梁詩雪，孫偉玲，李 杰，2

（1.同濟大學 土木工程學院，上海200092；2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海200092）

實際的工程結(jié)構(gòu)，由于材料特性、邊界條件和系統(tǒng)輸入均不同程度存在隨機性，因而在許多場合將工程結(jié)構(gòu)視為隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)［1］是較確定性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)較為合理的一種反映方式.舉例言之，對于混凝土材料，由于初始隨機元（微裂縫、微孔洞等）和隨機組分（骨料分布等）的存在，導致工程結(jié)構(gòu)中混凝土強度、彈性模量等是三維隨機場.采用概率論的觀點才能更科學、細致地反映隨機結(jié)構(gòu)的受力力學行為［2］.

在隨機場直接模擬方法中，最為典型的即為譜表現(xiàn)［3］方 法、Karhunen－Loeve分 解 方 法［4］、雙 重 正交分解方法［5］等.文獻［6］對有代表性的方法進行了比較研究.然而，由于上述方法采用無窮級數(shù)，為了保證足夠的精度，須引入足夠多的隨機變量對隨機場進行模擬，增加了計算難度、降低了計算效率.

1969年，Goto和Toki率先提出了一類頻率和相位同時具有隨機性的譜表現(xiàn)方法［7］.Shinozuka等對譜表現(xiàn)方法進行了系統(tǒng)深入的研究［8］，并在1996年將這一工作擴展至多維隨機場模擬［9］.在上述背景下，陳建兵、李杰提出了隨機諧和函數(shù)的概念［10］.在此基礎(chǔ)上，孫偉玲等進一步提出了隨機過程的第二類隨機諧和函數(shù)表達［11］.研究表明：當頻率與相位在經(jīng)過剖分的子空間內(nèi)分別服從獨立均勻分布、幅值由隨機頻率與目標功率譜密度決定時，無論隨機諧和函數(shù)分量的個數(shù)是多少，該隨機過程的功率譜密度函數(shù)均精確地等于目標功率譜密度函數(shù).

本文試圖將上述隨機諧和函數(shù)表達進一步擴展至空間多維隨機場，并證實采用隨機諧和函數(shù)表達二維（多維）隨機場的適用性.

1 二維隨機場的第二類隨機諧和函數(shù)表達

隨機場是隨機過程在空間域（場域）上的自然推廣.對于二維隨機場f（u）其自相關(guān)函數(shù)

式中：u為二維空間變量，表示數(shù)學期望.定義自協(xié)方差函數(shù)

則自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)關(guān)系為Kff（u，u′）＝Rff（u，u′）－E（f（u））E（f（u′））.對于平穩(wěn)隨機場，其自相關(guān)函數(shù)可寫為Rff（u，u′）＝Rff（u－u′）＝Rff（r），r為距離向量.

單個波動組分在時間上的頻度稱為頻率，而在空間上的頻度稱為波數(shù)，其表示2π單位長度內(nèi)波的個數(shù).波數(shù)K＝2π／τ，τ為波長.

平穩(wěn)隨機場f（x1，x2）的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)Sff（K1，K2）間存在如下維納－辛欽關(guān)系：

式中：K1，K2分別為x1，x2方向的波數(shù)；ξ1，ξ2分別為x1，x2方向的距離.出于實際應用考慮，通常取波數(shù)－K1u≤K1≤K1u，－K2u≤K2≤K2u，其中K1u＜∞，K2u＜∞分別為隨機場在x1，x2方向的上限截止波數(shù)，由此，式（4）可寫為

二維隨機場雙象限單邊功率譜Gff（K1，K2）為

對隨機過程的隨機諧和函數(shù)表達［11］作二維擴展，有二維隨機場的隨機諧和函數(shù)表達

式中：N1，N2為隨機諧和函數(shù)展開項數(shù)；K1n1，K2n2分別為隨機場第n1，n2個諧和分量波數(shù)；An1n2，分別為幅值和相位角。的內(nèi)點，且滿足的內(nèi)點，且滿足并記波數(shù)K1n1，K2n2和相位角為隨機變量.

顯然，式 （7）的自相 關(guān) 函 數(shù) 為R~f~f（ξ1，ξ2）＝對于式（7）所示的隨機諧和函數(shù)，存在以下定理：

（2）K1n1，K2n2，n1＝1，2，…，N1，n2＝1，2，…，N2為相互獨立的隨機變量，分別服從區(qū)間內(nèi)均勻分布，概率密度函數(shù)為pKjnj（Kj）.

不妨設(shè)f（x1，x2）為零均值的平穩(wěn)隨機場，則應有

證明 由式（7），有

若相位角Φn1n2，1，Φn1n2，2和波數(shù)K1n1，K2n2服從均勻分布，易知

將式（14）進行分解

當m1≠n1或m2≠n2時，式（15）第1項可寫為

同理，當m1≠n1或m2≠n2時，式（15）第4項的值也為零.考察式（15）第2，3項，對于任意m1，m2，n1，n2易知其值恒為零.綜上所述，僅考慮第1項和第4項在m1＝n1且m2＝n2時有

將式（8）～（10）代入（17），有

2 隨機諧和函數(shù)隨機場的性質(zhì)

2.1 平穩(wěn)性

由第1節(jié)的證明同時根據(jù)式（18）可見采用隨機諧和函數(shù)表達的隨機場的相關(guān)函數(shù)僅與坐標差有關(guān)，且（x1，x2）為零均值平穩(wěn)隨機場.

