陳 湘，吳 佳，劉玉璽

(1．湖北科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 咸寧 437100;2．咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 中專部，湖北 咸寧 437100)

1 基本定義

為方便我們的討論，先介紹一些基本定義［1～2］．

定義1 設(shè)f是區(qū)域D到D＇的同胚

(1)對(duì)D內(nèi)任意矩形{x+iy：a＜x＜b，c＜y＜d}D，函數(shù)f(x+iy)對(duì)幾乎所有的x∈(a，b)是y的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，而對(duì)幾乎所有的y∈(c，d)，f(x+iy)是x的連續(xù)函數(shù)．

(2)存在K≥1，使得f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在D內(nèi)幾乎處處滿足

則稱f(z)是D內(nèi)的單葉K－擬共形映射，若其值域是Riemann球面上的區(qū)域，則稱f(z)是D內(nèi)的單葉K－擬亞純映射．

定義2 設(shè)f(z)是平面區(qū)域D內(nèi)的復(fù)值連續(xù)函數(shù)，若對(duì)D內(nèi)一點(diǎn)z0，存在z0的鄰域U(D)與一正整數(shù)n(依賴于z0)使

是U上的單葉K－擬亞純映射，則稱f(z)在z0點(diǎn)是n葉K－擬亞純映射，若f在D內(nèi)每一點(diǎn)都是n葉K－擬亞純映射，則稱f是D內(nèi)的K－擬亞純映射．

下面我們給出一些記號(hào)的簡(jiǎn)單解釋及S(r，f)的含義，設(shè)f是復(fù)平面上的K－擬亞純映射(當(dāng)K=1時(shí)，f(z)就是亞純函數(shù))．對(duì)于任意復(fù)數(shù)a，記f－a在|z|＜r內(nèi)的零點(diǎn)總數(shù)為n(r，a);若不記零點(diǎn)的重?cái)?shù)，則記為珔n(r，a)．相應(yīng)地，對(duì)于角域{|z|＜r}∩{|argz－θ|＜ε}有記號(hào)珔n(r，θ，ε，a)．記|z|＜r在映射f(z)=u(x，y)+iv(x，y)下到V上的覆蓋曲面為Fr，F(xiàn)r對(duì)V的平均覆蓋次數(shù)

其中|Fr|與|V|分別表示Fr與V的面積．

定義3 設(shè)f(z)是超越K－擬亞純映射，則

稱為f的級(jí)，當(dāng)ρ=0時(shí)，稱f為零級(jí)K－擬亞純映射;

當(dāng)0＜ρ＜∞ 時(shí)，稱f為有限正級(jí)K－擬亞純映射;

當(dāng)ρ=∞ 時(shí)，稱f為無(wú)窮級(jí)K－擬亞純映射．

定義4 設(shè)f(z)是復(fù)平面C內(nèi)的p(0＜p＜∞)級(jí)K－擬亞純映射，如果對(duì)任意ε和C內(nèi)的任何復(fù)數(shù)a，可能除去兩個(gè)例外值外，有下列等式

成立，則稱從原點(diǎn)出發(fā)的半直線argz=θ為f(z)的p級(jí)Borel方向，其中n(θ－ε，θ+ε，r，f=a)是f(z)在Ω(θ－ε，θ+ε，r)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，重級(jí)按其重?cái)?shù)計(jì)算

2 主要結(jié)果

自1997年孫道椿、楊樂(lè)［1］的工作發(fā)表以來(lái)，關(guān)于擬亞純映射的值分布取得了很多重要結(jié)果．其中孫道椿、楊樂(lè)［1］證明了

定理A設(shè)f(z)是平面上的ρ(0＜ρ＜∞)級(jí)K－擬亞純映射，則f(z)至少存在一條ρ級(jí)Borel方向．

后來(lái)，陳特為、孫道椿(［3］［4］［5］)研究了無(wú)限級(jí)K－擬亞純映射的Borel方向的存在性．為了引入他們的結(jié)果，先介紹如下結(jié)論

定理B［5］設(shè)函數(shù)B(r)在［a，∞］上連續(xù)，且

則存在連續(xù)可微函數(shù)ρ(r)及U(r)，滿足：

(1)ρ(r)單調(diào)下降趨于零，ρ＇(r)單調(diào)上升．

在［5］中，陳特為、孫道椿證明了

定理C設(shè)f(z)是Z平面上的無(wú)限級(jí)擬亞純映射，U(r)是它的型函數(shù)，則f(z)至少有一條關(guān)于U(r)的Borel方向，即對(duì)任意0＜ε＜δ及任意復(fù)數(shù)a(至多除去一個(gè)零測(cè)集)，恒有

