李 嵐

(閩西職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程系，福建 龍巖 364021)

0 引言

n階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式:

相應(yīng)的齊次方程為:

根據(jù)線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)理論，方程(1)的通解可以表示為方程(1)的一個(gè)特解與方程(2)的通解之和，而方程(2)的通解的求法一般采用Euler待定指數(shù)函數(shù)法(即特征根法)，因此要求方程(1)的通解，只要求出方程(1)的一個(gè)特解即可。

常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的求法通常使用常數(shù)變易法、待定系數(shù)法、算子解法和拉普拉斯變換法，這些方法各具特色。如，待定系數(shù)法，雖然解題思路簡(jiǎn)單，易于掌握，但不具有一般性，計(jì)算比較繁瑣，容易出錯(cuò)。本文先給出一階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解求解公式，一階常系數(shù)非齊次線性微分方程:

1 主要定理和性質(zhì)

1.1 微分算子與逆算子及其性質(zhì)

1.1.1 微分算子

稱P(D)=Dn+p1Dn－1+…+pn－1D+pn為算子多項(xiàng)式，方程(4)可簡(jiǎn)記為:

1.1.2 逆算子

1.1.3 逆算子位移定理

1.2 基本定理

由不定積分公式:

可推得:

定理1 設(shè)非齊次線性微分方程(3)對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為λ，則:

1)當(dāng)α≠λ時(shí)，方程(3)一特解為:

2)當(dāng)α=λ時(shí)，方程(3)一特解為:

證明

1)當(dāng)α≠λ時(shí)，由算子性質(zhì)及引理1可得:

結(jié)論成立。

由于n次數(shù)多項(xiàng)式P(D)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可因式分解為n個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，即P(D)=(D－λ1)(D－λ2)…(D－λn)(其中可能發(fā)生 λi=λj(1≤i，j≤n)的重根現(xiàn)象)，因此對(duì)于求n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(1)的特解時(shí)，可多次重復(fù)使用定理1，從而達(dá)到求解的目的。

2 應(yīng)用舉例

例1 求微分方程x'－2ix=e2t(4t+2)的特解。

解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特解是λ=2i。由自由項(xiàng) e2t(4t+2)可知，α =2，a1=4，a0=2，且 α≠λ，所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

例2 求微分方程x'－2x=(13t－4)cos 3t的特解。

解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特解是λ=2。微分方程中的自由項(xiàng)(13t－4)cos 3t可采用歐拉公式化為 Re[e3it(13t－4 ) ] 。可知 α=3i、a1=13、a0=－4，且α≠λ，所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

例3 求微分方程x″+5x'+6x=e－2t(t2+3t－5)的特解。

解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特解是λ1=－3，λ2=－2。由自由項(xiàng) e－2t(t2+3t－5)可知，α =－2，a0=－5，a1=3，a2=1，且 α = λ2，所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

其中，b0= －6，b1=1，b2=1。

例4 求微分方程x?－5x″+9x'－5x=et(3t2－13t+14)的特解。

解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特解是λ1=1，λ2=2+i，λ3=2 －i。由自由項(xiàng) et(3t2－13t+14)可知，α =1，a0=14，a1=－13，a2=3，其中 αλ1所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)一類一階常系數(shù)線性微分方程(3)，運(yùn)用積分公式和算子法推導(dǎo)了微分方程特解的求解方法，不僅方法較為簡(jiǎn)單，并可多次重復(fù)使用定理1計(jì)算出n階常系數(shù)線性微分方程(1)當(dāng)自由項(xiàng)f(t)=eαtQm(t)時(shí))的特解，還能為求微分方程(1)的特解的解析解提供依據(jù)。

［1］王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))［M］.3版，北京:高等教育出版社，2002.

［3］同濟(jì)大學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))［M］.4版，北京:高等教育出版社，1996.