李 鈺，費為銀，石學(xué)芹，李 娟

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

在部分信息下股票收益服從隱馬爾科夫模型的最優(yōu)交易策略

李 鈺，費為銀，石學(xué)芹，李 娟

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

討論了部分信息下股票支付紅利的最優(yōu)交易策略.考慮一個多種股票模型，股票價格過程滿足隨機微分方程，股票價格的瞬時收益率由有限狀態(tài)連續(xù)時間的馬爾科夫鏈刻畫.在投資者終端財富預(yù)期效用最大化目標下，利用隱馬爾科夫模型（HMM）濾波理論和Malliavin分析，導(dǎo)出最優(yōu)交易策略的顯式表達式.

投資組合最優(yōu)化；部分信息；紅利率；隱馬爾科夫模型（HMM）濾波；Malliavin分析

最優(yōu)消費投資模型已被眾多國內(nèi)學(xué)者所研究，且大多數(shù)研究是基于文獻［1］的基本假設(shè)并加以若干改進.文獻［1］解決了理性的家庭投資者對持有的資產(chǎn)如何投資和消費，以實現(xiàn)自己在整個生命周期內(nèi)累計消費和終端財富的期望效用最大化.但是隨著金融市場的不斷創(chuàng)新和發(fā)展，需要對更加符合實際的模型加以研究并應(yīng)用于實際.LAKNER［2］提出了在部分信息下最優(yōu)消費投資選擇問題，在證券價格可觀測的情況下，即資產(chǎn)價格方程組中的標的布朗運動和漂移過程不能直接被觀測時，使用鞅方法推導(dǎo)出了最優(yōu)消費投資策略.文獻［3］推廣了上述結(jié)論，將漂移過程建模為一個高斯過程，該模型在特殊的情況下就變成了多維的均值回復(fù)Ornstein－Uhlenbeck過程.ELLIOTT［4］討論了有限維濾子問題以及在高斯噪聲中觀測到的一個連續(xù)時間馬爾科夫鏈.SASS等［5］研究一個多種股票市場模型，其中瞬時收益率被建模為一個具有有限狀態(tài)的連續(xù)時間馬爾科夫鏈.依據(jù)漂移過程的非標準濾波，使用隱馬爾科夫模型（HMM）濾波結(jié)論和 Malliavin分析可以導(dǎo)出最優(yōu)交易策略的顯式表達式.這個最優(yōu)策略可以在數(shù)值上被決定，參數(shù)可以通過最大期望（EM）算法被估計.HAUSSMANN等［6］將模型推廣到隨機波動率以及依賴于某些狀態(tài)變量的更為一般的隨機利率.KARATZAS等［7］考慮到股票紅利支付，并給出了帶股票紅利支付的財富動力學(xué).胡慧敏等［8］討論了部分信息下帶有紅利的最優(yōu)投資策略，對Lakner模型進行了推廣，并給出了最優(yōu)投資策略的顯式表達式.

眾所周知，紅利的發(fā)放同樣也會影響投資者的最優(yōu)交易策略選擇.因此，本文在文獻［5］的基礎(chǔ)上，對模型作了進一步推廣，所得結(jié)論更加符合實際.

1 關(guān)于股票收益的隱馬爾科夫模型

2 最優(yōu)化和濾波結(jié)論

首先引入風(fēng)險中性測度.易知

3 最優(yōu)交易策略

本節(jié)證明文中主要結(jié)論——定理2.該定理給出了最優(yōu)交易策略的一個顯式表達式.在推論中將詳細說明冪效用下的最優(yōu)交易策略.最優(yōu)策略是由最優(yōu)折現(xiàn)終端財富的Malliavin導(dǎo)數(shù)給定.Malliavin導(dǎo)數(shù)的概念及性質(zhì)，D，D1，1等可參見文獻［5］.

假設(shè)2 設(shè)r遵循以下的動力學(xué)

便可以得到冪效用下的最優(yōu)投資策略.證畢.

4 結(jié) 語

本文討論了在部分信息下帶有紅利的最優(yōu)消費投資模型，其中股票收益服從HMM.首先定義風(fēng)險中性測度，其次利用Malliavin分析刻畫了在部分信息下的最優(yōu)投資策略，最后舉例說明在冪效用下的最優(yōu)投資策略.本文在文獻［5］的基礎(chǔ)上，考慮帶有紅利收益率的情形，對模型作了進一步推廣，使得相關(guān)結(jié)論更具有實際意義.

參 考 文 獻

［1］MERTON R C.Optimum consumption and portfolio rules in a continuous－time model［J］.J Economic Theory，1971，3（4）：373－413.

［2］LAKNER P.Utility maximization with partial information［J］.Stochast Proc Appl，1995，56（2）：247－273.

［3］LAKNER P.Optimal trading strategy for an investor：The case of partial information［J］.Stochast Proc Appl，1998，76（1）：77－97.

［4］ELLIOTT R J.New finite－dimensional filters and smoothers for noisily observed Markov chains［J］.IEEE Trans Inf Theory，1993，39（1）：265－271.

［5］SASS J，HAUSSMANN U G.Optimizing the terminal wealth under partial information：The drift process as a continuous time Markov chain［J］.Finance Stochast，2004，8（4）：553－577.

［6］HAUSSMANN U G，SASS J.Optimal terminal wealth under partial information for HMM stock returns［J］.Contemp Math，2004，351（2）：171－186.

［7］KARATZAS I，SHREVE S E.Methods of mathematical finance［M］.New York：Springer，1998.

［8］胡慧敏，費為銀，鮑品娟.部分信息情形下帶有紅利的最優(yōu)投資模型研究［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2008，25（4）：362－366.

Optimal Trading Strategy under Partial Information and HMM for Stock Returns

LIYu，F(xiàn)EIWei－yin，SHIXue－qin，LIJuan
（School of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000，China）

An optimal trading strategy is characterized under partial information with the dividend payment.A multi－stock market model is considered where prices satisfy a stochastic differential equation with instantaneous rates of return modeled as a continuous time Markov chain with finitely many states.For the investor's objective of maximizing the expected utility of the terminal wealth，an explicit representation of the optimal trading strategy is derived by using hidden Markov models（HMM）filtering theory and Malliavin calculus.

portfolio optimization；partial information；dividend；hidden Markov models （HMM）filtering；Malliavin calculus

F 224.9

A

1671－0444（2012）06－0758－05

2011－10－28

國家自然科學(xué)基金資助項目（71171003）；安徽省自然科學(xué)基金資助項目（090416225）；安徽省高校自然科學(xué)基金資助項目（KJ2010A037）

李 鈺（1987—），女，安徽蕪湖人，碩士，研究方向為金融工程.E－mail：anhuiliyu＠yeah.net

費為銀（聯(lián)系人），男，教授，E－mail：wyfei＠dhu.edu.cn