張碧陶 皮佑國

(華南理工大學(xué)自動化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東廣州510640)

永磁同步電機(jī)(PMSM)伺服系統(tǒng)中的參數(shù)變化和外部負(fù)載擾動等因素影響著控制系統(tǒng)的性能．滑?？刂萍夹g(shù)具有對系統(tǒng)參數(shù)時變和外部擾動的強(qiáng)魯棒性，但傳統(tǒng)的滑?？刂葡到y(tǒng)存在抖震問題［1］．比較流行的削減滑模抖震的方法主要有3種:邊界層內(nèi)的正側(cè)化方法［2］、基于觀測器的調(diào)節(jié)方法(利用狀態(tài)觀測器來觀察抖震，實(shí)現(xiàn)滑?？刂破鞯膭討B(tài)調(diào)節(jié)［3-4］)、高階滑?？刂扑惴ǎ?］．這 3 種方法在一定程度上能減弱抖震，但前2種方法不具有傳統(tǒng)滑模控制器的魯棒性，使得系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差［6-7］;后一種算法復(fù)雜，在低階(一階或二階)系統(tǒng)的控制律中存在控制器輸出信號與其導(dǎo)數(shù)的耦合，不利于滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)．模糊控制雖然具有強(qiáng)魯棒性且不依賴系統(tǒng)模型、能充分利用專家信息等優(yōu)點(diǎn)，但模糊控制系統(tǒng)存在較大的靜差［8］．減小模糊控制的靜差的方法有:(1)細(xì)化模糊規(guī)則，但會造成規(guī)則數(shù)目“爆炸”而且效果并不明顯［9-10］;(2)針對不同的誤差等級采用不同分辨率的模糊集［9，11］，但是當(dāng)偏差和偏差變化范圍很大時，會造成計(jì)算量和存儲器的花費(fèi)呈指數(shù)增長;(3)在控制規(guī)則中采用3維比例－積分－微分(PID)型模糊控制器，但會降低系統(tǒng)的動態(tài)性能［9，12］．

針對永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的參數(shù)時變和外部負(fù)載擾動，文中結(jié)合滑模控制和模糊控制的優(yōu)點(diǎn)，把分?jǐn)?shù)階微積分理論引入到控制系統(tǒng)中，提出了模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗裕：？刂葡到y(tǒng)的輸入是滑模面，有利于減少常規(guī)模糊控制的靜差;模糊推理輸出能柔化控制作用，削減常規(guī)滑?？刂频亩墩穑：？刂葡到y(tǒng)保持了模糊控制的不依賴系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)并具有滑?？刂频膹?qiáng)魯棒性．分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的擴(kuò)展，有利于系統(tǒng)達(dá)到更好的控制性能．

1 永磁同步電機(jī)模型描述

永磁同步電機(jī)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型為［13］

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

動力方程為

式中，Tl為負(fù)載力矩，Bm為摩擦系數(shù)，J為轉(zhuǎn)動慣量，ωr為電機(jī)轉(zhuǎn)速．

通過應(yīng)用矢量控制，動力方程可以簡化為

把動力方程(4)代入電磁轉(zhuǎn)矩方程(2)，可得

式中，a=Bm/J，b=kp/J，c=Tl/J．

考慮電機(jī)參數(shù)變化，式(5)可以表示為

其中，Δa、Δb、Δc為系統(tǒng)參數(shù)攝動．

假設(shè)總的攝動滿足:

2 模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

文中選擇如下分?jǐn)?shù)階切換流形面(s):

式中:ki為滑模面增益為分?jǐn)?shù)階微分算子，t為積分上限，r為分?jǐn)?shù)階微積分，定義為

Γ(z)為Gamma函數(shù)．

采用的模糊規(guī)則為

模糊輸入輸出對應(yīng)的推理規(guī)則和隸屬度函數(shù)分別如表1和圖1所示．

表1 模糊輸入輸出規(guī)則表Table 1 Rule-base of fuzzy inputs and outputs troller

圖1 模糊輸入輸出的隸屬度函數(shù)Fig．1 Membership functions of fuzzy inputs and output

使用重心法對模糊輸出Δu進(jìn)行解模糊計(jì)算:

式中，kj為第j個論域的中心值．

3 系統(tǒng)性能分析

的狀態(tài)穩(wěn)定地收斂到零點(diǎn)的充要條件是

式中，arg(·)為相角，spec(A)為矩陣A的特征向量．

對于文中提出的控制系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑模狀態(tài)(s=0)時，有

因?yàn)閗i∈R+，故有 arg(－ki) =π ＞ rπ/2．因此，分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)能穩(wěn)定地收斂到零點(diǎn)．

分?jǐn)?shù)階方程(12)的解為

可見，整數(shù)階系統(tǒng)的指數(shù)收斂性是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特殊形式．在分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中，可以通過調(diào)節(jié)階數(shù)r來改變系統(tǒng)的收斂性，以達(dá)到更好的控制性能．