其中n(Ω(φ－ε，φ+ε)，r，a)是f(z)－a在角域Ω(φ－ε，φ+ε，r)內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，重級(jí)按其重?cái)?shù)計(jì)算．

對(duì)于零級(jí)K－擬亞純映射，由于函數(shù)增長(zhǎng)太慢，研究起來(lái)有一定的困難．關(guān)于零級(jí)K－擬亞純映射的值分布，雖然有一些結(jié)果，但并不完善，比如吳昭君［6］應(yīng)用零級(jí)函數(shù)的型函數(shù)證明了零級(jí)K－擬亞純映射的Borel方向的存在性．最近，陳天佑［7］引入對(duì)數(shù)級(jí)的概念研究了零級(jí)亞純函數(shù)的對(duì)數(shù)級(jí)Borel方向．一個(gè)自然的問(wèn)題是我們能否避開(kāi)型函數(shù)的討論來(lái)研究零級(jí)－擬亞純映射的對(duì)數(shù)級(jí)Borel方向呢?本文主要利用覆蓋曲面的幾何方法來(lái)討論這一問(wèn)題，事實(shí)上，我們將證明如下定理：

定理1 設(shè)f(z)是平面上的滿足增長(zhǎng)條件

的零級(jí)K－擬亞純映射，則至少存在一條從原點(diǎn)出發(fā)的射線L：argz=θ，使得

對(duì)任意的復(fù)數(shù)a及任意的正數(shù)ε成立，至多可能除去關(guān)于a的兩個(gè)例外值．

我們稱滿足定理1條件的射線L：argz=θ為f(z)的對(duì)數(shù)級(jí)Borel方向．

3 相關(guān)引理及其定理的證明

為了證明定理1，我們還需要如下引理．

引理1［8］設(shè)f是平面上的K－擬亞純映射;△：|argz|≤a是包含于△0：|argz|≤a0的角域(0＜α＜α0≤2π);a1，a2，…，aq是q個(gè)(q＞2)判別復(fù)數(shù)，則

下面開(kāi)始證明定理1．

定理1的證明 由于

如若不然，則

又

則

再把△1等分成兩塊，由(2)知，其中至少存在一塊記為 △2．滿足

且△1△2，如此一直進(jìn)行下去，我們得到一個(gè)角形域序列{△n}，滿足

對(duì)于每一個(gè)△n都有

由10)，20)，我們可知△n收斂于一條半直線B：argz=θ，下面我們證明半直線B：argz=θ為f(z)一條滿足定理1要求的方向．

如若不然．則存在以B為角分線的某角域Ω：{z：|argz－θ|＜ε}以及三個(gè)不同的復(fù)數(shù)a1，a2，a3使得

由于△n→θ0，則對(duì)上述ε＞0，存在充分大的n，使得△nΩ．由引理1得

則

結(jié)合(3)式有

這與

相矛盾．

故假設(shè)不成立．這就是說(shuō)，對(duì)于任意復(fù)數(shù)(至多除去兩個(gè)例外值)，都有

定理得證．

［1］孫道椿，楊樂(lè)．?dāng)M亞純映射的值分布［J］．中國(guó)科學(xué)(A輯)，1997，27，(2)：132 ～139．

［2］李忠．?dāng)M共形映射及其在黎曼曲面論中的應(yīng)用［M］．北京：科技出版社，1998．

［3］孫道椿．Nevalinna方向的存在性［J］．?dāng)?shù)學(xué)年刊，1986，7A，(2)：212～221．

［4］孫道椿，楊樂(lè)．?dāng)M亞純映射的正規(guī)族［J］．中國(guó)科學(xué)(A輯 )，2003，33，(1)：48 ～56．

［5］陳特為，孫道椿．?dāng)M亞純映射的奇異方向［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1999，19，(4)：472 ～478．

［6］吳昭君．零級(jí)擬亞純映射的Borel方向［J］．咸寧學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，23，(6)：32 ～33．

［7］陳天佑 ，Common Borel directions of ameromorphic function with zero order and its derivative［J］，Proc．Amer．Math．Soc．2004，132，(4)：1171 ～1175．

［8］宋述剛．?dāng)M亞純映射的 Borel方向［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志，1999，19，(3)：277 ～281．