杜世勤

（上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院，上海200240）

磁力泵是一種由外磁與內(nèi)磁轉(zhuǎn)子配合、外磁轉(zhuǎn)子通過磁力帶動(dòng)內(nèi)磁轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)、內(nèi)磁轉(zhuǎn)子帶動(dòng)泵軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使泵體內(nèi)泵軸上的葉輪轉(zhuǎn)子完成轉(zhuǎn)動(dòng)工作的泵。一般情況下，內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子具有相同的磁極極對(duì)數(shù)。由于內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子之間有隔離罩形成密封腔，將輸出軸和內(nèi)磁轉(zhuǎn)子封閉在密封腔內(nèi)，既可防止流體向外部滲漏，又可冷卻磁力傳動(dòng)裝置（見圖1）。

磁力泵結(jié)構(gòu)緊湊、外形美觀、體積小、噪聲低、運(yùn)行可靠，被廣泛應(yīng)用于化工、制藥、石油等企業(yè)抽送酸、堿液、稀有貴重液、毒液、揮發(fā)性液體，特別是易漏、易燃、易爆液體物的抽送[1-2]。

圖1 磁力耦合器的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of radial field magnetic coupler

要設(shè)計(jì)一臺(tái)磁力耦合器，其磁場(chǎng)計(jì)算和磁力轉(zhuǎn)矩計(jì)算是一個(gè)關(guān)鍵的步驟[3-5]。研究永磁磁場(chǎng)和磁力傳動(dòng)問題的方法，一般歸結(jié)為某些偏微分方程的求解。求解偏微分方程要結(jié)合具體問題中的特定邊界條件才能獲得唯一的解答，主要方法有電磁場(chǎng)解析法和數(shù)值分析法[6-9]。

電磁分布邊值問題的數(shù)值方法包括有限差分法、有限元法等。采用數(shù)值計(jì)算法以后，針對(duì)實(shí)際工程問題的處理的思想方法也有了明顯改變。過去要求盡可能簡(jiǎn)化物理和數(shù)學(xué)模型以求獲解；而現(xiàn)在的目標(biāo)是達(dá)到更合理的模型選擇，以保證解的精確度，因此，往往選擇比較復(fù)雜的模型。其中，有限元法占有絕對(duì)主要的地位，具有較大的應(yīng)用范圍。目前，使用有限元法求解的優(yōu)勢(shì)越來越顯著[10-12]。但是，有限元方法一般要經(jīng)過前處理、場(chǎng)計(jì)算和后處理等步驟，且商業(yè)軟件的價(jià)格不菲，還需要專門培訓(xùn)人員操作。

電磁場(chǎng)解析分析法具有較長(zhǎng)的歷史，在早期就有很多文獻(xiàn)利用電磁場(chǎng)解析分析永磁電動(dòng)機(jī)的磁場(chǎng)參數(shù)以及性能。Gu等[13-15]采用解析方法計(jì)算永磁電機(jī)電磁場(chǎng)，對(duì)永磁電動(dòng)機(jī)氣隙磁場(chǎng)、永磁體邊緣效應(yīng)及開槽效應(yīng)進(jìn)行了研究。Zhu等[16-19]采用解析方法對(duì)永磁無刷直流電動(dòng)機(jī)的空載磁場(chǎng)、電樞反應(yīng)磁場(chǎng)、開槽效應(yīng)以及負(fù)載磁場(chǎng)進(jìn)行了系統(tǒng)的分析。上述方法已使用在永磁電動(dòng)機(jī)的分析和設(shè)計(jì)之中，本文將解析方法應(yīng)用于徑向充磁磁力耦合器的磁場(chǎng)分析與轉(zhuǎn)矩計(jì)算。兩者都有永磁體磁場(chǎng)，不同之處在于電動(dòng)機(jī)氣隙一邊是永磁磁場(chǎng)，另一邊是電勵(lì)磁，且開有齒槽；而磁力耦合器為雙邊永磁磁場(chǎng)，不受齒槽定位轉(zhuǎn)矩的影響。

