張 珍，孟獻青

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009）

一種含潛伏期的疾病模型的動力學性態(tài)

張 珍，孟獻青

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009）

文章研究了一類具有脈沖接種且發(fā)病含有潛伏期的傳染病模型的動力學性態(tài)。探討了疾病的可控性，并且證明了該系統(tǒng)無病周期解的局部穩(wěn)定性以及全局漸近穩(wěn)定性。當基本再生數(shù)小于1時，上面的結(jié)論可以成立。

傳染?。换驹偕鷶?shù)；穩(wěn)定性

傳染病的預防一直是我們關心的問題，而動力學系統(tǒng)的研究對疾病的控制提供了理論依據(jù)。通過對數(shù)學模型的研究來顯示疾病的發(fā)展過程，預測疾病的發(fā)展趨勢，分析疾病的流行原因，尋求對其控制的最優(yōu)策略，為防治疾病做出相當貢獻。關于在固定時刻給人群接種疫苗的研究，已經(jīng)做了很多工作[1-5]?？紤]到一些疾病的發(fā)病過程往往含有潛伏期，所以建立了下面的模型：

其中，S（t）、E（t）、I（t）、R（t）分別代表t時刻易感者、潛伏者、染病者和恢復者的數(shù)量，β1和β2分別表示S類與E類、I類的有效接觸率，1/γ表示潛伏期，k是恢復率系數(shù)，A是常數(shù)移民數(shù)，d是自然死亡率系數(shù)，α是因病死亡率系數(shù)。

1 無病周期解的存在性

當系統(tǒng)滿足E（t）=0，I（t）=0時，S（t）是與脈沖周期相同的周期函數(shù)，并且此時求得無病周期解。當t0=nτ＜t≤（n+1）τ時，S（t）滿足下面的方程：

意常數(shù)。

記初始條件S（nτ+）=Sn，可得：

且不動點S*局部穩(wěn)定，所以數(shù)列Sn收斂于S*。因此，易感者數(shù)量S（t）會收斂于一個周期解。在t0=nτ＜t≤（n+1）τ的無病周期解為：

同理，計算得到

所以此類含潛伏期的模型存在無病周期解

2 無病周期解的穩(wěn)定性

2.1 局部穩(wěn)定性

給無病周期解加以小擾動，即可以假定S（t）= ?S（t）+s（t）、E（t）=e（t）、I（t）=i（t），則系統(tǒng)可化為：

顯然此式存在零解（0，0，0），并且后兩個式子是線性ODE方程，其Floquet矩陣及特征值λ1，λ2依賴于參數(shù)p，d，A，τ，γ，α，k和β1，β2，并且只有參數(shù)滿足

才能保證無病周期解的局部穩(wěn)定性。當t=（n+1）τ+，計算得到

成了無病周期解局部穩(wěn)定性證明。通過數(shù)值仿真，描繪出這類發(fā)病含潛伏期的疾病的基本再生數(shù)是

2.2 全局漸近穩(wěn)定性

無病周期解全局漸近穩(wěn)定的充分條件是：

特征值。而S（t），E（t），I（t）均為正，所以

S（t）≤X（t），X（t）→?S（t）。對于任意小正數(shù)ε，存在T＞0，當t＞T時，有

S（t）≤?S（t），

再考慮原系統(tǒng)的第二，三個方程。將不等式S（t）≤X（t）代入，得到下面的不等式方程組

E≤F，I≤L。那么，當E，L→0+，推得E，I→0+。當t→∞，S′≤A-β1SI+β2SE-dS，S（t）→S?（t）。綜合上述證明，可以判定下面結(jié)論（S（t），E（t），I（t），R（t））→（?S（t），0，0，?R（t））。

3 結(jié)論

通過一系列的推導，我們最終從理論上解決了這類發(fā)病含有潛伏的傳染病的發(fā)病規(guī)律及可控性。因為模型本身存在有無病周期解，并且當基本再生數(shù)控制到小于1時，無病周期解局部穩(wěn)定并且最終全局漸近穩(wěn)定。

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Stability P roperties in a SEIR E pidem ic M odel

ZHANG Zhen，MENG Xian-qing
（School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

A SEIR epidemic modelwith pulse vaccination is considered in this paper.By using the Floquet theory we prove the infection-free periodic solution is local stable，and by impulsive differential inequality we show the infection-free periodic solution is also globally asymptotically stable.

e pidemic；t he basic production；s tability〔責任編輯 高?！?/p>

O175

A

1674-0874（2012）03-0008-02

2011-11-18

山西省高校研究開發(fā)項目［20101109］；山西大同大學校級科研項目［2009-Y-15］

張珍（1980-），女，山西大同人，碩士，助教，研究方向：生物數(shù)學。