汪 俊WANG Jun

（廣州城市職業(yè)學(xué)院 信息與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510405）

0 引言

干摩擦廣泛存在于機(jī)械系統(tǒng)的摩擦副中，如金屬絲減振器，金屬橡膠元件，車(chē)輛中離合器的主動(dòng)盤(pán)與從動(dòng)盤(pán)的摩擦面中，如圖1所示。其減振的頻帶寬，可有效的降低系統(tǒng)的振幅，是一類(lèi)行之有效的被動(dòng)隔振和減振裝置，因此得到了工業(yè)界的廣泛關(guān)注。

圖1 離合器中的干摩擦交接面

由于干摩擦力學(xué)特性的強(qiáng)非線性(如回復(fù)力與位移曲線呈遲滯特性)，使得干摩擦元件的設(shè)計(jì)較為困難，通常依靠經(jīng)驗(yàn)或大量的試驗(yàn)試制等手段進(jìn)行設(shè)計(jì)，成本高，周期長(zhǎng)。為此，建立合理的干摩擦力學(xué)模型和推導(dǎo)計(jì)算量適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法就顯得尤為重要。至上世紀(jì)三十年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)此展開(kāi)了大量研究。

Den.Hartog在1931年提出了理想的干摩擦模型(coulomb模型)。假設(shè)一物體在干摩擦交接面上運(yùn)動(dòng)，干摩擦阻力總是阻礙運(yùn)動(dòng)，因此，干摩擦力的方向總與運(yùn)動(dòng)方向相反，但其大小不變。從時(shí)域上看，干摩擦阻力的波形為方波，其變化規(guī)律可表示如下：

其中，F(xiàn)t為干摩擦阻力的大小， 為物體的運(yùn)動(dòng)速度。

Den.Hartog的模型表達(dá)了理想的干摩擦。然而，大量的實(shí)驗(yàn)研究表明，物體與干摩擦表面相接觸時(shí)，物體速度方向的改變并不是突然發(fā)生的，而是存在一個(gè)過(guò)渡過(guò)程。由于接觸面本身有一定的彈性，在外力的作用下，造成了接觸面有一定的彈性變形。當(dāng)外力的方向改變時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)方向并沒(méi)有立刻改變，當(dāng)外力的大小增大到一定程度，物體與接觸面才產(chǎn)生相對(duì)位移。

考慮到接觸面的彈性性質(zhì)，Iwan在1961年提出了著名的雙折線遲滯模型，該模型將干摩擦阻力看成一根彈簧和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的coulomb摩擦副串聯(lián)，且能更好的表達(dá)干摩擦阻力的非線性性質(zhì)。

本文針對(duì)一個(gè)含有干摩擦元件的單自由度系統(tǒng)，實(shí)測(cè)了其在諧波激勵(lì)下出現(xiàn)的粘滑運(yùn)動(dòng)，并將計(jì)算值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，文中給出的建模和計(jì)算方法是有效的。

1 單自由度干摩擦系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究

測(cè)試對(duì)象為一含干摩擦的單自由度系統(tǒng)，圖2為測(cè)試原理圖。由MTS的作動(dòng)端對(duì)物體施加垂直方向的位移激勵(lì)x (t)＝x0＋xmsin (2π ft)，其中，f為激勵(lì)頻率(Hz)，xm為激勵(lì)幅值(mm)，x0(mm)為預(yù)載。圖2中，OA所示的位置是初始位置。在預(yù)載x0的作用下，OA由初始位置運(yùn)動(dòng)至水平位置OB，然后在水平位置OB附近作往復(fù)擺動(dòng)。

假設(shè)在位移激勵(lì)Δx下，OB運(yùn)動(dòng)到了OC。假設(shè)OA的長(zhǎng)度為l，則的擺角為：

圖3為時(shí)間-擺角關(guān)系的測(cè)試結(jié)果，可見(jiàn)單自由度系統(tǒng)時(shí)間—擺角呈現(xiàn)明顯的粘-滑運(yùn)動(dòng)。

圖2 單自由度運(yùn)動(dòng)響應(yīng)測(cè)試原理

圖3 單自由度系統(tǒng)的粘-滑運(yùn)動(dòng)