1 徑向充磁磁力耦合器的解析法模型

利用解析方法計(jì)算徑向充磁磁力耦合器的磁場(chǎng)和轉(zhuǎn)矩，其主要特點(diǎn)包括：① 理論方面，概念直觀，應(yīng)用于比較特殊的邊界條件下，解析法能獲得精確的解，這對(duì)于理解場(chǎng)域中參數(shù)變化對(duì)磁場(chǎng)的影響很有幫助，并可借此進(jìn)行場(chǎng)域中參數(shù)的調(diào)整。② 計(jì)算方便，雖然有的解析法所得的解冗長(zhǎng)而復(fù)雜，以致難以手工計(jì)算，但現(xiàn)在可通過計(jì)算機(jī)得到其結(jié)果。因此，解析法和計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合是一種有效的方法。③ 有限元方法是目前的主要計(jì)算方法，但該方法是在場(chǎng)域尺寸確定的前提下進(jìn)行的，若先用解析法預(yù)測(cè)，將對(duì)磁力耦合器的分析和設(shè)計(jì)有所幫助。④ 在求磁力耦合器的電磁轉(zhuǎn)矩時(shí)，有限元法對(duì)氣隙區(qū)域的剖分有一定的要求，而使用解析法則相當(dāng)方便。

1.1 步驟

當(dāng)確立了由拉普拉斯方程或泊松方程描述的數(shù)學(xué)模型后，將進(jìn)行邊值問題的求解。分離變量法是求解邊值問題的一種基本方法。當(dāng)勢(shì)函數(shù)隨2個(gè)或3個(gè)坐標(biāo)變量變化，且場(chǎng)域邊界與坐標(biāo)曲面一致的邊值問題應(yīng)用于求解拉普拉斯方程時(shí)，其具體步驟如下：

（1）根據(jù)問題給定的邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，給出邊值問題在該坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程和定解條件。一般，若場(chǎng)域邊界是平面、圓柱面、圓球面，則應(yīng)分別選用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

（2）將待求勢(shì)函數(shù)進(jìn)行分離，使之成為2個(gè)或3個(gè)函數(shù)（每個(gè)函數(shù)僅含一個(gè)坐標(biāo)變量）的乘積，并代入拉普拉斯方程，從而將多變量的偏微分方程轉(zhuǎn)化為2個(gè)或3個(gè)僅含單變量的常微分方程。

（3）由單變量的常微分方程的通解得到偏微分方程的通解，通解中含有待定的特征函數(shù)的特征值和待定常數(shù)。

（4）由邊界條件確定待定的特征值和積分常數(shù)，得出邊值問題的唯一確定解。

1.2 建立模型

采用極坐標(biāo)系對(duì)徑向充磁磁力耦合器進(jìn)行分析，隔離套的材料為非導(dǎo)磁材料，等同于氣隙，計(jì)算內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子產(chǎn)生磁場(chǎng)使用的物理模型見圖2。

圖2 單邊勵(lì)磁磁力耦合器示意圖Fig.2 Coupler topologies of inner and outer rotors

圖2中，Rro與Rmo分別為外磁轉(zhuǎn)子磁鋼外徑與內(nèi)徑，Rmi與Rri分別為內(nèi)磁轉(zhuǎn)子磁鋼外徑與內(nèi)徑；g為等效氣隙長(zhǎng)度；變量θ為所在點(diǎn)與磁極中心線之間的夾角；M為永磁體的磁化強(qiáng)度；hm為磁鋼厚度。分析中，假設(shè)內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率為無限大；永磁體均勻徑向充磁，工作的第Ⅱ象限具有線性去磁特性，且M＝Br／μ0，其中，Br為磁通密度，μ0為空氣磁導(dǎo)率。徑向磁化強(qiáng)度分布如圖3所示，其中，p為極對(duì)數(shù)。

圖3 徑向磁化強(qiáng)度分布Fig.3 Radial magnetization

1.2.1 內(nèi)磁轉(zhuǎn)子模型 對(duì)應(yīng)內(nèi)磁轉(zhuǎn)子模型，使用標(biāo)量磁位φ求解，磁場(chǎng)強(qiáng)度

