免了設備的頻繁動作，從而延長了設備的使用壽命。

在實際生活中，許多不確定的因素導致房間空氣溫度的急劇變化。例如門窗突然打開一段時間，再關上門窗，導致室內(nèi)空氣溫度驟降。因此，為了驗證控制器的魯棒性，假設在室內(nèi)空氣溫度穩(wěn)定后，在T=4×104s時對系統(tǒng)施加一個脈沖擾動，脈沖作用時間為Tr=400 s。QGAGPC與GPC控制的魯棒性比較仿真結果如圖3所示。

圖3 魯棒性仿真曲線Fig.3 Robustness simulation curves

從圖3可以看出，實際輸出值在受到冷空氣干擾后，以對流方式與室內(nèi)空氣進行熱交換，導致室內(nèi)空氣溫度下降，而在系統(tǒng)控制作用下，室內(nèi)空氣溫度又逐漸恢復到期望的溫度值。在溫度恢復過程中，與常規(guī)廣義預測控制相比較，基于量子遺傳算法的約束廣義預測控制的系統(tǒng)輸出較為平緩，動態(tài)降落量小，不會使人感覺到劇烈的溫差變化。

考慮到地暖模型參數(shù)的不確定性，本文對產(chǎn)生參數(shù)攝動的被控對象也進行了仿真研究。

此時，在本文控制方法下的系統(tǒng)輸出如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)輸出曲線Fig.4 Output curves of system

由圖4可以看出，當模型參數(shù)產(chǎn)生攝動時，系統(tǒng)在本文所采用的控制方法的作用下同樣能夠較快地達到穩(wěn)定輸出。當一個不確定擾動作用于穩(wěn)定輸出的系統(tǒng)時，系統(tǒng)同樣表現(xiàn)出了較強的魯棒性。

5 結束語

量子遺傳算法是一種新興的優(yōu)化算法，與其他優(yōu)化算法相比較，它具有高度的種群多樣性、收斂速度快等優(yōu)勢。本文將量子遺傳算法應用于地暖控制系統(tǒng)的約束廣義預測控制中，仿真結果表明，基于量子遺傳算法的約束廣義預測控制的控制效果優(yōu)于常規(guī)廣義預測控制。優(yōu)越性主要表現(xiàn)在超調(diào)量明顯減少和振蕩較少，能夠使實際輸出值較快的達到預設溫度值，并滿足人體對溫度舒適度的要求。此外，控制系統(tǒng)具有較強的魯棒性，在實際應用中具有重要意義。

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