馮 亮，文 豪，王全偉，張 君，陳言亭

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原030024)

起動(dòng)機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在啟動(dòng)和制動(dòng)等工況突變時(shí)，產(chǎn)生的剛性動(dòng)載是不可忽視的。GB/T3811《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》給出了計(jì)算管行動(dòng)載系數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算方法。但并未將影響該系數(shù)的電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)方式，機(jī)構(gòu)間隙考慮在內(nèi)。

Tt—— 啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩(N·m);

Tr—— 靜轉(zhuǎn)阻矩(N·m);

J1——靠電動(dòng)機(jī)側(cè)的慣量(kg·m2);

J2——靠低速軸側(cè)的慣量之和。

為了便于計(jì)算，起重機(jī)通常用動(dòng)力系數(shù)值來(lái)表示載荷的大小動(dòng)力系數(shù)的定義是最大振動(dòng)載荷與靜載荷的比值，對(duì)于傳動(dòng)零件則是最大振動(dòng)載荷力矩與電動(dòng)機(jī)額定力矩之比。

1 建立系統(tǒng)模型[1]

1.1 電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)力矩

繞線(xiàn)式異步電機(jī)一般都是用串入轉(zhuǎn)子電阻的方法啟動(dòng)，其啟動(dòng)過(guò)程見(jiàn)圖1(a)為減少?zèng)_擊載荷，在繞線(xiàn)電機(jī)的啟動(dòng)電阻中增加一個(gè)預(yù)備檔電阻，(即圖1中的特性曲線(xiàn)0)，機(jī)構(gòu)啟動(dòng)時(shí)附加接入這個(gè)預(yù)備檔電阻，電動(dòng)機(jī)便產(chǎn)生約等于電動(dòng)機(jī)額定力矩的75%的力矩，以消除傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的間隙，并產(chǎn)生一定的預(yù)緊力，但尚不至于使機(jī)構(gòu)啟動(dòng)，這樣可以顯著地減小振動(dòng)載荷。

圖1 繞線(xiàn)電動(dòng)機(jī)串電阻啟動(dòng)Fig.1 The serial-resistance startup of wire-wound motor

從圖1(a)[2]中可看出，繞線(xiàn)式電機(jī)的啟動(dòng)過(guò)程是:機(jī)構(gòu)啟動(dòng)時(shí)先附加一個(gè)預(yù)備檔電阻具有最大啟動(dòng)力矩Mmax，然后力矩隨速度升高而減小，逐段切去電阻，力矩按圖圖示階梯級(jí)曲線(xiàn)變化，直至全部切去電阻，按電動(dòng)機(jī)自然特性曲線(xiàn)運(yùn)轉(zhuǎn)。但是經(jīng)過(guò)分析，電動(dòng)機(jī)在切去第一檔電阻時(shí)速度從零啟動(dòng)，以后每切換一檔電阻其產(chǎn)生的動(dòng)載都小于第一檔的振動(dòng)載荷。所以在求機(jī)構(gòu)的最大振動(dòng)載荷時(shí)，

式 中: ωs—— 電 動(dòng) 機(jī) 同 步 轉(zhuǎn) 速 (角 速度，rad/s);

Tt0——電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩(N·m)

1.2 起重機(jī)起升傳動(dòng)系的數(shù)學(xué)建模

起重機(jī)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)載荷計(jì)算，以?xún)少|(zhì)量單自由度系統(tǒng)最為合適。一般認(rèn)為系統(tǒng)自由度越多，計(jì)算結(jié)果越精確，其實(shí)不然，以金屬結(jié)構(gòu)為例，如果在起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)有限元分析中，將起升質(zhì)量作為質(zhì)量矩陣中的一個(gè)元素，那么這個(gè)矩陣一定是奇異的，用這樣的矩陣參與計(jì)算，一定會(huì)造成發(fā)散的計(jì)算結(jié)果。剛度矩陣也有類(lèi)似的情況出現(xiàn)，所以在起重機(jī)有限元分析中，要對(duì)這些情況作特殊處理。[3]

