彭 兵 夏加寬 王成元 荊汝寶

（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 沈陽 110870）

1 引言

近極槽數(shù)配合的表貼式永磁同步電機(jī)在低速應(yīng)用方面表現(xiàn)出良好的性能，如高轉(zhuǎn)矩密度、高效率、高伺服性能[1-2]，在數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)、電力機(jī)車牽引、機(jī)器人肘關(guān)節(jié)和風(fēng)力發(fā)電[3-6]等場(chǎng)合應(yīng)用廣泛。

目前，對(duì)近極槽數(shù)配合的表貼式永磁同步電機(jī)的研究重點(diǎn)集中于電機(jī)的設(shè)計(jì)方法[7-9]和寄生影響分析[6,10]等方面，而對(duì)于齒頂漏磁的研究還不夠深入。齒頂漏磁是近極槽數(shù)配合的表貼式永磁同步電機(jī)的主要漏磁之一，齒頂漏磁的快速、準(zhǔn)確計(jì)算有助于縮短電機(jī)設(shè)計(jì)周期和提高電機(jī)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[11]研究了近極槽數(shù)配合的表貼式永磁同步電機(jī)齒頂漏磁的分布情況和有限元計(jì)算方法，但沒有給出適合工程設(shè)計(jì)的解析公式。文獻(xiàn)[12]給出了單齒齒頂漏磁的解析表達(dá)式，但是沒有分析近極槽數(shù)配合的表貼式永磁同步電機(jī)的整個(gè)齒頂漏磁，其計(jì)算的平均齒頂漏磁系數(shù)不能真實(shí)地反映整個(gè)電機(jī)的齒頂漏磁情況，也沒有分析總結(jié)出電機(jī)參數(shù)的變化對(duì)齒頂漏磁的影響。

本文在基于文獻(xiàn)[12]的單齒齒頂漏磁計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，首先分析齒頂漏磁的特點(diǎn)，接著推導(dǎo)平均每極齒頂漏磁的解析表達(dá)式，然后分析近極槽數(shù)配合的表貼式永磁同步電機(jī)極數(shù)和極弧系數(shù)的選擇對(duì)齒頂漏磁系數(shù)的影響。最后，以96槽外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)為例，結(jié)合Ansoft有限元仿真軟件驗(yàn)證齒頂漏磁分析方法和計(jì)算方法的正確性和準(zhǔn)確性。

2 近極槽數(shù)表貼式永磁同步電機(jī)開路磁通

近極槽數(shù)配合的表貼式永磁同步電機(jī)由于極數(shù)和槽數(shù)相差不大，除了有普通表貼式永磁同步電機(jī)的氣隙漏磁和端部漏磁外，還有較大的齒頂漏磁。在轉(zhuǎn)子的某個(gè)位置，一個(gè)磁極產(chǎn)生的一部分磁通不經(jīng)過電機(jī)的定子齒、定子軛回到另一個(gè)磁極，而是被定子的齒頂短路回到另一個(gè)磁極，這就是齒頂漏磁。

在任意時(shí)刻，半單元電機(jī)內(nèi)通過各齒的主磁通、齒頂漏磁各不相同。圖1是一臺(tái)96槽80極外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)的有限元仿真磁通分布圖，從圖中可以看出:齒頂漏磁是主要的漏磁，其在電機(jī)中是按半單元電機(jī)周期重復(fù)的，7～12齒的漏磁就是1～6齒漏磁的復(fù)制。

圖1 96槽80極外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)磁通分布圖Fig.1 Flux distribution of 96 slots 80 poles PMSM with outer rotor

3 齒頂漏磁系數(shù)計(jì)算

在某一時(shí)刻，每一磁極可能與一個(gè)齒或兩個(gè)齒甚至更多的齒發(fā)生磁耦合，計(jì)算每極下的齒頂漏磁沒有規(guī)律可循。但是在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的一個(gè)齒距內(nèi)，通過任一齒的齒頂漏磁與位移是有一定的函數(shù)關(guān)系的，計(jì)算某個(gè)時(shí)刻下的各個(gè)單齒的齒頂漏磁是可能的，然后把所有齒頂漏磁通等效到每個(gè)磁極下，再去計(jì)算齒頂漏磁系數(shù)就極為方便了。

