湖北省黃石市第一中學(xué) 楊瑞強(qiáng) （郵編：435000）

題目 （2012年廣東省珠海市中考第20題）觀察下列等式：

12×231＝132×21，

13×341＝143×31，

23×352＝253×32，

34×473＝374×43，

62×286＝682×26，

……

以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對(duì)稱等式”.

（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對(duì)稱等式”：

①52×____＝____×25；

②____×396＝693×____.

（2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且2≤a＋b≤9，寫出表示“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明.

1 試題分析

（1）觀察規(guī)律，左邊：兩位數(shù)所乘的數(shù)是這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字變?yōu)榘傥粩?shù)字，十位數(shù)字變?yōu)閭€(gè)位數(shù)字，兩個(gè)數(shù)字的和放在十位；右邊三位數(shù)與左邊的三位數(shù)字百位與個(gè)位數(shù)字交換，兩位數(shù)與左邊的兩位數(shù)十位與個(gè)位數(shù)字交換然后相乘，根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行填空即可；

（2）按照（1）中對(duì)稱等式的方法寫出，然后利用多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行證明即可.

2 試題解析

（1）①因?yàn)?＋2＝7，所以左邊的三位數(shù)是275，右邊的三位數(shù)是572，

于是52×275＝572×25；

②因?yàn)樽筮叺娜粩?shù)是396，所以左邊的兩位數(shù)是63，右邊的兩位數(shù)是36，

于是63×369＝693×36.

故答案為：①275，572；②63，36.

（2）因?yàn)樽筮厓晌粩?shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，所以左邊的兩位數(shù)是10a＋b，三位數(shù)是100b＋10（a＋b）＋a，右邊的兩位數(shù)是10b＋a，三位數(shù)是100b＋10（a＋b）＋a，

于是，一般規(guī)律的式子為：（10a＋b）［100b＋10（a＋b）＋a］＝ ［100a＋10（a＋b）＋b］（10b＋a）.

證明 左邊 ＝ （10a＋b）［110b＋11a］＝11（10a＋b）（10b＋a），

右邊 ＝ （110a＋11b）（10b＋a）＝11（10a＋b）（10b＋a）.

因?yàn)樽筮叄接疫?，所以“?shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子為：（10a＋b）［100b＋10（a＋b）＋a］＝ ［100a＋10（a＋b）＋b］（10b＋a）.

3 試題特色賞析

3.1 取材考究，背景優(yōu)美，生成自然

本試題取材于類似文學(xué)中“回文句”的“回文數(shù)”，文學(xué)的浪漫與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)融為一體，別有情趣.在古詩(shī)文中，有回文詩(shī)句、對(duì)聯(lián)，如：“靈山大佛，佛大山靈”，“客上天然居，居然天上客”等等，都是美妙的符合正念倒念都一樣的回文句.“回文數(shù)”則是有類似，如22、383、5445、12321，不論是從左向右順讀，還是從右向左倒讀，結(jié)果都是一樣的特征.對(duì)于一個(gè)自然數(shù)，若將各位數(shù)字倒序排出，加到原來的數(shù)字上，反復(fù)這樣多次后，若能得到一個(gè)從左到右讀與從右到左讀完全一樣的數(shù)，則稱該自然數(shù)能產(chǎn)生回文數(shù)或者對(duì)稱數(shù).本題給出的幾個(gè)算式，等號(hào)左、右兩邊都是兩個(gè)（或三個(gè)）因數(shù)相乘，如果把每個(gè)算式中的“×”和“＝”去掉，那么，它們都變成回文數(shù)，所以，我們不妨把這些算式叫做“回文算式”.

3.2 推理證明，能力立意，思想鮮活

本試題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，根據(jù)已知信息，理清利用左邊的兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字變化得到其它的三個(gè)數(shù)字是解題的關(guān)鍵.試題選材樸實(shí)，立意新穎，讓考生在觀察中進(jìn)行思考，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和信息的遷移，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美.同時(shí)，試題還凸顯出學(xué)生自主探究、合情推理能力與素質(zhì)的考查.因此，本試題充分體現(xiàn)了“以能力立意為指導(dǎo)，以考查能力和素質(zhì)”的命題原則.

3.3 立足試題，認(rèn)清本質(zhì)，啟示教學(xué)

本試題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式和教師的數(shù)學(xué)教學(xué)方式改進(jìn)有著積極的導(dǎo)向作用.

（1）重視推理方法，強(qiáng)化學(xué)生合情推理意識(shí)與能力的培養(yǎng).

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中明確指出：“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”.數(shù)學(xué)推理不僅包括分析、綜合、抽象、概括等演繹推理方式，即邏輯推理方式，而且包括觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、調(diào)整等合情推理方法.邏輯推理通常依靠抽象思維，合情推理通常依靠直覺思維，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷由合情推理到演繹推理的過程.數(shù)式規(guī)律根據(jù)一組等式或一列數(shù)，猜想其構(gòu)成規(guī)律，是目前中考合情推理試題最常見的類型，多以填空、選擇題方式呈現(xiàn)，主要考查學(xué)生的觀察、猜想、不完全歸納、類比和聯(lián)想的能力.因此，對(duì)學(xué)生合情推理能力的考查，是近年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)新特點(diǎn).為此，在平日教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生重視推理方法，強(qiáng)化學(xué)生合情推理意識(shí)與能力的培養(yǎng).

（2）注重?cái)?shù)學(xué)思維活動(dòng)，逐步提高學(xué)生探究能力.

合情推理試題往往不是以知識(shí)為中心，而是以問題為中心，并不拘泥于具體的知識(shí)點(diǎn)，而是將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和原理融于一體，突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價(jià)值.所有的這些，要求我們課堂教學(xué)注重知識(shí)的形成過程的探究，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力.教學(xué)中在重視知識(shí)傳授的同時(shí)，更要重視數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、探究問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探究活動(dòng)，要努力為學(xué)生提供自主探究的環(huán)境和空間，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的提出過程、解決方法的探索過程、問題結(jié)論的深化過程、方法能力的遷移過程.