王輝豐

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

構(gòu)造鑲邊幻方代碼法的代碼公式

王輝豐

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158）

給出構(gòu)造偶數(shù)n=2m（m=3，4，…為自然數(shù)）階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方的代碼公式及其證明，本代碼法包括了已有的鑲邊法.

鑲邊幻方；代碼法；代碼公式；軸心雙對(duì)稱

文[1]和[2]介紹了構(gòu)造幻方的鑲邊法，文[3]研究了鑲邊幻方，提出構(gòu)造鑲邊幻方的代碼法.通常為了構(gòu)造任意n階的幻方，就要先構(gòu)造（或已知）一個(gè)原始n-2階幻方.在這個(gè)幻方中，每個(gè)方格的數(shù)上加一個(gè)整數(shù)，然后在它四周鑲上一條邊，安裝余下來(lái)的數(shù)字使之成為n階幻方.鑲邊幻方就是用鑲邊法一圈加一圈形成的任意階幻方，如果逐層地剝掉外圈，留下來(lái)的方陣仍然是一個(gè)個(gè)幻方，但數(shù)字不是從1開(kāi)始的了.這種鑲邊法需要解決兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：一個(gè)是對(duì)原始幻方各方格中的數(shù)加一個(gè)多大的整數(shù)？已經(jīng)知道，各方格的數(shù)都加一個(gè)整數(shù)是2（n-1）.另一個(gè)是余下的數(shù)如何安裝到外層的方格中去？一般可以通過(guò)試探法經(jīng)過(guò)調(diào)整達(dá)到目的，而沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)則.本文得到用代碼法安裝外層數(shù)字的一般代碼公式，不必反復(fù)試探，只由4階核代方陣，按公式計(jì)算就可直接安裝外層的數(shù)字（代碼），不需要先構(gòu)造（或已知）一個(gè)原始n-2階幻方.這些公式與文[3]構(gòu)成的代碼法更加完善，包括已有的鑲邊法，完整地解決了鑲邊法的上述關(guān)鍵問(wèn)題.下面討論代碼法的代碼公式.

1 構(gòu)造偶數(shù)階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方的代碼法

若偶數(shù)階幻方中位于對(duì)角線上的數(shù)中心對(duì)稱，位于正中的4階幻方是中心對(duì)稱幻方;軸對(duì)稱與文[3]不同，偶數(shù)階幻方不存在中間行、中間列，是以這類幻方的縱、橫方向的中線為軸對(duì)稱，即幻方位于兩對(duì)角線之間上下的數(shù)，是以幻方的（與行平行）中線為軸對(duì)稱，位于兩對(duì)角線之間左右的數(shù)，以與列平行的中線為軸對(duì)稱.為了與文[3]的雙對(duì)稱區(qū)別起見(jiàn)，把上述對(duì)稱叫做偶數(shù)階幻方的軸心雙對(duì)稱簡(jiǎn)稱軸心雙對(duì)稱.

下面闡述構(gòu)造n=2m（m=3，4，…為自然數(shù)）階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方的步驟：

首先，設(shè)定代碼

設(shè)以代碼為元素的n=2m（m=3，4，…）方陣為A，a（i，j）（i，j=1，2，…，n）表示位于A的第i行，第j列的元素，A稱為代方陣.把事先給定的中心對(duì)稱的4階代方陣作為待安裝的n階代方陣A的核心，這個(gè)4階代方陣稱為A的核代方陣.

第一步 安裝代方陣A.

用代碼法安裝A外層的代碼，這些代碼所在行列的確定依賴于某參數(shù)的選擇.設(shè)這參數(shù)為k，得到下列兩組含有k的代碼公式.由公式計(jì)算鑲邊行列的代碼，由中心向外即按k由小到大的順序安裝代方陣A的各個(gè)元素.

若k為偶數(shù)，k由2開(kāi)始至不超過(guò)m的最大偶數(shù)，取第（I）組公式（1）～（7）如下：

若k為奇數(shù)，k由3開(kāi)始至不超過(guò)m的最大奇數(shù)，取第（II）組公式（8）～（13）如下：

此時(shí)，只是安裝了代方陣A左上角（由左下角至右上角對(duì)角線以及其上方）的元素，接著，在軸心雙對(duì)稱的位置上安裝相應(yīng)的互補(bǔ)數(shù)（代碼），就得以代碼為元素的代方陣A.代方陣A以及其任一個(gè)大于4階的同心的子方陣，它們的每行、每列和兩條對(duì)角線上的代碼之和都等于0，且具有軸心雙對(duì)稱性，但4階核代方陣卻是中心對(duì)稱的.