3.1 單齒齒頂漏磁計(jì)算

單齒齒頂漏磁的分析與計(jì)算在文獻(xiàn)[12]中已有詳細(xì)的描述，本文借助其分析方法進(jìn)行了更為深入的研究。

假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率為無窮大，永磁體向外磁路提供的磁通為Φm，轉(zhuǎn)子以同步速旋轉(zhuǎn)，|x|為齒中線與臨近轉(zhuǎn)子q軸的距離。當(dāng)轉(zhuǎn)子的q軸距離2齒中線為x≤-(bs+bm-τ)/2時(shí)，第一塊永磁的右邊緣與1齒的右邊緣距離為d1，與2齒的左邊緣距離為d2，由于d1≤d2，且因鐵磁物質(zhì)的聚磁效應(yīng)，永磁體1發(fā)出的磁通不通過2齒，2齒的齒頂漏磁為零，如圖2a所示；轉(zhuǎn)子繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)q軸與2齒中線重合時(shí)，也即x=0，此時(shí)，永磁體1有(bs+bm-τ)/2部分發(fā)出的磁通通過2齒進(jìn)入永磁體2，2齒的齒頂漏磁最大，漏磁通為ΦLt=-Φm(bs+bm-τ)/2，如圖2b所示；隨著轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)，2齒的齒頂漏磁逐漸減小，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)到圖2c所示位置，齒頂漏磁減小為零，此時(shí)x=(bs+bm-τ)/2。在一個(gè)齒距的其他位置，2齒的齒頂漏磁都為零。圖2中，btop為齒頂寬度；bs為槽距；τ為極距；bm為永磁體寬度，bm=αpτ；αp是極弧系數(shù)；n為轉(zhuǎn)速。

圖2 齒頂漏磁示意圖Fig.2 Illustrating calculation of zigzag leakage flux

由上述定性分析，結(jié)合有限元仿真，可以得到任意一個(gè)齒在一個(gè)齒距內(nèi)的齒頂漏磁通曲線，如圖3所示。

圖3 ΦLt和|x|的近似關(guān)系Fig.3 Approximate relationship between ΦLt and |x|

圖3中，z為槽數(shù)；p為極對(duì)數(shù)；Φm為永磁體向外磁路提供的磁通；ΦLt為齒頂漏磁通；Dg為氣隙直徑。

由圖3可寫出單齒齒頂漏磁ΦLti的方程式

3.2 平均每極齒頂漏磁計(jì)算

在任意時(shí)刻，單個(gè)齒的齒頂漏磁并不相同，計(jì)算任意時(shí)刻齒頂漏磁必須計(jì)算出該時(shí)刻所有齒頂漏磁之和，計(jì)算比較繁雜。在整個(gè)電機(jī)中，齒頂漏磁具有周期性的特點(diǎn)，如果能找到重復(fù)周期數(shù)，就只要計(jì)算一部分齒的齒頂漏磁，大大減小了計(jì)算量。

當(dāng)齒中線和q軸重合時(shí)，齒頂漏磁最大，可以計(jì)算任意時(shí)刻齒中線和q軸的重合數(shù)，重復(fù)周期數(shù)就是重合數(shù)。

其漏磁重復(fù)周期數(shù)為z和2p的最大公約數(shù)（GCD），漏磁重復(fù)周期數(shù)為分?jǐn)?shù)槽電機(jī)中的單元電機(jī)數(shù)的2倍。以96槽80極電機(jī)為例，GCD（z，2p）=GCD（96，80）=16，則其漏磁重復(fù)周期數(shù)為16。