在傳動(dòng)系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于平移系統(tǒng)中的質(zhì)量m.在比較轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小時(shí)，一般要把它們轉(zhuǎn)換到同一傳動(dòng)軸上才有意義。一般是把他們換算到電動(dòng)機(jī)軸上。經(jīng)過(guò)換算，齒輪的J與電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和聯(lián)軸器的慣量相比就是很小的量。在實(shí)際計(jì)算中以計(jì)算軸為基點(diǎn)，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分為兩部分:靠電動(dòng)機(jī)側(cè)的慣量之和記為J1;靠低速軸側(cè)的慣量之和為另一側(cè)，記為J2;然后將J1和J2之間用無(wú)質(zhì)量的彈性軸聯(lián)系起來(lái)，彈性軸的彈性系數(shù)為k，這樣就構(gòu)成了兩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的力學(xué)模型[4]，其中J1的廣義坐標(biāo)為θ1，J2的廣義坐標(biāo)為θ2，對(duì)這兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別應(yīng)用牛頓第二定律，可得如下兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程[5]:首先求得第一檔就可以。

將上述的電機(jī)啟動(dòng)特性，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為:

令:θ=θ1-θ2將式代入式(2)加以整理，以相對(duì)坐標(biāo)θ表示，可得單個(gè)的運(yùn)動(dòng)方程:

式中ωn為系統(tǒng)的固有頻率，由式(4)計(jì)算得:

式(3)的全解為:

由于制造的原因，不可避免的會(huì)產(chǎn)生誤差，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)總是存在一定的間隙。機(jī)構(gòu)存在間隙，啟動(dòng)和制動(dòng)是存在沖擊，造成較大的動(dòng)載荷。機(jī)構(gòu)的間隙啟動(dòng)過(guò)程可以分為三個(gè)階段，第一階段:電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)，傳動(dòng)系統(tǒng)空轉(zhuǎn)以消除間隙;第二階段:傳動(dòng)機(jī)構(gòu)開(kāi)始接觸并產(chǎn)生彈性變形，直至彈性轉(zhuǎn)矩等于外阻轉(zhuǎn)矩;第三階段:整個(gè)系統(tǒng)成為一體繼續(xù)振動(dòng)。

第一階段:電動(dòng)機(jī)加速J1直至間隙消除，這時(shí)J1已具有初速度ω0但J2尚未運(yùn)動(dòng)。

第二階段:J1與J2開(kāi)始接觸并產(chǎn)生彈性力，當(dāng)彈性力增加到能夠克服靜阻力Tr時(shí)，這一階段結(jié)束，這時(shí)軸的角速度:

第三階段:從J2參與運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)。這一階段的初位移是:θ1=Tr/k，初速度為式(6)表示的ω1.設(shè)為階躍激勵(lì)c，應(yīng)用式(5)可得軸的轉(zhuǎn)矩表達(dá)式:

于是得到最大值:

將有關(guān)常數(shù)代入，經(jīng)整理得到最大轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為:

機(jī)構(gòu)有間隙時(shí)的計(jì)算公式為式(8)為了觀察傳動(dòng)間隙對(duì)動(dòng)載荷的影響，這節(jié)做進(jìn)一步分析。由于齒輪本身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)來(lái)說(shuō)非常小，可以忽略不計(jì)，因此齒輪傳動(dòng)中各級(jí)間隙可以累計(jì)到高速級(jí)進(jìn)行處理，其總間隙量以θ0(弧度)表示。

在式(8)中，間隙的影響通過(guò)ω0來(lái)表示，ω0是電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1直至間隙消除那個(gè)瞬間J1所具有的角速度。設(shè)這一階段是等加速度運(yùn)動(dòng)，角加速度為:ε0=Tt0/J1

若這一階段加速所需時(shí)間為t0，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)有:

從此得:

將式(10)代入式(8)，并應(yīng)用α，β，ξ等無(wú)因次量取代，若用 Tmax表示產(chǎn)生的最大轉(zhuǎn)矩，φ =，則:

根據(jù)剛性動(dòng)載洗系數(shù)的定義:

式中，φ5—— 彈性系數(shù)，φ5=2- ξ/β.