4 仿真分析

為說明文中方法的有效性，文中基于永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)速度環(huán)，分別考察模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?0＜r＜1)和模糊一階滑?？刂破?r=1)的階躍響應(yīng)及抗外部負(fù)載擾動．

文中以Matlab軟件為仿真工具，采用圖2所示的仿真平臺．永磁同步電機(jī)參數(shù)如下:Rs=1．15 Ω，Ld=Lq=8．5 ×10－3H，np=4，J=2．5 ×10－3kg·m2，Bm=0．8 ×10－3N·m·s，ωr=1000r/min，P=1kW．

圖2 永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)仿真平臺Fig．2 Simulation plant of PMSM servo system

兩種滑?？刂葡到y(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3所示，模糊邏輯推理系統(tǒng)的控制輸出Δu如圖4所示．

從圖3和4可以看出，模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的抖震比常規(guī)模糊一階滑模系統(tǒng)小;模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0．系統(tǒng)抗外部負(fù)載擾動過程為:利用Matlab的step模塊，空載運(yùn)行到第12秒時，令step=0．03(突加負(fù)載)，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到第13秒時，令step=－0．03(突減負(fù)載)，仿真結(jié)果如圖5所示．

從圖5可以看出模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)具有對外部負(fù)載擾動的強(qiáng)魯棒性．圖6給出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)r對系統(tǒng)性能的影響:隨著r值的增加，系統(tǒng)的抖震幅值不斷加大;當(dāng)r減小到某值時，抖震再次加強(qiáng)．一般地，r在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在一個較優(yōu)的值．

圖6 r對系統(tǒng)性能的影響Fig．6 Effects of r on system performance

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用文中提出的模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制系統(tǒng)與常規(guī)模糊滑?？刂葡到y(tǒng)在永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)中進(jìn)行控制性能的比較實(shí)驗(yàn)．此外，通過突加負(fù)載擾動實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的抗外部負(fù)載擾動能力．PMSM伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺如圖7所示，主控板是基于TMS320F2812的DSP處理器．PC機(jī)主要是采集伺服電機(jī)反饋回來的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析比較．永磁同步電機(jī)主要參數(shù)同仿真實(shí)驗(yàn)所用參數(shù)．

圖7 PMSM伺服系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺Fig．7 Experimental plant of PMSM servo system

實(shí)際伺服系統(tǒng)在空載時的速度環(huán)階躍響應(yīng)如圖8所示，由于TMS320F2812的DSP處理器是定點(diǎn)DSP，圖中縱坐標(biāo)響應(yīng)速度為標(biāo)么值，而實(shí)際速度=標(biāo)么值×額定轉(zhuǎn)速．從圖8可以看出，模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的抖震幅值比常規(guī)模糊一階滑模系統(tǒng)小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果一致．因此，文中提出的模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髂芟鳒p傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)中的抖震，達(dá)到較高的綜合控制性能．

圖8 兩種滑模系統(tǒng)的速度環(huán)階躍響應(yīng)Fig．8 Speed-loop step responses of the two sliding-mode systems

圖9為系統(tǒng)的抗外部負(fù)載擾動的魯棒性實(shí)驗(yàn)結(jié)果．實(shí)驗(yàn)過程為:永磁同步電機(jī)帶動直流發(fā)電機(jī)啟動，負(fù)載電流約為0．04 A．當(dāng)電機(jī)速度達(dá)到穩(wěn)速400r/min并運(yùn)行到第1秒時，改變變阻箱的阻值，使得負(fù)載電流約為0．12A，作用到第2秒時，再次改變變阻箱的阻值，使負(fù)載恢復(fù)到啟動時的值．從圖9可以看出，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑模運(yùn)動時，盡管施加3倍原負(fù)載的擾動(見圖9(b))，但響應(yīng)速度基本保持在恒定值(見圖9(a));抗外部負(fù)載擾動實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果一致．因此，模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)能保持傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)對外部負(fù)載擾動的強(qiáng)抗干擾性．

圖9 抗外部負(fù)載擾動的魯棒性實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig．9 Experimental results of robustness rejecting external load disturbance

6 結(jié)語

文中針對永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的參數(shù)時變和外部負(fù)載擾動對系統(tǒng)控制性能的影響，著手解決傳統(tǒng)一階滑?？刂葡到y(tǒng)的抖震和常規(guī)模糊控制器的靜差問題，設(shè)計(jì)了模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制系統(tǒng)．永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)速度環(huán)的仿真和實(shí)驗(yàn)表明，文中提出的模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制系統(tǒng)不但有效地削減傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)中存在的抖震，而且系統(tǒng)的輸出能快速地響應(yīng)指令輸入并在負(fù)載擾動下保持恒定值，具有較高的綜合控制性能．

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