王正新，黨耀國(guó)，裴玲玲

灰色GM（1，1）冪模型初始條件的組合優(yōu)化

王正新1，黨耀國(guó)2，裴玲玲2

（1．浙江師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，浙江金華321004；2．南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇南京210016）

針對(duì)GM（1，1）冪模型求解初始條件的優(yōu)化問(wèn)題，提出一種基于原始序列新舊信息的線性組合優(yōu)化方法。在模擬誤差平方和最小化的目標(biāo)下，構(gòu)建初始條件組合權(quán)重的優(yōu)化模型，給出最優(yōu)組合權(quán)重的解析式。最后以中國(guó)高中升學(xué)率的數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證了此優(yōu)化模型的有效性和優(yōu)越性。結(jié)果表明初始條件優(yōu)化方法能夠有效地平衡新舊信息的權(quán)重，并提高GM（1，1）冪模型的模擬和預(yù)測(cè)精度。

灰色系統(tǒng)；GM（1，1）冪模型；初始條件；組合優(yōu)化

一、引 言

作為灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)和控制理論的核心模型，近年來(lái)，GM（1，1）模型已經(jīng)為國(guó)內(nèi)外學(xué)者所認(rèn)可［1］301。目前，在模型改進(jìn)和實(shí)際應(yīng)用方面都取得了很多有價(jià)值的研究成果［2－6］。然而，無(wú)論如何改進(jìn)GM（1，1）模型，它的預(yù)測(cè)函數(shù)始終是單調(diào)遞增或衰減的，因此，對(duì)于非線性特征較強(qiáng)的原始數(shù)據(jù)，該模型并不適用。這是限制GM（1，1）模型進(jìn)一步推廣應(yīng)用的突出問(wèn)題。

灰色GM（1，1）冪模型是近兩年發(fā)展起來(lái)一種新型灰色模型，其主要優(yōu)點(diǎn)在于灰色作用量中的冪指數(shù)能夠較好地反映原始數(shù)據(jù)的非線性特征，因而可用于描述和預(yù)測(cè)事物非線性發(fā)展態(tài)勢(shì)。然而過(guò)去很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們并未注意到GM（1，1）冪模型的應(yīng)用價(jià)值，主要原因就在于該模型的求解較GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型更加困難。王正新等人利用灰色系統(tǒng)信息覆蓋的思想首次給出了冪指數(shù)的白化公式，提出了GM（1，1）冪模型的求解方法，并討論了冪指數(shù)的不同取值范圍對(duì)模型解的性質(zhì)的影響［7］。李軍亮等人將GM（1，1）冪模型的應(yīng)用范圍拓展為非等間距序列，并采用粒子群算法求解模型，取得了較好的應(yīng)用效果［8］。王豐效以白化微分方程為基礎(chǔ)，利用梯形公式白化灰導(dǎo)數(shù)，得到了一種改進(jìn)灰導(dǎo)數(shù)的GM（1，1）冪模型［9］。王正新等人基于誤差來(lái)源分析，提出了無(wú)偏GM（1，1）冪模型，該模型對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）冪模型及其本身的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)所表達(dá)的曲線進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)具有重合性［10］。

上述對(duì)GM（1，1）冪模型的改進(jìn)均是從灰色微分方程的角度出發(fā)的，而模型求解的初始條件也是影響灰建模精度的重要因素之一。由于傳統(tǒng)解法認(rèn)為，序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)代表系統(tǒng)發(fā)展的初始狀態(tài)，應(yīng)該以此為初始條件求解微分方程。然而，這卻違背了鄧聚龍教授提出的“新息優(yōu)先”原理［1］。黨耀國(guó)等人以序列中最新的數(shù)據(jù)x（1）（n）作為初始條件建立GM（1，1）模型，這種方法充分利用了新信息，取得了較好的預(yù)測(cè)效果［11］。我們認(rèn)為，這種思路對(duì)改善模型對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)精度是有幫助的，但是，我們也難以從理論上嚴(yán)格證明以x（1）（n）作為初始條件一定會(huì)取得比以x（1）（1）作為初始條件更好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

基于以上的分析，本文考慮以序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)x（1）（1）和最后一個(gè)數(shù)據(jù)x（1）（n）的某種線性組合作為GM（1，1）冪模型的初始條件，并建立優(yōu)化模型求解最優(yōu)的組合權(quán)重，以期取得更高的建模精度。

二、GM（1，1）冪模型的定義

設(shè)非負(fù)原始序列為X（0）＝（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），對(duì)原始序列X（0）作一階累加生成（1－AGO），得序列：

對(duì)序列X（1）作緊鄰均值生成（Neighbor Generation），得序列：

Z（1）＝（z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n））

其中，z（1）（k）＝0．5（x（1）（k）＋x（1）（k－1）），k＝2，3，…，n。

定義1［7］設(shè)X（0）為非負(fù)的單峰原始數(shù)據(jù)序列，X（1）為X（0）的1－AGO序列，Z（1）為X（1）的緊鄰均值生成序列，則有滿足灰建模三條件的如下非線性模型，稱(chēng)

