拓守恒

（陜西理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，陜西 漢中723000）

0 引 言

差分進(jìn)化算法（differential evolution，DE）具有全局探索和局部開發(fā)的能力，容易和其他優(yōu)化搜索混合等特性［1］，在大規(guī)模復(fù)雜應(yīng)用研究中取得了較好的效果［2］，但也存在求解精度低等缺點(diǎn)，研究者們?yōu)榱颂岣逥E算法的性能，做了大量研究和改進(jìn)。文獻(xiàn)［3］按照個(gè)體適應(yīng)度的差異將個(gè)體分成不同的子種群，并針對不同的個(gè)體適應(yīng)度值采用不同的變異算子，以保證在加快算法收斂速度的同時(shí)有效地跳出局部極值點(diǎn)。文獻(xiàn)［4］提出一種基于多進(jìn)化模式協(xié)作的差分進(jìn)化算法，在每次迭代時(shí)，總是依次從3種模式中選取一種用于不同個(gè)體的進(jìn)化，從而提高算法的通用性。文獻(xiàn)［5］提出一種帶有隨機(jī)變異的動(dòng)態(tài)差分進(jìn)化算法，在這個(gè)算法中，兩種不同的變異策略DE/rand/1和DE/best/1通過線性遞減加權(quán)組合策略產(chǎn)生新的變異策略，以便動(dòng)態(tài)利用DE/rand/1和DE/best/1的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)［6］提出了中心變異差分進(jìn)化算法，算法在每代變異時(shí)，選擇種群的一個(gè)中心個(gè)體作為基向量，根據(jù)參加變異的3個(gè)隨機(jī)個(gè)體向量間的函數(shù)適應(yīng)值的大小關(guān)系，確定差向量的方向。上述幾種算法都是針對差分進(jìn)化算法的某一方面的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)，或者針對某一具體問題的應(yīng)用性改進(jìn)，但是往往通用性較差，難以在各種復(fù)雜變化的問題中得到好的優(yōu)化效果。

為了提高DE算法的通用能力，受蟻群算法的啟發(fā)，本文提出一種基于蟻群算法的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法。算法將目前已經(jīng)取得較好效果的變異算子綜合應(yīng)用于優(yōu)化問題中，采用一種改進(jìn)的多模式并行差分變異策略，不同于文獻(xiàn)［4］，本文采用蟻群算法對差分變異算子的選擇概率進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，從而提高算法的優(yōu)化速度、穩(wěn)定性和通用性。

1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化（differential evolution，DE）［7］是由Storn和Price于1996年為求解切比雪夫多項(xiàng)式而提出的一種演化算法。DE算法用浮點(diǎn)矢量編碼在連續(xù)空間中進(jìn)行隨機(jī)搜索。DE主要采用2種進(jìn)化算子：差分變異算子和交叉算法進(jìn)化種群。由于DE算法采用實(shí)屬編碼，算法簡單易用，所以在連續(xù)域優(yōu)化問題種得到了廣泛應(yīng)用［8］。

1.1 差分變異算法性能特征分析

DE算法的關(guān)鍵是差分變異算子（differential operator，DO），目前有多種變異進(jìn)化模式，其一般表示形式為DE/x/u/y/z［4，9］，其中，x表示在差分變異算法中與差異向量進(jìn)行重組的基準(zhǔn)個(gè)體，基準(zhǔn)個(gè)體可以是：當(dāng)前個(gè)體Xi、隨機(jī)選取的個(gè)體Xrand或者是當(dāng)前群體的最優(yōu)個(gè)體Xbest；u表示差異向量的生成方式（rand－to－rand，rand－to－best），y表示參與重組的差異向量個(gè)數(shù)；z表示重組所采用的方式，主要有指數(shù)重組方式和二項(xiàng)式重組方式。本文選取下面4個(gè)取得較好優(yōu)化效果的變異進(jìn)化模式，并對其進(jìn)行改進(jìn)：

其中，λ，c1，c2是變異因子，在（0，1）上取值，r是（0，1）上的隨機(jī)數(shù)。

模式（1）是標(biāo)準(zhǔn)的差分變異進(jìn)化算法，從種群中隨機(jī)選擇個(gè)體Xr1、Xr2和Xr3。讓基準(zhǔn)個(gè)體Xr1和差向量Xr2－Xr3進(jìn)行重組生成新個(gè)體Vi。該算法全局搜索能力強(qiáng)、不容易陷入局部搜索，但收斂速度慢，求解精度低。

模式（3）以當(dāng)前種群中最優(yōu)個(gè)體Xgbest作為基準(zhǔn)個(gè)體，從準(zhǔn)確中隨機(jī)選擇4個(gè)個(gè)體生成差向量：Xr1－Xr2和Xr3－Xr4，特點(diǎn)是收斂速度快、求解精度高，但對于多模態(tài)優(yōu)化問題，容易陷入局部最優(yōu)。

