王佳慧，周德亮，李 靜

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029)

一維地下水非穩(wěn)定流計算的配點法

王佳慧，周德亮，李 靜

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029)

傳統(tǒng)的地下水數值計算方法(如有限元法和有限差分法)都需要網格或單元，網格生成需要占用大量的計算時間，求解所需數據量也較大。配點型無網格法擺脫了網格和單元的限制，只需節(jié)點信息，且節(jié)點布置靈活，易于實施。本文將配點型無網格法應用于解決一維地下水非穩(wěn)定流計算問題，用MATLAB編制相應的程序，將結果與解析解和傳統(tǒng)方法的計算結果相比較，計算得到的結果與解析解吻合很好，精度較高，計算過程簡單，穩(wěn)定性好。

徑向基函數 配點法 一維非穩(wěn)定流 地下水數值模擬

非穩(wěn)定水流現象在水利工程中廣泛存在，河道或河網的水流或洪水波運動，潰壩后向下游傳播的涌波，閘門啟閉后的水波運動等，這些都屬于非穩(wěn)定水流運動，是水利水電工程和海岸工程中經常遇到且需要解決的問題［1］。非穩(wěn)定水流數學模型在水利工程中有廣泛的應用價值，研究非穩(wěn)定流數值模型的目的在于建立穩(wěn)定、精度較高、計算儲存量和計算耗時較少的高效計算格式。

目前解決非穩(wěn)定流計算主要采用有限元法和有限差分法，但是這兩種方法有一個共同的特征是它們需要生成網格再進行計算。由于網格的存在，生成網格的好壞，會直接影響到數值求解的成敗［2］。實際問題中網格生成要耗費大量的時間，應用中會遇到很多困難。而配點型無網格法可以很好的解決傳統(tǒng)方法存在的缺陷。本文結合前人的無網格法研究成果，得到一維非穩(wěn)定流配點型無網格法的計算格式。

1 徑向基配點法求解一維非穩(wěn)定流計算

無網格法(Meshless methods)是在建立整個問題域的系統(tǒng)代數方程時，不需利用預定義的網格信息域離散的方法。無網格法利用一組在問題域中以及域邊界上的節(jié)點表示(而非離散)該問題域和其邊界。這組散布的節(jié)點被稱為節(jié)點，它們并不構成網格，通過這些節(jié)點上的值擬合出一個逼近函數［2］。該函數有較好的光滑性而且導數連續(xù)，這樣不僅擺脫了網格的約束，避免了復雜的網格生成及重新劃分工作，而且提供了連續(xù)性好，形式靈活的基函數。這種方法在地下水數值計算中具有一定的靈活性，此外還有精度高，前后處理較有限元法和有限差分法簡便等特征［3］。現有的無網格法基本上可分為Galerlin型和配點型兩大類。Galerlin法雖具有良好的穩(wěn)定性和精確性，但需要布置背景無網格進行數值積分，計算量較大，配點型無網格法可以很好地解決這一問題［4］。配點型無網格法離散系統(tǒng)代數方程的過程直接，且實現其離散方程的算法簡潔，不需要數值積分。

1.1 一維非穩(wěn)定水流模型

考慮如下一維地下水非穩(wěn)定滲流問題

其中，H(x，t)為水頭，T(x)=KM 為導水系數，k(x)為滲透系數，M為含水層厚度，S(x)=SsM為貯水系數，Ss為貯水率，w(x，t)為源匯項，h0(x)、g(x，t) 、q9x，t)為給定的函數，［a，b］為滲流區(qū)域，a，b，［a，b］為區(qū)域 的邊界。

1.2 徑向基函數

徑向基函數(Radial Basis Function，簡記 RBF)是以動點與定點 的歐幾里德距離為自變量的一元函數φj(x)=φ(‖x－xj‖)。對任意函數u(x)，可以用徑向基函數近似為

其中 N表示節(jié)點總數，xj為在 Ω上布置的節(jié)點，αj為待解系數。

1.3 用配點法數值計算

在區(qū)域［a，b］及其邊界上配置節(jié)點 x1，x2，…，xN，其中x1，x2，…，xN0為區(qū)域［a，b］內部節(jié)點，xN0+1，xN0+2為邊界節(jié)點，N0和2分別為內節(jié)點和邊界節(jié)點數，總節(jié)點數為 N=N02。

用徑向基函數逼近 H(x，t)n，即

首先由(12)和(13)確定的線性方程組中解出 α1n+1，，…，再由線性方程組(14)和(15)中逐層解出 ，代入(7)中即得到水頭函數 離散的近似解。

2 算例分析

算例1圖1是右河水位突變時河間地塊承壓水一維非穩(wěn)定流運動的例子。參數和定解條件都在圖1中，控制方程為:

圖1 河間地塊承壓水非穩(wěn)定運動的例子(根據 H.F.王和.M.P.安德森)

本問題的解析解已由根據 H.F.王和.M.P.安德森給出，采用本文介紹的徑向基函數配點法和有限差分法對其求解。應用MATLAB軟件，分別用有限差分法和徑向基函數配點法編制相應的計算程序，計算時取空間步長 ，時間步長 ，將程序運行后的解析解，RBF解和差分解制成表格，為避免占用大量的空間，本表制作時只選用部分時間點的數據。見表1。

表1 解析解，RBF解和差分解表

3 結論

采用徑向基函數配點法計算一維非穩(wěn)定流地下水問題是有效的，能夠排除網格劃分對它的影響，既可以節(jié)省計算量又能保證精度。程序運行后，配點法求出的解析解與精確解吻合良好，且計算精度高于有限差分解。采用MATLAB軟件編制程序時，用徑向基函數配點法的編制過程較用有限差分法程序的編制過程簡單。本文介紹的是徑向基函數配點法在一維非穩(wěn)定流中的應用，有關這種方法在二維流和三維流的應用限于篇幅將另文論述。

［1］薛禹群，謝春紅.地下水數值模擬［M］.北京:科學出版社，2007.

［2］LIU G R，GU Y T.無網格法理論及程序設計［M］.王建明，周學軍，譯.濟南:山東大學出版社，2007.

［3］周德亮，王煥麗.徑向基函數法在地下水模擬中的應用［J］.遼寧師范大學學報:自然科學版，2008，31(4):390－392.

［4］張宏偉，李美香，李衛(wèi)國.關于配點型無網格法邊界條件處理技術［J］.大連理工大學學報，2010(7)，50(4):614－618.

The Collocation Meshless Method in Simulation of One－Dinensional Non－steady Flow

WANG Jia － hui，ZHOU De － liang，LI Jing
(School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，Liaoning)

Traditional groundwater numerical methods(such as finite element and finite difference method)require grid or unit，mesh generation would take a lot of calculation time，a large amount of data needed to solve. The collocation meshless method get rid of the grid and unit limitation and only need node information and node layout flexible and easy to implement.In the paper，with collocation meshless method will be applied to solve the one－dimensional non－steady groundwater flow calculation problem，the preparation of the corresponding program，the results with analytical solutions and traditional methods of calculation compared to the calculated results in good agreement with the analytical solution，more accurate than high，the calculation process is simple，good stability.

RBF;Collocation method;One－dimensional non－steady flow and Numerical simulation of groundwater

P641.2

A

1004－1184(2012)01－0042－03

2011－10－14

王佳慧(1986－)，女，吉林四平人，在讀碩士研究生，主攻方向:偏微分數值解法。