第二步 還原代方陣A為方陣B.

把代方陣A中的代碼換成（還原）其所表示的自然數(shù)，得到一個(gè)新的n=2m（m=3，4，…）階方陣B就得軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方（見(jiàn)定理1）.

對(duì)稱段（兩對(duì)角線所夾上下、左右）的元素互置，所得仍為對(duì)稱鑲邊幻方，所以這種代碼法可構(gòu)造出2m-2·2m-2=22m-4個(gè)不同的n=2m（m=3，4，…）階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方.

利用由構(gòu)造上述n階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方過(guò)程中所產(chǎn)生的低階代方陣，通過(guò)還原相對(duì)應(yīng)低階代方陣，還可分別得到s=6，8，…，2m-2階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方.

在證明定理之前，為了更好顯示上述代碼法的作用和意義，首先舉例如下：

例1 構(gòu)造一個(gè)12階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方，并利用構(gòu)造過(guò)程中所產(chǎn)生的低階（如6階、8階、10階）代方陣得出相應(yīng)的低階（6階、8階、10階）軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方.

首先，給定一個(gè)12階代方陣的4階核代方陣（見(jiàn)圖1）

圖1 4階核代方陣Fig.14-order core-code square matrix

然后，對(duì)此用代碼公式進(jìn)行鑲邊.

第一步 取k為偶數(shù)，當(dāng)k=2時(shí)，由第（I）組公式（1）得

由此得

a（4，4）=-15，a（4，5）=-16，a（4，6）=17，a（4，7）=18；

由式（2）～（4）得

a（4，8）=10，a（4，9）=-14，a（4，4）=-15，

由式（5）得

由此得

由式（6），（7）得

當(dāng)k=4時(shí)，同樣由第（I）組公式（1）～（7）順序得

取k為奇數(shù)，當(dāng)k=3時(shí)，同樣由第（II）組公式（8）～（13）得

當(dāng)k=5時(shí)，同樣由第（II）組公式（8）～（13）得

將以上由（I）、（II）組公式計(jì)算得的aij安裝（鑲邊）到圖1得圖2.

再在軸心雙對(duì)稱的位置上安裝互為補(bǔ)數(shù)（代碼）就得12階代方陣（見(jiàn)圖3）.

第二步 還原代方陣.

對(duì)于12階幻方，自然數(shù)1～72，73～144的對(duì)應(yīng)代碼分別是-72～-1，1～72.把代方陣A中的代碼換成其所表示的對(duì)應(yīng)自然數(shù)，得到如下一個(gè)新的12階方陣就是所求的軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方（見(jiàn)圖4）.

注 從例1更清楚看出代碼公式中（3）與（7）為互補(bǔ)，（10）與（13）為互補(bǔ)；（1）包含（4），（8）包含（13）.（I）、（II）組公式之所以不精簡(jiǎn)，是為了以下定理1的證明更清晰起見(jiàn).在計(jì)算時(shí)可以省略.

對(duì)稱段的元素互置，所得仍為軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方，所以可由此構(gòu)造出26-2·26-2=256個(gè)不同的12階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方.

由上述構(gòu)造12階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方過(guò)程中所產(chǎn)生的低階代方陣，可得出相應(yīng)的低階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方.由圖3中的6階代方陣（見(jiàn)圖5）的代碼-18～-1，1～18所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)分別是1～18，19～36.代方陣中的代碼換成其所表示的自然數(shù),就得到一個(gè)6階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方（見(jiàn)圖6）.

同樣可得8階、10階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方.

圖2 12階代碼鑲邊方陣Fig.212-order code-bordered square matrix

圖3 12階代方陣Fig.312-order code square matrix

圖4 12階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方Fig.412-order axial-centre double symmetrical bordered magic square

圖5 6階代方陣Fig.56-order code matrix square

2 定理證明

定理1 由代碼法得的方陣B是一個(gè)n=2m（m=3，4，…為自然數(shù)）階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方.