模式（2）以隨機(jī)個(gè)體Xr1作為基準(zhǔn)個(gè)體，用Xgbest（當(dāng)前種群中最優(yōu)個(gè)體）和Xpbest（隨機(jī)選擇的3個(gè)體中最優(yōu)個(gè)體）分別和隨著個(gè)體Xr2，Xr3作差，生成差向量：Xgbest－Xr1和Xpbest－Xr2。模式（4）借鑒粒子群優(yōu)化算法思想，以局部最優(yōu)個(gè)體Xpbest和種群最優(yōu)個(gè)體Xgbest作為基準(zhǔn)個(gè)體，隨機(jī)選擇2個(gè)體作差向量。模式（2）、模式（4）結(jié)合模式（1）和模式（3）的優(yōu)缺點(diǎn)，在全局收斂性、局部收斂性和收斂速度等方面做了均衡，增強(qiáng)了算法的通用性，但算法的魯棒性和求解精度任然較低。

上述變異進(jìn)化模式（2）～模式（4）各自雖然針對差分進(jìn)化算法的某一方面的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)，但對一些具體問題進(jìn)行優(yōu)化時(shí)性能表現(xiàn)各異，其一種算法并不能對所有問題通用有效，甚至同一問題在維度不同時(shí)（比如100維和200維），同一算法的有效性也有很多差異。為了使差分進(jìn)化算法具有更強(qiáng)的通用性和魯棒性，文獻(xiàn)［4］隨機(jī)從3種變異進(jìn)化模式中隨機(jī)選取一種用于不同個(gè)體的進(jìn)化，雖然使得算法具有更強(qiáng)的通用性，但隨機(jī)選取變異模式使得收斂速度明顯降低。文獻(xiàn)［5］中，兩種不同的變異策略DE/rand/1和DE/best/1通過線性遞減加權(quán)組合策略產(chǎn)生新的變異策略，算法也僅僅是在全局收斂和局部收斂做了一點(diǎn)平衡。

本文提出一種利用蟻群算法動(dòng)態(tài)選擇差分變異進(jìn)化模式，算法根據(jù)個(gè)體進(jìn)化中各模式對優(yōu)化問題的有效性對權(quán)值進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，從而提高算法的收斂速度、穩(wěn)定性和通用性。

2 算法描述

2.1 蟻群算法

蟻群算法（ant colony optimization algorithm，ACO）［10－11］也是新型仿生智能優(yōu)化算法。ACO算法通過模仿螞蟻尋食過程，利用螞蟻群在尋找食物過程中留下的信息素，探索一條到食物源的最佳路徑［12－13］。

2.2 基于蟻群算法的多模式差分變異

本文提出一種基于蟻群算法的多模式差分變異算法，使群體在進(jìn)化過程中根據(jù)各變異進(jìn)化算法的有效性動(dòng)態(tài)調(diào)整其選擇權(quán)值，個(gè)體在每代進(jìn)化中根據(jù)變異進(jìn)化模式（DO1，DO2，DO3，DO4）上的信息素（τ1，τ2，τ3，τ4）的大小采用輪盤賭選擇算法選擇變異算子，如圖1所示。

（1）信息素的更新

設(shè)置初始信息素τ1（t0）＝τ2（t0）＝τ3（t0）＝τ4（t0）＝0.25，這樣在進(jìn)化開始時(shí)，各變異算子（DO1，DO2，DO3，DO4）被選中的概率相同。

為了提高進(jìn)化效率，在個(gè)體的進(jìn)化過程中根據(jù)各變異算子對進(jìn)化所做的貢獻(xiàn)更新信息素。更新規(guī)則如下

圖1 基于蚊君算法的多模式差分進(jìn)化過程

式中：M——種群中個(gè)體的數(shù)量（螞蟻的數(shù)量），i＝1，2，…，M，ρ——信息素的蒸發(fā)率。max f、min f——當(dāng)前種群中個(gè)體的最大、最小適應(yīng)值。

（2）改進(jìn)的自適應(yīng)差分變異

本文提出一種自適應(yīng)的并行變異策略，改進(jìn)后變異算子可表示為：

其中，λ＝rand（1，D），rnd＝rand（1，D），rand（1，D）表示在（0，1）上產(chǎn)生一個(gè)D維的隨機(jī)向量。

br＝｛s1s2，…，sD｝＝round（rand（1，D）＊ex），，（u∈［0.8，1.5］，σ∈［0.7，2］），t是當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)。maxT是最大進(jìn)化次數(shù)。D是維數(shù)，round（a）表示對a進(jìn)行4舍5入取整?！?×”表示向量對應(yīng)位的乘積，比如：（0.5，0.4，0.7，0.2）.×（1，0，1，0）＝（0.5，0，0.7，0）。