2.2 漸進正態(tài)性

采用Laning－Batting提出的雙變量中心極限定理［12］并推廣到空間域，則滿足定理（1）的條件且當N1，N2→∞時，隨機場（x1，x2）任意n個坐標點的截口隨機變量組成的隨機向量（（x11，x21），（x12，x22），…，（x1n，x2n））趨向于多維聯(lián)合正態(tài)分布.事實上，對于式（7）定義的二維隨機場，定義

令Z11，Z21，…，ZN1N2是N1×N2個獨立雙變量隨機向量其1階矩存在且已知，則此二維隨機向量的和為由 Laning－Batting 定理知，當N1→∞且N2→∞時，若滿足

考察式（21）括號內(nèi)第1項，根據(jù)孫偉玲等的研究［11］易知：當N1，N2→∞，ΔK1n1→0，ΔK2n2→0時有

類似地，式（21）括號內(nèi)第2～4項分別為零，因此

根據(jù)Laning－Batting定理可知Zn1n2＝（Xn1n2，Yn1n2）具有漸進正態(tài)性.

根據(jù)多維正態(tài)隨機變量的性質(zhì)可將結(jié)論推廣至任意n個坐標值所形成的隨機向量，即（~f（x11，x21），（x12，x22），…，（x1n，x2n））均具有漸進正態(tài)性.

2.3 截口概率密度函數(shù)

通過截口隨機變量的概率密度函數(shù)考察隨機諧和函數(shù)式（7）的性質(zhì).首先，引入隨機諧和函數(shù)的前幾階中心距對生成的隨機場進行描述，α1～α4分別表示隨機場前4階矩.

同理可證

對隨機場4階中心矩進行討論，顯然峰度系數(shù)ce為

將式（6），（9），（10）代入上式，當波數(shù)區(qū)間ΔK1，ΔK2取ΔK11＝ΔK12＝…＝ΔK1N1＝ΔK1＝K1u／N1且ΔK21＝ΔK22＝…＝ΔK2N1＝ΔK2＝K2u／N2時，有

則ce可寫為ce＝－3γ·（2N1N2）－1.

對于隨機場的一維概率密度函數(shù)，當前4階矩均已知時，可以采用Pearson［13］分布函數(shù)族逼近pf（y，（x1，x2））的表達式

前已述及二維隨機諧和函數(shù)形式前4階矩不隨坐標位置的變化而改變，因此p~f（y，（x1，x2））＝由此可以獲得隨機場的一維概率密度函數(shù).

采用相對熵［14］比較2個概率密度函數(shù)的近似程度：若2個函數(shù)完全相同，則相應的相對熵為零.2個函數(shù)相差越大，則相對熵絕對值越大.取標準正態(tài)分布為目標分布，相對熵φ）表示如下：

此時，考察p~f（y）趨向于正態(tài)分布的速率，對σ2＝1的情況進行討論［11］，由Pearson分布形式和歸一化條件，得

將上式代入式（32）可獲得相對熵.圖1給出了當二維隨機場譜密度形狀參數(shù)γ取1.5和1.9時隨機分量不同取值所對應的截口概率密度分布函數(shù)與標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，圖2給出了相對熵的對比.可見，隨著N1，N2的增大，隨機場的一維概率密度函數(shù)pf（y）很快趨向于標準正態(tài)分布，而其相對熵則很快地趨近于零.

3 多維隨機場的隨機諧和函數(shù)表述

式（7）所示的二維隨機諧和函數(shù)形式可以推廣至多維情況.對于m維情況，若目標函數(shù)f（u）服從且為平穩(wěn)隨機場，則有

圖1 一維概率分布與標準正態(tài)分布Fig.1 One－dimensional probability density function and normal distribution

圖2 一維概率分布與標準正態(tài)分布的相對熵Fig.2 Relatively entrophy of one－dimensional probability density function and normal distribution

4 數(shù)值算例

采用式（7）表述的隨機諧和函數(shù)生成二維隨機場.圖3a給出了上述情況下目標功率譜密度函數(shù)；圖3b給出了采用隨機諧和分量N1×N2＝8×8的目標函數(shù)的功率譜密度函數(shù)；圖3c給出了采用經(jīng)典譜表現(xiàn)方法×＝64×64的功率譜密度函數(shù)；圖4，圖5分別給出了在K1，K2方向的3種功率譜的比較.可見，經(jīng)典譜表現(xiàn)方法和隨機協(xié)和函數(shù)表達均能較好地符合目標功率譜，然而，采用隨機諧和函數(shù)生成的隨機場所需隨機變量更少，計算耗時更短.

圖3 功率譜密度函數(shù)Fig.3 Power spectral density function

圖4 K1方向功率譜密度函數(shù)Fig.4 Power spectral density function spectrum of K1

圖5 K2方向功率譜密度函數(shù)Fig.5 Power spectral density function spectrum of K2

5 結(jié)論

將第二類隨機諧和函數(shù)推廣至多維隨機場，可以采用較少的隨機諧和分量表示較為豐富的概率信息.證明了對于二維甚至多維隨機場，當隨機波數(shù)和隨機相位服從獨立均勻分布時，采用有限項隨機協(xié)和函數(shù)表達的隨機場的功率譜密度函數(shù)可精確地等于目標功率譜函數(shù).同時，這類隨機場服從平穩(wěn)性、漸進正態(tài)性.以數(shù)值算例驗證了采用隨機諧和函數(shù)生成的二維隨機場，相比經(jīng)典的譜表現(xiàn)方法，本文建議方法可以反映更多的概率信息，所需展開項數(shù)更少，計算更為快速、有效.

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