2 單自由度干摩擦系統(tǒng)的力學(xué)模型

研究對(duì)象為圖3所示的振動(dòng)系統(tǒng)。該系統(tǒng)由兩輪、一帶和一個(gè)集中質(zhì)量組成。其中，集中質(zhì)量連接彈簧k (N/m),阻尼c (Ns/m),集中質(zhì)量受到幅值為P (N)、頻率為ω (rad/s)、相位為0度的激勵(lì)力作用。假設(shè)集中質(zhì)量與帶之間的摩擦為干摩擦，則該集中質(zhì)量的受力情況與圖2中的單自由度物體類(lèi)似。文中只考慮集中質(zhì)量在力激勵(lì)作用下的位移的時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)，不計(jì)算兩輪和帶的運(yùn)動(dòng)，因此，圖1中振動(dòng)系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)。

以地面為參考坐標(biāo)系，以集中質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)集中質(zhì)量的位移為x (m)且向右為正，帶的速度為vb(m/s)，干摩擦為Z (t)，則集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

由于干摩擦的作用，使得集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)滑移—粘著—滑移交替出現(xiàn)的情況，因此分別討論滑移、粘著時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程及相應(yīng)的解。

其中，Z (t)表示干摩擦的大小為時(shí)間的函數(shù)，其增量形式的本構(gòu)關(guān)系為：

圖4 包含雙折線模型的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

3 系統(tǒng)響應(yīng)的求解方法

由于干摩擦的作用，使得集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)滑移—粘著—滑移交替出現(xiàn)的情況，因此分別討論滑移、粘著時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程及相應(yīng)的解。

3.1 集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)為滑移時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程

當(dāng)集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)為滑移時(shí)，在用雙折線模型描述干摩擦力的情況下，干摩擦相當(dāng)于剛度為ks的彈簧，因此，式（3）變?yōu)椋?/p>

定義如下的變量：

則（6）變?yōu)椋?/p>

式（8）為二階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解和非齊次微分方程的特解組成。通解只對(duì)應(yīng)于振動(dòng)響應(yīng)的過(guò)渡階段，會(huì)隨時(shí)間推移而消失，因此不予考慮?？稍O(shè)式（8）的特解的形式為：

其中：

3.2 集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)為粘著時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程

其中，xslip為當(dāng)集中質(zhì)量由滑移變?yōu)檎持鴷r(shí)的臨界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位移，t為粘著段對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度。

3.3滑移—粘著臨界時(shí)刻的

當(dāng)滑移和粘著的運(yùn)動(dòng)方程分別確定后，集中質(zhì)量的時(shí)域位移響應(yīng)可在滑移、粘著段分段可導(dǎo)，因此，求解滑移—粘著—滑移變化的臨界時(shí)刻就十分重要。當(dāng)集中質(zhì)量的速度 時(shí)，系統(tǒng)由滑移變?yōu)檎持?，因此可?作為判斷臨界時(shí)刻的標(biāo)準(zhǔn)。

本文采取變步長(zhǎng)法，求解滑移—粘著的臨界時(shí)刻，圖5為計(jì)算程序的流程圖。集中質(zhì)量處于粘著的時(shí)間與處于滑移的時(shí)間之和為周期的一半，因此粘著—滑移轉(zhuǎn)變的臨界時(shí)刻可由此確定。

3.4 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的求解方法

由于雙折線本構(gòu)關(guān)系Z (t)為非線性的泛函，其示意圖如圖6所示，造成直接求頻響方程十分困難，因此考慮Z (t)的簡(jiǎn)化形式。

雙折線遲滯模型的阻力具有周期性，且沒(méi)有第一類(lèi)間斷點(diǎn)，并絕對(duì)可積，因此，可將其阻力展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)。

如圖7所示，可將雙折線遲滯模型的阻力分段表示：

在2處，1—2與2—3分別表示的分段函數(shù)應(yīng)連續(xù)，可得：

圖5 臨界時(shí)刻計(jì)算流程圖

圖6 雙折線示意圖

xy為雙折線本構(gòu)關(guān)系的滑移極限。所以，利用分段積分定理，可得阻力F的Fourier級(jí)數(shù)為：

其中：

以往的文獻(xiàn)曾對(duì)式（12）進(jìn)行頻譜分析，指出，式（12）中的高次諧波位移與基頻位移之比均低于5.5%，甚至往往低于1%。因此，可取式（13）中n=1的各項(xiàng)來(lái)近似代替雙折線遲滯模型的阻力。