則i與k組合有:（1，1）、（7，6）、（13，11）、（19，16）、…，這說明第1個(gè)齒的中線和靠近第1個(gè)磁極的q1軸重合，第1個(gè)齒的的齒頂漏磁最大，第7個(gè)齒的中線和靠近第6個(gè)磁極的q6軸重合，第7個(gè)齒的齒頂漏磁最大，依次類推，重復(fù)數(shù)為16。

為了方便計(jì)算齒頂漏磁系數(shù)，把所有齒頂漏磁等效到每個(gè)極下，計(jì)算每個(gè)極下的平均齒頂漏磁。所以求每個(gè)極下的平均齒頂漏磁，只要先求出相鄰z /GCD(z, 2p)個(gè)齒的齒頂漏磁之和，然后再除以2p /GCD(z, 2p)，就得出每個(gè)極下的平均齒頂漏磁。根據(jù)圖3和式(1)可知，求齒頂漏磁的關(guān)鍵之處是求解各個(gè)齒與其相鄰最近q軸的距離xi的值。

把xi的值代入到式（1）中就得到各個(gè)齒的漏磁ΦLti（xi），則平均齒頂漏磁為

則齒頂漏磁系數(shù)為

4 實(shí)例分析

4.1 齒頂漏磁案例計(jì)算

電機(jī)的相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 電機(jī)參數(shù)Tab.1 Electric machine parameters

由式（5）求出第i個(gè)齒與第k個(gè)q軸的距離，計(jì)算數(shù)據(jù)見表2，表2每一列上的最小數(shù)就是所要求的 xi值，又根據(jù)式（1）可知 xi值在[0，5.27]區(qū)間時(shí)，ΦLti不為0，其余均為0，與xi對(duì)應(yīng)的單齒齒頂漏磁通見表3。由式（6）可求出每個(gè)極下的平均齒頂漏磁通為ΦLtave=0.1576Φm。由式（7）可得σLt=1.187。

表2 齒中線與q軸的距離Tab.2 The distance between q axis and tooth centerline

表3 任意時(shí)刻相鄰6個(gè)齒的齒頂漏磁Tab.3 The zigzag leakage flux of adjacent six teeth at random moment

由表2可以看出，第四齒的齒頂中線與第三個(gè)q軸和第四個(gè)q軸的距離相等，這也說明第三塊磁極與第四個(gè)齒完全正對(duì)，齒頂漏磁為零。這與分析結(jié)果一致，也與圖1仿真結(jié)果完全一致。

4.2 電機(jī)參數(shù)對(duì)漏磁系數(shù)的影響

由式（1）可知，齒頂漏磁系數(shù)與極數(shù)、極弧系數(shù)和氣隙直徑有直接的關(guān)系，找到電機(jī)參數(shù)對(duì)齒頂漏磁的影響規(guī)律將有助于指導(dǎo)電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。采用上文的解析法計(jì)算了96槽、411mm氣隙直徑和54槽、311mm氣隙直徑的電機(jī)在不同極數(shù)和極弧系數(shù)下的齒頂漏磁系數(shù)，得到齒頂漏磁系數(shù)隨極數(shù)、極弧系數(shù)的變化趨勢(shì)如圖4所示。

圖4 齒頂漏磁系數(shù)與電機(jī)參數(shù)的關(guān)系Fig.4 Relationship between the zigzag leakage flux coefficient and the electric machine parameters

由圖4看出，隨著極數(shù)的增加，齒頂漏磁增大了；隨著極弧系數(shù)的增加，齒頂漏磁也增大了。

4.3 有限元驗(yàn)證

表4是96槽、極弧系數(shù)為0.82、氣隙直徑為411mm的電機(jī)在不同極數(shù)下分別由解析法和有限元法計(jì)算出的齒頂漏磁系數(shù)及偏差。

有限元法計(jì)算齒頂漏磁是利用Ansoft有限元仿真軟件計(jì)算半個(gè)單元電機(jī)通過齒頂部（q1～q6間的6個(gè)齒）的總磁通與通過齒中間部位（q1～q6間的6個(gè)齒）的總磁通的比值就是齒頂漏磁系數(shù)。解析法計(jì)算結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果相比，兩者的偏差小于1.5%，這表明齒頂漏磁分析方法正確，解析法有非常高的精度。