為GM（1，1）冪模型。

其中，γ≠1，GM（1，1）冪模型發(fā)展系數(shù)a、灰色作用量b，以及冪指數(shù)γ均為未知參數(shù)。當(dāng)γ＝0時(shí)，GM（1，1）冪模型為GM（1，1）模型；當(dāng)γ＝2時(shí)，GM（1，1）冪模型為灰色Verhulst模型。γ的具體計(jì)算公式見(jiàn)王正新等人的研究［7］。

得到冪指數(shù)γ的估計(jì)之后我們便可以根據(jù)式（1）對(duì)參數(shù)列（a，b）T作最小二乘估計(jì)

為GM（1，1）冪模型的白化方程。

定理1［7］設(shè)B，Y，＾a如定義1所述，＾a＝（a，b）T＝（BTB）－1BTY，則

2．GM（1，1）冪模型x（0）（k）＋az（1）（k）＝b（z（1）（k））γ的時(shí)間響應(yīng)序列為

＾x（1）（k＋1）＝

其中，k＝1，2，…，n

3．還原值

選擇不同的初始值將會(huì)直接影響到最終的模擬預(yù)測(cè)結(jié)果。下面將研究給定冪指數(shù)γ的情況下，GM（1，1）冪模型初始條件的組合優(yōu)化問(wèn)題。

三、GM（1，1）冪模型初始條件的組合優(yōu)化

不妨先給出GM（1，1）冪模型白化方程解的一般表達(dá)式：

若取初始條件為x（1）（1），GM（1，1）冪模型的時(shí)間響應(yīng)式為式（5）；

若取初始條件為x（1）（n），GM（1，1）冪模型的時(shí)間響應(yīng)式為：

其中，k＝1，2，…，n。

下面考慮引入一個(gè)參數(shù)β來(lái)組合這兩種初始條件，以體現(xiàn)新舊信息在初始條件中的重要性，β∈［0，1］。

當(dāng)取式（7）中的t＝1時(shí)，

當(dāng)取式（7）中的t＝n時(shí)，

分別用β和1－β乘以式（9）和式（10）：

于是，

由式（13）解得：

確定參數(shù)c，使得

達(dá)到最小。

解式（16）得：

由公式（14）和（17）可知

解式（18）得初始條件的加權(quán)系數(shù)：

因此，GM（1，1）冪模型優(yōu)化的時(shí)間響應(yīng)式為

當(dāng)β＝1時(shí)，式（20）等價(jià)于式（5），即以x（1）（1）為初始條件的時(shí)間響應(yīng)式；

當(dāng)β＝0時(shí)，式（20）等價(jià)于式（8），即以x（1）（n）為初始條件的時(shí)間響應(yīng)式。

四、模型檢驗(yàn)

將第k時(shí)刻的相對(duì)誤差（Relative Percentage Error）記為RPE（k），其公式為

所有時(shí)點(diǎn)的相對(duì)誤差平均值（Average Relative Percentage Error）記為ARPE，其公式為

對(duì)于給定α，當(dāng)ARPE＜α且RPE（n）＜α成立時(shí)，稱(chēng)模型為殘差合格模型，一般取α＝5%。

五、應(yīng)用實(shí)例

近20年來(lái)，中國(guó)經(jīng)濟(jì)有了長(zhǎng)足的發(fā)展，在國(guó)際上的地位有了很大的提高，擴(kuò)大高等教育的規(guī)模是勢(shì)所必然的，中國(guó)高等教育也正朝著大眾化的方向發(fā)展。高中升學(xué)率為普通高校招生數(shù)（含電大普通班）與普通高中畢業(yè)生數(shù)之比，該指標(biāo)是反映高等教育發(fā)展的重要指標(biāo)。自從1999年中國(guó)實(shí)施擴(kuò)招政策以來(lái)，高中升學(xué)率呈現(xiàn)出先增長(zhǎng)后下降的單峰特性（見(jiàn)表1），由王正新等人的研究結(jié)論［7］可知，宜采用GM（1，1）冪模型進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)。下面利用本文提出的優(yōu)化方法對(duì)中國(guó)高中升學(xué)率進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，同時(shí)與王正新等人提出的冪指數(shù)優(yōu)化方法［12］進(jìn)行精度比較。

表1 1999－2008年中國(guó)高中升學(xué)率（%）

（一）冪指數(shù)優(yōu)化方法［12］

利用參數(shù)之間的關(guān)系構(gòu)建優(yōu)化模型，得冪指數(shù)的最優(yōu)值γ＊＝0．294，?。辺（1）（1）＝X（1）（1）＝63．8，可得時(shí)間響應(yīng)式＾x（1）（k＋1）＝（187．631 7－168．832 9e－0．08298k）1．4165；k＝1，2，…，9。