當(dāng)n=1時(shí)，簡(jiǎn)化后可得：

因此，雙折線遲滯模型的等效阻力為：

將式（13）代入式（1）中，再對(duì)式（1）進(jìn)行傅里葉變換，經(jīng)整理、簡(jiǎn)化后最終可得：

其中，xm為集中質(zhì)量位移響應(yīng)的幅值，利用Newton迭代法求解非線性方程（18）即可得到集中質(zhì)量的幅頻響應(yīng)曲線。

4 計(jì)算結(jié)果及分析

為分析不同的系統(tǒng)參數(shù)對(duì)集中質(zhì)量粘滑運(yùn)動(dòng)的影響，在幅值為20N，頻率為5HZ的簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，分別計(jì)算了不同參數(shù)時(shí)系統(tǒng)的時(shí)域位移響應(yīng)。系統(tǒng)的各參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

4.1 時(shí)域響應(yīng)

為分析不同的系統(tǒng)參數(shù)對(duì)集中質(zhì)量粘滑運(yùn)動(dòng)的影響，在幅值為20N，頻率為5HZ的簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，分別計(jì)算了不同參數(shù)時(shí)系統(tǒng)的時(shí)域位移響應(yīng)。系統(tǒng)的各參數(shù)如表1所示。圖7為集中質(zhì)量的位移響應(yīng)。由圖7可見(jiàn)，文中的計(jì)算方法可表征集中質(zhì)量的粘滑運(yùn)動(dòng)，且?guī)俚拇笮?duì)位移的幅值有影響，帶速增大時(shí)位移的幅值增大。

4.1.1 不同阻尼時(shí)集中質(zhì)量的位移響應(yīng)

圖8為集中質(zhì)量的位移響應(yīng)，由圖8可見(jiàn)，阻尼的大小對(duì)位移的幅值有影響，帶速增大時(shí)位移的幅值減小。

圖7 集中質(zhì)量位移響應(yīng)

圖8 集中質(zhì)量位移響應(yīng) (m=0.5，k=10，zs=20，ks=25)

圖9 集中質(zhì)量位移響應(yīng) (c=0.5，m=0.5，zs=20，ks=25)

4.1.2 不同剛度時(shí)集中質(zhì)量的位移響應(yīng)

由圖9可見(jiàn)，剛度k的大小對(duì)位移的幅值有影響，k增大時(shí)位移的幅值減小。

4.2 幅頻響應(yīng)

取系統(tǒng)參數(shù)為 m=0.05，c=0.5，k=25，zs=20，ks=22，在幅值為30N，頻率為0～10HZ掃頻的激勵(lì)下，計(jì)算集中質(zhì)量的幅頻響應(yīng)，結(jié)果如圖10所示?？梢?jiàn)當(dāng)激勵(lì)頻率為5.1HZ左右時(shí)，幅頻響應(yīng)達(dá)到峰值。

圖10 集中質(zhì)量的幅頻響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

文中給出了干摩擦系統(tǒng)的建模及計(jì)算方法，分析了干摩擦系統(tǒng)中的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，結(jié)果表明，文中的建模和數(shù)值方法是有效的，可供干摩擦設(shè)計(jì)借鑒。

[1] Den Hartdog,Forced vibration with combined coulomb and viscous friction[J]. Trans ASME, 1931: APM-52-15.

[2] Iwan W.F. The dynamic response of the bilinear hysteretic system [D]. Califonia: Califonia institute of technology,1961.

[3] 胡海巖, 李岳峰. 具有記憶特性的非線性減振器參數(shù)識(shí)別[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 1989, 2(2): 17-26.

[4] 李冬偉, 白鴻柏, 楊建春, 等. 非線性遲滯系統(tǒng)建模方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2005, 41(10): 205-210.

[5] 路純紅, 白鴻柏, 胡仁喜. 金屬橡膠/橡膠復(fù)合疊層耗能器動(dòng)力學(xué)模型[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2008, 21(5): 493-497.