2 對(duì)有間隙起升機(jī)構(gòu)的關(guān)系動(dòng)載系數(shù)的分析

因?yàn)閗/Tt0表示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)扭轉(zhuǎn)剛度的相對(duì)值，它的倒數(shù)可表示為:

θn=Tn/k為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在電動(dòng)機(jī)額定轉(zhuǎn)矩作用下的靜扭轉(zhuǎn)角，式(12)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)。于是從上述建?？傻?φ 為 α，β，ξ，θ0等參數(shù)的函數(shù)。即:φ =f(α，β，ξ，θ0)

為了確定上述各因數(shù)對(duì)剛性動(dòng)載系數(shù)的影響，必須先確定其他三個(gè)變量，才能得出所研究的變量與剛性動(dòng)載的關(guān)系[6]。

一般情況下起升機(jī)構(gòu)中α=1，運(yùn)行機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)中α≥5啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩倍數(shù)β平均的取為1.6，ξ=0.5，θ0=1°～ 10°[3].下面通過(guò)固定其他變量，重點(diǎn)分析一個(gè)變量的方法，分析個(gè)變量與慣性動(dòng)載荷的關(guān)系。本文推導(dǎo)公式為式(12)，原使用公式為:

下面對(duì)各個(gè)參數(shù)利用工具M(jìn)atlab進(jìn)行分析[7]。

(1)研究α與β的關(guān)系

表1 α與φ的關(guān)系Tab.1 The relationship between α and φ

圖2 α與φ的關(guān)系Fig.2 The relationship between α and φ

由此可見(jiàn)本文推導(dǎo)出的公式與原不考慮間隙時(shí)的公式算出的剛性動(dòng)載系數(shù)偏大，但α大于5以后所得的剛性動(dòng)載增長(zhǎng)率放緩。但是兩公式的趨勢(shì)是基本一致的。當(dāng)α≥8時(shí)，ξ對(duì)φ的影響很小。在運(yùn)行機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)中，α值均較大，故可略去靜阻力[8]，即令 ξ=Tr/Tn=0，式(11)可簡(jiǎn)化為:

(2)分析β與φ的關(guān)系

表2 β與φ的關(guān)系Tab.2 The relationship between β and φ

啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩倍數(shù)與剛性動(dòng)載系數(shù)呈線(xiàn)性關(guān)系，兩公式算出的平均誤差為一倍。總體趨勢(shì)是非常相似的。同時(shí)說(shuō)明，啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩越猛烈，慣性動(dòng)載越大，對(duì)機(jī)構(gòu)的作用越不利。通常在啟動(dòng)前預(yù)加一個(gè)適當(dāng)?shù)念A(yù)緊力。

圖3 β與φ的關(guān)系Fig.3 The relationship between β and φ

(3)分析θ0與φ的關(guān)系

由表3和圖4可以清楚的看出間隙對(duì)剛性動(dòng)載系數(shù)影響很大，由于原公式?jīng)]有考慮到間隙的作用，所以是一條水平直線(xiàn)，與間隙無(wú)關(guān)。

3 結(jié)論

利用二質(zhì)量單自由度的起升機(jī)構(gòu)模型，分析了剛性動(dòng)載系數(shù)。將《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB3811-83)未能考慮進(jìn)去的一些影響因素考慮在內(nèi)，使得模型的精度有一定提高。分析后得出的結(jié)論與預(yù)期的實(shí)際情況相似，這說(shuō)明本文推導(dǎo)出的公式符合實(shí)際情況。能更加精確地描述起重機(jī)起升機(jī)構(gòu)的剛性動(dòng)載荷。

由上述的圖表以及公式可得出如下幾點(diǎn):

(1)在其他條件相同時(shí)，間隙θ0越大，動(dòng)載系數(shù)也越大。

表3 θ0與φ的關(guān)系Tab.3 The relationship between θ0and φ

圖4 θ0與φ的關(guān)系Fig.4 The relationship between θ0and φ

(2)其他條件相同時(shí)，系統(tǒng)的自振周期越大，剛性動(dòng)載系數(shù)越小。

(3)在間隙值相同時(shí)，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩不變時(shí)J1越小，剛性動(dòng)載系數(shù)越小。

(4)當(dāng)α值增大時(shí)，剛性動(dòng)載系數(shù)也增大，但當(dāng)α≥5時(shí)，剛性動(dòng)載趨于定值。

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