崔秋珍

(洛陽(yáng)理工學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

1.引言

空間解析幾何是大學(xué)數(shù)學(xué)的主要課程。二次曲面是空間解析幾何的主要內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)多元微積分的幾何基礎(chǔ)，它具有很強(qiáng)的邏輯性、空間性和運(yùn)動(dòng)性。討論二次曲面的圖像的形成和性質(zhì)通常有截痕法和伸縮法。然而，由于空間解析幾何常規(guī)教材無(wú)法直觀和動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)二次曲面的形成過(guò)程和圖形之間的關(guān)系，從而給學(xué)生學(xué)習(xí)空間解析幾何課程帶來(lái)理解困難。而MATLAB作為具有強(qiáng)大功能的數(shù)學(xué)軟件，被越來(lái)越多地應(yīng)用于傳統(tǒng)教學(xué)中。文獻(xiàn)[1]討論了利用MATLAB實(shí)現(xiàn)空間解析幾何二次曲面截痕法的動(dòng)畫演示。本文探討空間解析幾何二次曲面伸縮法的MATLAB設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。

2.二次曲面及其伸縮變形法

二次曲面：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。

伸縮變形法：設(shè)S是一個(gè)曲面，其方程為F(x，y，z)=0，設(shè)S'為將曲面沿某個(gè)坐標(biāo)軸伸縮λ倍所得的曲面，其方程為F'(x，y，z)=0。通過(guò)比較S和S'的圖形變化和方程 F(x，y，z)=0及F'(x，y，z)=0的關(guān)系討論二次曲面的形成和關(guān)系的方法稱為伸縮法。

設(shè)將S的y、z坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)沿x軸伸縮λ倍。顯然，若(x，y，z)∈S，則(λx，y，z)∈S'。若(x，y，z)∈S'，則(x，y，z)∈S。因此，對(duì)于任意的(x，y，z)∈S'，有 F(x，y，z)=0，即 F(x，y，z)=0 為 S'的方程。同理，F(xiàn)(xy，z)=0 和 F(x，yz)=0分別為將S沿y軸或者z軸伸縮λ倍的曲面的方程。

例如，把圓錐面a2z2=x2+y2沿y軸方向伸縮倍，所得曲面方程為，此為橢圓錐面。

3.二次曲面伸縮法的MATLAB設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)

二次曲面生成常用MALTAB命令和功能：

mesh：生成由 x、y、z指定的網(wǎng)線面

surf：生成由x、y、z指定的帶陰影的網(wǎng)面圖

cylinder：生成一單位圓柱體的 x、y、z值

sphere：生成三維直角坐標(biāo)系中的單位球體

程序設(shè)計(jì)思想：首先生成球面S：x2+y2+z2=1，然后將S沿 x、y、z軸方向伸縮 a、b、c倍。得到橢球面=1。

程序如下：

[x，y，z]=sphere；%建立單位球面網(wǎng)絡(luò)

mesh(x，y，z)；%生成單位球面網(wǎng)線圖

surf(a*x，b*y，c*z)；%沿 x、y、z 軸方向伸縮 a、b、c 倍的網(wǎng)面圖

xlabel('x')；ylabel('y')；zlabel('z')；%添加坐標(biāo)軸標(biāo)注

title('x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1')%添加標(biāo)題

圖1為單位球面網(wǎng)線圖，圖2為將單位球面沿x、y、z軸方向伸縮4、5、2倍后生成的橢球面。

圖1 單位球面網(wǎng)線圖

圖2 橢球面

程序設(shè)計(jì)思路：首先生成曲面S：x2+y2=1+z2，然后將S沿 x、y、z軸方向伸縮 a、b、c倍。得到單葉雙曲面 S’

程序如下：

z=linspace(0，1，40)；%建立網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)

xlabel('x')；ylabel('y')；zlabel('z')；%添加坐標(biāo)軸標(biāo)注

title('x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1')%添加標(biāo)題

圖3、圖4給出a=2、b=4、c=5單葉雙曲面的生成過(guò)程效果圖。

圖3 單葉雙曲面(z>0)

圖4 單葉雙曲面

程序設(shè)計(jì)思路：首先生成x2+y2－(z+1)2=-1在(0

程序如下：

圖5、圖6給出a=3、b=4、c=5雙葉雙曲面的生成過(guò)程效果圖。

圖5 雙葉雙曲面(z>0)

圖6 雙葉雙曲面

程序設(shè)計(jì)思路：首先生成曲面S：x2+y2=z，然后將S沿x、y軸方向伸縮a、b倍。得到橢圓拋物面

程序如下：

圖7給出的是a=2、b=5的橢圓拋物面效果圖。

圖7 橢圓拋物面

圖8 雙曲拋物面

程序如下：圖8是程序運(yùn)行效果圖。在 z<0

4.結(jié)束語(yǔ)

從上面的分析可以看到借助于MATLAB可以容易地實(shí)現(xiàn)空間解析幾何二次曲面伸縮法的設(shè)計(jì)和演示，從而直觀的、立體的和運(yùn)動(dòng)的揭示二次曲面的圖像特征和方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這使得空間解析幾何的教學(xué)增加了趣味性和生動(dòng)性，也使空間解析幾何課程的學(xué)習(xí)變得易于理解和鞏固。

[1]度巍.空間解析幾何中二次曲面截痕法的動(dòng)畫演示[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2011，(9)6297-9301.

[2]李銳.現(xiàn)代教育技術(shù)與空間解析幾何教學(xué)整合的研究[J].中國(guó)電力教育，2010(34)91.

[3]林海濤，林海如.常用軟件在空間解析幾何教學(xué)中的實(shí)踐[J].廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2010，(9)33-36

[4]蘇金明.MATLAB實(shí)用指南[M].電子工業(yè)2002.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社2007.