表4 兩種方法計(jì)算的齒頂漏磁系數(shù)結(jié)果及偏差Tab.4 Two methods calculation results of zigzag leakage flux coefficient and the deviation of the results

5 結(jié)論

本文分析了近極槽數(shù)配合表貼式永磁同步電機(jī)齒頂漏磁的特點(diǎn)，通過平均每極齒頂漏磁的計(jì)算方法，建立了平均每極齒頂漏磁和漏磁系數(shù)的解析表達(dá)式，該解析表達(dá)式只與電機(jī)的槽數(shù)、極數(shù)和極弧系數(shù)有關(guān)。還研究了齒頂漏磁系數(shù)與電機(jī)參數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)齒頂漏磁系數(shù)隨極數(shù)的增加而增加，隨極弧系數(shù)的增大而增大的規(guī)律。最后通過有限元仿真分析解析計(jì)算結(jié)果，兩種方法計(jì)算結(jié)果極為接近。

[1]Refaie El A M.Fractional-slot concentrated-windings synchronous permanent magnet machines: opportunities and challenges[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2010, 57(1): 107-121.

[2]Bianchi N, Bolognani S, Frare P.Design criteria for high-efficiency SPM synchronous motors[J].IEEE Transactions on Energy Conversion, 2006, 21(2):396-404.

[3]董婷, 黃偉, 王成元.不等齒頂寬間隔繞組對(duì)直接驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)電機(jī)轉(zhuǎn)矩特性的影響[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2010, 25(8): 12-17, 30.Dong Ting, Huang Wei, Wang Chengyuan.Influence of unequal teeth tips width and alternate winding on torque characteristics in direct drive table motor[J].Transactions of China Electrotechnical Society, 2010,25(8): 12-17, 30.

[4]Wang J B, Atallah K, Zhu Z Q, et al.Modular three-phase permanent-magnet brushless machines for in-wheel applications[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2008, 57(5): 2714-2720.

[5]Lindh P M, Jussila H K, Niemela M, et al.Comparison of concentrated winding permanent magnet motors with embedded and surface-mounted rotor magnets[J].IEEE Transactions on Magnetics,2009, 45(5): 2085-2089.

[6]Magnussen F, Lendenmann H.Parasitic effects in PM machines with concentrated windings[J].IEEE Transactions on Industry Applications, 2007, 43(5): 1223-1232.

[7]Refaie El A M, Jahns T M, Novotny D W.Analysis of surface permanent magnet machines with fractionalslot concentrated windings[J].IEEE Transactions on Energy Conversion, 2006, 21(1): 34-43.

[8]Reddy P B, Jahns T M, Refaie El A M.Impact of winding layer number and slot/pole combination on AC armature losses of synchronous surface PM machines designed for wide constant power speed range operation[C].Proceedings of IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, Edmonton,Alta, Oct., 2008: 1-8.

[9]Cheng S P, Hwang C C.Design of high-performance spindle motors with single-layer concentrated windings and unequal tooth widths[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2007, 43(2): 802-804.

[10]Wang J B, Xia Z P, Long S A, et al.Radial force density and vibration characteristics of modular permanent magnet brushless AC machine[C].IEE Proceedings of Electric Power Applications, 2006,153(6): 793-801.

[11]孫昕, 韓雪巖, 李巖.極槽數(shù)相近的永磁同步電動(dòng)機(jī)漏磁因數(shù)分析與計(jì)算[J].微電機(jī), 2008, 48(1): 7-9.Sun Xin, Han Xueyan, Li Yan.Analysis and calculation of leakage factor in permanent magnet synchronous motors with adjacent number of poles and slots[J].Micromotors, 2008, 48(1): 7-9.

[12]Qu R H, Lipo T A.Analysis and modeling of air gap& zigzag leakage fluxes in a surface mounted-PM machine[J].IEEE Transactions on Industry Applications,2004, 40(1): 121-127.