吳銀川，張家田，嚴(yán)正國(guó)，蘇娟

（西安石油大學(xué)光電油氣測(cè)井與檢測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065）

0 引 言

石油電法測(cè)井技術(shù)通過(guò)發(fā)射不同頻率的激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)不同地層的探測(cè)深度，當(dāng)多種頻率信號(hào)同時(shí)激勵(lì)時(shí)，不僅可以提高測(cè)井效率，還可以得到地層的多維[1－2]信息，提高精細(xì)勘探能力。常見(jiàn)的幅度相位檢測(cè)方法有相敏檢測(cè)、快速傅里葉變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）2種。FFT 方法[3－4]要 求 將所有采集的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)到內(nèi)存中，且為獲得高分辨率和高精度測(cè)量結(jié)果，需要采集更多的數(shù)據(jù)，占用更多的內(nèi)存空間；在實(shí)時(shí)測(cè)井系統(tǒng)中，需要高性能的數(shù)字信號(hào)處理器完成FFT運(yùn)算，系統(tǒng)硬件成本較高。相敏檢測(cè)技術(shù)[5]通過(guò)鎖相檢測(cè)確定頻率信號(hào)的幅度和相位，在實(shí)時(shí)檢測(cè)系統(tǒng)中可實(shí)現(xiàn)邊采集邊計(jì)算，計(jì)算檢測(cè)結(jié)果不需要大量的內(nèi)存空間，計(jì)算量小，對(duì)硬件要求不高。在石油測(cè)井信號(hào)檢測(cè)中多采用相敏檢測(cè)技術(shù)[6－7]，但對(duì)相敏檢測(cè)技術(shù)的理論研究較少。本文根據(jù)相敏檢測(cè)技術(shù)原理，推導(dǎo)出多頻相敏檢波的算法公式，分析算法性能，并通過(guò)Matlab軟件進(jìn)一步仿真，驗(yàn)證算法的正確性。

1 數(shù)字相敏檢測(cè)原理

1.1 相敏檢測(cè)原理

數(shù)字相敏檢測(cè)原理見(jiàn)圖1所示。其中s（n）為被檢測(cè)的信號(hào)，cos n和sin n是和s（n）同頻正交參考信號(hào)，通過(guò)檢測(cè)得到信號(hào)的幅度Am和相位φ。

圖1 數(shù)字相敏檢波原理

這里假設(shè)

式中，SDC為信號(hào)中的直流分量；f為被檢信號(hào)的頻率；fs為系統(tǒng)的采樣頻率；N為采樣點(diǎn)數(shù)。根據(jù)圖1檢波原理有

式（4）和式（5）計(jì)算結(jié)果含有直流信號(hào)、同頻信號(hào)、2倍頻信號(hào)。其中直流項(xiàng)中含有檢測(cè)信號(hào)的幅度和相位信息，只要通過(guò)合適的低通濾波就可以得到。而原信號(hào)中的直流量SDC并未對(duì)檢測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響。I（n）和Q（n）經(jīng)過(guò)低通濾波后有

1.2 多頻相敏檢測(cè)原理

假設(shè)待檢測(cè)多頻信號(hào)為

式中，M表示頻率的個(gè)數(shù)。根據(jù)相敏檢測(cè)原理，當(dāng)檢測(cè)頻率為fi時(shí)，需要給該信號(hào)乘以頻率為fi的正交信號(hào)cos n和sinn。對(duì)含有M個(gè)頻率信號(hào)的檢測(cè)，要依次給該信號(hào)乘以同頻的正交信號(hào)，每1次檢測(cè)只能檢出1種頻率信號(hào)的幅度和相位。M個(gè)頻率的信號(hào)需要做M 次相敏檢波。設(shè)被檢頻率為fk，則有

Ik（n）和Qk（n）含有1個(gè)fk、M 個(gè)（fi＋fk）以及 M個(gè)（fi－fk）頻率成分。當(dāng)fk和fi相等時(shí)，Ik（n）和Qk（n）含有包含幅度和相位信息的直流分量，從而實(shí)現(xiàn)Ak和φk的檢測(cè)。

1.3 最優(yōu)濾波設(shè)計(jì)

要從式（4）至式（5）和式（11）至式（12）檢測(cè)出信號(hào)的幅度Ak和相位φk，關(guān)鍵是設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器，濾除無(wú)關(guān)的頻率成分并保留含有幅度和相位信息的直流分量。常用的濾波器是數(shù)字式平均，原理見(jiàn)圖2。

圖2 平均濾波器原理

式中，N為平均點(diǎn)數(shù)；Ts為采樣時(shí)間間隔。該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)h（t）為

對(duì)式（14）作傅里葉變換，得到頻率響應(yīng)函數(shù)