在氣隙（區(qū)域Ⅰ）中，有

在永磁體（區(qū)域Ⅱ）中，有

式中，μm為磁鋼的磁導(dǎo)率。故得出標(biāo)量磁位方程。在氣隙中，

式中，▽2為拉普拉斯算子。在永磁體中，

式中，μr為相對(duì)磁導(dǎo)率。

在極坐標(biāo)下，對(duì)于徑向均勻充磁，

式中，Mr與Mθ為M中對(duì)應(yīng)的2個(gè)分量，

其中，為極弧系數(shù)。

由

得標(biāo)量磁位在氣隙和永磁體中的數(shù)學(xué)模型，其中，r為半徑。

在氣隙中，

在永磁體中，

H中對(duì)應(yīng)2個(gè)分量

式（7）～（8）滿足以下2個(gè)邊界條件：

根據(jù)數(shù)學(xué)模型及其邊界條件得到標(biāo)量磁位表達(dá)式，進(jìn)而得到氣隙中的磁密表達(dá)式。

當(dāng)np≠1時(shí)，氣隙中磁密分量為

1.2.2 外磁轉(zhuǎn)子模型 相應(yīng)地，對(duì)于外磁轉(zhuǎn)子模型，可得到氣隙中的磁密表達(dá)式如下。

當(dāng)np≠1時(shí)，氣隙中磁密分量為[16]：

根據(jù)上述內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的氣隙磁密表達(dá)式，結(jié)合磁力耦合器氣隙都比較大的實(shí)際情況，且氣隙為線性媒質(zhì)，故2個(gè)轉(zhuǎn)子之間氣隙的合成磁場(chǎng)可使用內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)分量的疊加來計(jì)算：

2 徑向充磁磁力耦合器的解析法計(jì)算和有限元計(jì)算

有限元方法在處理復(fù)雜邊界和非線性問題的磁場(chǎng)計(jì)算時(shí)，其應(yīng)用的有效性和應(yīng)用的廣度已得到工程實(shí)踐的驗(yàn)證，在磁力耦合器的設(shè)計(jì)中也被廣泛使用[3-5]，本文作為驗(yàn)證軟件使用。

本文以18極、工作轉(zhuǎn)矩為200N·m、最大轉(zhuǎn)矩為400N·m的徑向充磁磁力耦合器的磁場(chǎng)計(jì)算為例，說明本文敘述解析方法的各種特點(diǎn)，同時(shí)給出相應(yīng)的有限元計(jì)算結(jié)果用以比較。算例的具體參數(shù)如表1所示。

表1 磁力耦合器參數(shù)Tab.1 Parameters of a magnetic coupler

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，針對(duì)內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子磁極中心線成90°電角的位置，采用解析法和有限元方法分別計(jì)算氣隙中心的徑向磁密分布，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。可見兩者在形狀和數(shù)值上相一致，但利用有限元方法計(jì)算時(shí)，由于氣隙部分的離散不能無窮細(xì)化，磁密曲線的光滑性不如解析方法。

根據(jù)氣隙中內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子的合成磁場(chǎng)的徑向分量和切向分量，計(jì)算出磁力耦合器的矩角特性曲線如圖5所示。圖中，同樣給出了有限元方法對(duì)同一算例的計(jì)算結(jié)果，轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)角的變化情況，解析方法計(jì)算得到的結(jié)果和有限元方法計(jì)算得到的結(jié)果是一致的。

3 結(jié) 語

磁力耦合器內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子之間由于具有較大的氣隙，而且內(nèi)、外磁轉(zhuǎn)子具有規(guī)則的邊界條件，較好地滿足了采用解析方法計(jì)算的條件，可采用解析方法計(jì)算。算例中，解析法的得到的磁力轉(zhuǎn)矩計(jì)算結(jié)果與采用有限元方法得到的結(jié)果相一致，簡(jiǎn)化了磁力耦合器設(shè)計(jì)的計(jì)算難度，提高了磁力耦合器參數(shù)變化對(duì)磁力轉(zhuǎn)矩影響的預(yù)測(cè)能力。

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