圖6 6階軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方Fig.6 6-order axial-centre double symmetrical bordered magic square

證明 若k為不超過(guò)m-1的偶數(shù)，在代方陣A的任一個(gè)同心的2（k+1）階子方陣，包括代方陣A左上角（左下角至右上角對(duì)角線以及其上方）中，代方陣A的第m-k行的2（k+1）（k=2，3，…，m-1）個(gè)元素之和為

代方陣A的第m-k列的2（k+1）（k=2，3，…，m-1）個(gè)元素之和為

若k為大于1不超過(guò)m-1的奇數(shù)，在代方陣A的任一個(gè)同心的2（k+1）階子方陣，包括代方陣A左上角（左下角至右上角對(duì)角線以及其上方）中，代方陣A的第m-k行的2（k+1）（k=2，3，…，m-1）個(gè)元素之和為

代方陣A的第m-k列的2（k+1）（k=2，3，…，m-1）個(gè)元素之和為

由于代方陣A的每一個(gè)代元都是按軸心雙對(duì)稱規(guī)則安裝的，顯然代方陣A的任一個(gè)同心的2（k+1）（k=2，3，…，m-1）階子方陣，包括代方陣A，其每行、每列以及兩條對(duì)角線上的代碼之和都等于0，且具有軸心雙對(duì)稱性.當(dāng)我們把代方陣A中的代碼還原為所表示的自然數(shù)，所得新的方陣的任一個(gè)2（k+1）（k=2，3，…，m-1）階子方陣，其每行、每列以及兩條對(duì)角線上元素的和都等于相應(yīng)的幻方常數(shù)，且具有軸心雙對(duì)稱性.所以，這樣的方陣就是軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方（是正規(guī)幻方）.定理證畢.

當(dāng)我們以1～2（k+1）2依次代替代碼-2（k+1）2～-1，同時(shí)以2（k+1）2+1～4（k+1）2依次代替代碼1～2（k+1）2，相應(yīng)地就得到2（k+1）（k=2，3，…，m-1）階的軸心雙對(duì)稱鑲邊幻方（是正規(guī)幻方）.

上述代碼法亦可用于已有鑲邊法，此時(shí)只需取參數(shù)k=m-1.

例2 對(duì)南宋楊輝易數(shù)圖中的陽(yáng)圖[1]8階幻方進(jìn)行鑲邊.得到一個(gè)10階鑲邊幻方.

楊輝易數(shù)圖中的陽(yáng)圖為

圖7 8階楊輝幻方Fig.78-order YANG Hui magic square

由n=2m=10知，在圖7中每個(gè)數(shù)都加2（n-1）=18，得到的方陣見(jiàn)圖8.

因?yàn)閙=5參數(shù)k=m-1=4為偶數(shù)，所以，同樣由第（I）組（1）～（8）公式得

圖8 8階方陣Fig.88-order square matrix

將以上計(jì)算所得的代碼安裝到代方陣，在軸心雙對(duì)稱的位置上安裝互為補(bǔ)數(shù)（代碼），得10階鑲邊幻方最外一圈的代碼，見(jiàn)圖9.

圖9 10階方陣外圈Fig.9 10-order square matrix periphery

注意到對(duì)于10階方陣，1～50對(duì)應(yīng)的代碼為-50～-1；51～100對(duì)應(yīng)的代碼為1～50，把圖9中的代碼還原，換成與其相應(yīng)的自然數(shù)，再把圖8鑲?cè)肫渲?，得到?0階鑲邊幻方（見(jiàn)圖10）.

圖10 10階鑲邊幻方Fig.10 10-order bordered magic square

由8階幻方鑲邊生成10階鑲邊幻方，又由10階鑲邊生成12階鑲邊幻方，如此繼續(xù)，可生成2m階鑲邊幻方.

[1]吳鶴齡.幻方及其他[M].北京:科學(xué)出版社,2004:21-22;76-78.

[2]詹森.你亦可以造幻方[M].北京:科學(xué)出版社,2012:221-231.

[3]詹森,王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,23(2):152-157.

責(zé)任編輯：黃 瀾

The Code Formulas about Building Bordering Magic Square

WANG Huifeng
（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

The new code Formulas were given and proved,which included bordered method and could obtain a n=2m（m=3，4，…）order axial-centre double symmetrical bordered magic square.

bordered magic square；code method；code formulas；axial-centre double symmetrical

O 157.6

A

1674-4942（2012）03-0268-06

2012-05-09