2.3 基于蟻群算法的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法

算法步驟如下：

（1）參數(shù)初始化：設(shè)置種群大小 M，交叉概率p，信息素的蒸發(fā)率ρ＝0.2，變異參數(shù)（u，σ），最大迭代次數(shù)maxT，維數(shù)D，種群擁擠裁剪最小距離minL，進(jìn)化終止條件等參數(shù)。

（2）在可行解空間內(nèi)隨機(jī)初始化種群。

（3）計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度。

（4）利用本文提出的基于蟻群算法的差分變異算法對種群進(jìn)行一次變異進(jìn)化。

（5）利用交叉算子和選擇算子對種群進(jìn)行交叉和選擇。

（6）混沌搜索：選擇種群中最優(yōu)個(gè)體Xgbest進(jìn)行混沌迭代［14］，最大迭代次數(shù)設(shè)置為20。

（7）為了避免種群陷入局部搜索，采用種群擁擠距離裁剪策略［15］將種群中擁擠距離＜minL的部分個(gè)體剔除。

（8）產(chǎn)生新個(gè)體補(bǔ)充到種群，使得種群大小為保持為M。

（9）終止條件判斷。如果迭代次數(shù)達(dá)到規(guī)定最大值或獲得到理想的結(jié)果，則結(jié)束并輸出結(jié)果，否則轉(zhuǎn)到第（4）步繼續(xù)下一代進(jìn)化。

3 算法仿真分析

為了驗(yàn)證本文算法的性能，所使用的硬件環(huán)境為：方正Pentium 4CPU1.8GHz處理器，512MB內(nèi)存，算法編碼在MATLAB 2009（a）進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。測試選取了5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)benchmark高維多模態(tài)測試函數(shù)（f1－f5）作為測試用例，將算法測試結(jié)果與 MEDE［4］進(jìn)行比較。在所有測試函數(shù)中，設(shè)置參數(shù)u＝1.0，σ＝1.2。分別測試在維數(shù)D＝100和D＝200是的運(yùn)行結(jié)果，讓每個(gè)測試各自獨(dú)立運(yùn)行20次，并記錄下平均進(jìn)化次數(shù)（Gens），20次結(jié)果的最優(yōu)值（Best），20次測試的平均值（Mean）及標(biāo)準(zhǔn)方差（Std），見表1。

表1 本文算法與MEDE算法在函數(shù)f1－f5上的測試結(jié)果比較

在測試中，實(shí)驗(yàn)同時(shí)記錄了不同階段4種變異進(jìn)化模式上的信息素的變化過程，如圖2、圖3所示。通過圖2和圖3可以看出，對100維的函數(shù)f1，進(jìn)化初期，DO3獲得很高的信息素，DO1一直保持低水平的信息素，DO4在進(jìn)化后期效果明顯，信息素增加較快。而對函數(shù)f3和f1相比，變異進(jìn)化模式DO1和DO3出現(xiàn)了相反的變化過程。這說明對于不同的問題往往解決方式有差異，本文通過基于蟻群算法的自適應(yīng)多模式差分變異策略，使得算法面對具體問題時(shí)，能夠根據(jù)進(jìn)化的需要自適應(yīng)的選擇變異模式，從而提高收斂速度和解的精度。

圖2 函數(shù)f1（100維）在進(jìn)化過程中信息素變化曲線

從表1中可以看出，除了測試函數(shù)f3之外，其余函數(shù)在100和200維都能夠在3000次以內(nèi)獲得高精度全局近似最優(yōu)解。觀察20次獨(dú)立運(yùn)行的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，Best、Mean和Std在測試函數(shù)f1和f2上與MEDE算法比較接近，而測試函數(shù)f3－f5結(jié)果具有明顯優(yōu)勢，并且進(jìn)化代數(shù)和函數(shù)的評價(jià)次數(shù)也遠(yuǎn)低于MEDE。圖4是函數(shù)f3在200維時(shí)的進(jìn)化收斂曲線，由圖可以明顯看出，本文算法不論是收斂速度還是解的精度都明顯優(yōu)于MEDE算法。

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法存在收斂速度慢、魯棒性低和通用性差等特點(diǎn)，并且同一變異算子對不同問題時(shí)，性能存在較大差異，甚至對同一函數(shù)在維度不同時(shí)也存在差異。為了提高算法的通用性，本文在傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法基礎(chǔ)上提出了一種基于蟻群算法的自適應(yīng)多模式差分進(jìn)化算法，算法根據(jù)各變異算子對當(dāng)前種群的進(jìn)化效果進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整各變異模式上的信息素，使得各變異算子發(fā)揮其最大性能。

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