對(duì)應(yīng)的幅度頻率響應(yīng)為

也就是說(shuō)當(dāng)激勵(lì)信號(hào)e（t）含有的頻率f、采樣頻率fs以及采樣點(diǎn)數(shù)（平均濾波點(diǎn)數(shù)）N三者之間滿(mǎn)足式（18）的要求[即要求對(duì)e（t）整周期采樣]，該頻率信號(hào)通過(guò)濾波器的響應(yīng)為0。利用該性質(zhì)濾除式（11）和式（12）中的多頻交流信號(hào)，保留含有待測(cè)信號(hào)幅度和相位信息的直流信號(hào)，從而達(dá)到檢測(cè)確知頻率信號(hào)的目的。

當(dāng)N＝10時(shí)，式（17）對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線(xiàn)見(jiàn)圖3所示。在頻率f為0.1fs、0.2fs、0.3fs、0.4fs和0.5fs時(shí)其頻率響應(yīng)為0，濾波器的帶寬為0.0886fs。理論上可以任意減小fs／N（頻率分辨率），得到任意窄帶寬的濾波器。當(dāng)激勵(lì)信號(hào)e（t）中含有白噪聲時(shí)，帶內(nèi)噪聲影響信號(hào)的準(zhǔn)確檢測(cè)。

圖3 N＝10平均濾波器的幅頻響應(yīng)

2 多頻檢測(cè)算法設(shè)計(jì)

圖1所示，相敏檢波算法要依次實(shí)現(xiàn)N個(gè)數(shù)據(jù)的相乘、N個(gè)數(shù)據(jù)的相加。當(dāng)待檢測(cè)信號(hào)中含有M個(gè)頻率時(shí)，相敏檢波算法計(jì)算量是單頻相敏檢波算法計(jì)算量的M倍。假設(shè)待測(cè)信號(hào)中含有M個(gè)頻率，采樣頻率為fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，根據(jù)多頻相敏檢測(cè)原理有

式中，X1，…，XM以及Y1，…，YM為M 個(gè)頻率的計(jì)算結(jié)果；s1（0），…，s1（N－1）為 N 個(gè)采樣數(shù)據(jù)。式（20）和式（21）分別實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的相乘、數(shù)據(jù)的累加平均。式（20）和式（21）可合并為

被檢信號(hào)中第i個(gè)頻率的幅度和相位為

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)選用 MIT陣列感應(yīng)測(cè)井儀器[8]所選26.325、52.65和105.3kHz的3種頻率信號(hào)進(jìn)行仿真。噪聲為隨機(jī)白噪聲，信號(hào)采樣頻率為1.053MS／s，采樣點(diǎn)數(shù)為4000，所選參數(shù)滿(mǎn)足式（18）（整周期采樣）的要求。檢測(cè)1000次的均值作為檢測(cè)值。在Matlab軟件環(huán)境下，采用式（20）至式（24）推導(dǎo)的算法得到仿真結(jié)果如表1所示，其中信噪比定義為信號(hào)與噪聲的功率之比。表2所選頻率分別為26.335、52.66和105.31kHz，采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)不變，此時(shí)參數(shù)選擇不滿(mǎn)足式（18）要求，檢測(cè)1000次均值作為檢測(cè)值。從表1的檢測(cè)結(jié)果可以看出，無(wú)噪聲時(shí)，3種頻率的幅度和相位檢測(cè)誤差小于10－13，可驗(yàn)證檢測(cè)算法推導(dǎo)正確；在信噪比低至－10dB時(shí)幅度檢測(cè)誤差控制在0.5%以?xún)?nèi)，相位檢測(cè)誤差控制在0.2%以?xún)?nèi)。從表2的檢測(cè)結(jié)果可以看出，無(wú)噪聲時(shí)，幅度檢測(cè)最大誤差為0.04%，相位檢測(cè)最大誤差為0.06%，該檢測(cè)結(jié)果與信噪比20dB和10dB時(shí)誤差基本相同。相同信噪比條件下表1的檢測(cè)誤差較小。例如10dB時(shí)，表2中26.335kHz幅度誤差是表1幅度誤差的2倍以上，相位誤差是5倍以上。

表1 整周期采樣檢測(cè)結(jié)果

表2 非整周期采樣檢測(cè)結(jié)果

4 結(jié) 論

（1）基于相敏檢測(cè)原理，推導(dǎo)出多頻相敏檢測(cè)的算法。在頻域內(nèi)分析了數(shù)字平均濾波器的響應(yīng)特性，得到多頻檢測(cè)時(shí)采樣頻率、采樣點(diǎn)數(shù)以及信號(hào)頻率之間的約束關(guān)系，在滿(mǎn)足約束條件下，多頻信號(hào)檢測(cè)各頻率之間無(wú)影響。

（2）仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在信噪比低至－10dB時(shí)幅度檢測(cè)誤差控制在0.5%以?xún)?nèi)，相位檢測(cè)誤差控制在0.2%以?xún)?nèi)。

（3）在實(shí)際測(cè)井儀器數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，一方面盡可能提高采集信號(hào)的信噪比，另一方面采集參數(shù)選擇滿(mǎn)足約束關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)多頻信號(hào)高精度檢測(cè)。

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