（二）初始條件組合優(yōu)化方法

根據(jù)式（19）計(jì)算初始條件為x（1）（1）和x（1）（n）的組合權(quán)系數(shù)：

可見(jiàn)，新信息x（1）（n）的權(quán)重大于x（1）（1）。

將β值代入式（20），得GM（1，1）冪模型優(yōu)化的時(shí)間響應(yīng)式為：

累減還原值為

注意到，優(yōu)化初始條件的GM（1，1）冪模型的初始條件不再是x（1）（1），因此，此處的模擬增加了1999年的數(shù)據(jù)作為比較。兩種模型的精度比較見(jiàn)表2。

由表2可以看出，本文優(yōu)化模型和冪指數(shù)優(yōu)化方法的平均模擬誤差（ARPE）分別為1．26%和1．20%，均小于5%，可見(jiàn)兩者均為殘差合格模型，但是本文優(yōu)化模型的精度略高于冪指數(shù)優(yōu)化方法。在對(duì)2007和2008兩年數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)方面，本文提出的優(yōu)化模型也具有明顯的優(yōu)勢(shì)。主要原因就在于本文提出的優(yōu)化模型考慮了新舊信息在初始條件中的最優(yōu)權(quán)重。

六、結(jié) 論

初始條件是影響灰色系統(tǒng)建模精度的關(guān)鍵因素之一。無(wú)論是以序列的最舊數(shù)據(jù)x（1）（1）為初始條件，還是以序列中最新的數(shù)據(jù)x（1）（n）為初始條件，都難以獲得高精度的建模結(jié)果。由本文構(gòu)建的組合優(yōu)化模型求出的權(quán)重能夠平衡新舊信息在預(yù)測(cè)中的作用，從而有效地提高GM（1，1）冪模型的模擬和預(yù)測(cè)精度。

表2 兩種優(yōu)化模型的精度比較表

［1］ 鄧聚龍．灰理論基礎(chǔ)［M］．武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002．

［2］ Wang Y F．Predicting Stock Price Using Grey Prediction System［J］．Expert Systems with Applications，2002，22（8）．

［3］ Xie N M，Liu S F．Discrete Grey Forecasting Model and Its Optimization［J］．Applied Mathematical Modelling，2009，33（4）．

［4］ Li D C，Yeh C W，Chang C J．An Improved Grey－Based Approach for Early Manufacturing Data Forecasting［J］．Computers ＆Industrial Engineering，2009，57（5）．

［5］ 薛小榮，黨小剛．基于灰色理論的西安土地利用預(yù)測(cè)研究［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2009，24（11）．

［6］ 曾波，劉思峰．近似非齊次指數(shù)增長(zhǎng)序列的間接DGM（1，1）模型分析［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2010，25（8）．

［7］ 王正新，黨耀國(guó)，劉思峰，等．GM（1，1）冪模型求解方法及其解的性質(zhì)［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（10）．

［8］ 李軍亮，肖新平，廖銳全．非等間距GM（1，1）冪模型及其應(yīng)用［J］．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30（3）．

［9］ 王豐效．改進(jìn)灰導(dǎo)數(shù)的GM（1，1）冪模型［J］．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，27（2）．

［10］王正新，黨耀國(guó)，練鄭偉．無(wú)偏GM（1，1）冪模型及其應(yīng)用［J］．中國(guó)管理科學(xué)，2011，19（4）．

［11］Dang Y G，Liu S F．The GM Models that x（n）be Taken as Initial Value［J］．Kybernetes，2004，33（2）．

［12］王正新．含可變參數(shù)的緩沖算子與GM（1，1）冪模型研究［D］．南京：南京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文，2010．

Combinatorial Optimization of the Initial Value in GM（1，1）Power Model

WANG Zheng－xin1，DANG Yao－guo2，PEI Ling－ling2
（1．School of Economics and Management，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China；2．College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

In view of the optimization problem of the initial value in GM（1，1）power model，this paper puts forward a linear combinatorial optimization method based on new and old information of original sequence．A combinatorial optimization model for the weights of initial values is constructed with the objective of minimum simulation error sum of squares．The analytical expression of the weights of initial values is proposed．Finally，the superiority and effectiveness of the new methods is illustrated by the data of the promotion rates from senior secondary schools to higher education in China．The results show that the initial condition optimization method proposed in this paper can effectively balance the weights of old and new information and improved the simulation and prediction accuracy of GM（1，1）power model．

grey system；GM（1，1）power model；initial value；combinatorial optimization

book=55,ebook=83

N941．5

A

1007－3116（2012）06－0055－05

（責(zé)任編輯：馬 慧）

2011－12－24

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目《基于灰色理論的小樣本振蕩序列預(yù)測(cè)方法及其應(yīng)用研究》（71101123）；全國(guó)教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃青年課題《“十二五”期間中國(guó)大學(xué)生失業(yè)預(yù)警研究》（EIA100402）

王正新，男，江蘇高郵人，管理科學(xué)與工程博士，講師，研究方向：預(yù)測(cè)與決策理論。