李昌利

(河海大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，江蘇南京211100)

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中有一個(gè)非常重要的結(jié)論:離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列與輸入序列的卷積(線性卷積)?！皵?shù)字信號(hào)處理”課程中又定義了兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積運(yùn)算?？梢岳秒x散傅里葉變換的時(shí)域循環(huán)卷積性質(zhì)來計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積，而離散傅里葉變換可以通過快速傅里葉變換完成。通常的《數(shù)字信號(hào)處理》教材中討論循環(huán)卷積時(shí)，給出了計(jì)算公式和計(jì)算實(shí)例，但都是從定義出發(fā)，計(jì)算過程復(fù)雜。本文從線性卷積的簡(jiǎn)單計(jì)算方法入手，利用線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系，提出一個(gè)非常簡(jiǎn)便的計(jì)算循環(huán)卷積方法。

1 線性卷積和循環(huán)卷積及其關(guān)系

首先定義模運(yùn)算。對(duì)任意整數(shù)m，m對(duì)N取模的運(yùn)算符為:＜m＞N=m+lN，模運(yùn)算定義為找一個(gè)整數(shù)l，使得0m+lNN－1。例如，＜23＞7=2，只要l=－3即可，又例如，＜-13＞7=1，只要l=2即可。

式中，N點(diǎn)循環(huán)卷積yC，N(n)定義域?yàn)?nN－1，長(zhǎng)度為N。

對(duì)上述定義域內(nèi)的x(n)和h(n)，在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中定義了兩者的線性卷積為

式中，yL(n)的定義域?yàn)?nM1+M2－2，有效長(zhǎng)度為M1+M2－1。

［1] 指出循環(huán)卷積與線性卷積存在以下關(guān)系式:

由此可知，當(dāng)N≥M1+M2－1時(shí)，循環(huán)卷積與線性卷積相等;而當(dāng)max(M1+M2)N＜M1+M2－1時(shí)，循環(huán)卷積與線性卷積不等。參考文獻(xiàn)［2] 和［3] 詳細(xì)證明了以上結(jié)論。

2 簡(jiǎn)單的循環(huán)卷積計(jì)算方法

我們首先簡(jiǎn)單介紹計(jì)算序列x(n)和序列h(n)線性卷積的序號(hào)和匹配法［4]，該法采用如下步驟。

(1)按序把x(n)和h(n)的序列值從左至右排列成兩行。兩個(gè)序列的第一個(gè)序列值排列時(shí)對(duì)齊，每個(gè)序列值占據(jù)一格;

(2)把x(n)的第一個(gè)序列值與h(n)的各個(gè)序列值依次相乘，把乘積結(jié)果按序從左至右排列，每個(gè)乘積結(jié)果占據(jù)一格;

(3)把x(n)的第二個(gè)序列值與h(n)的各個(gè)序列值依次相乘，把乘積結(jié)果按序從左至右排列，排列的起始位置較(2)右移一格;

(4)依據(jù)同樣的方法，把x(n)的其它序列值與h(n)的各個(gè)序列值依次相乘，之后把所得的乘積結(jié)果依次排列，排列的起始位置依次右移一格;

(5)把同一列的乘積結(jié)果相加就是線性卷積結(jié)果，對(duì)應(yīng)的序號(hào)n從左至右依次遞增。

現(xiàn)在先計(jì)算5點(diǎn)循環(huán)卷積yC，4(n)。式(3)右邊第二項(xiàng)yL(n+N)是由yL(n)左移5個(gè)單位形成的，得到如圖1所示的中間結(jié)果yL(n+5)。因?yàn)檠h(huán)卷積的定義域?yàn)?n4，所以只需考慮式(3)右邊兩項(xiàng)在0n4的部分，兩項(xiàng)在0n4內(nèi)的部分相加的最終結(jié)果如圖2所示。

同理可得，6點(diǎn)循環(huán)卷積的最終結(jié)果如圖3所示，7點(diǎn)循環(huán)卷積的中間結(jié)果如圖4所示。

圖1 計(jì)算5點(diǎn)循環(huán)卷積的中間結(jié)果

2計(jì)算5點(diǎn)循環(huán)卷積的最終結(jié)果

圖3 計(jì)算6點(diǎn)循環(huán)卷積的最終結(jié)果

圖4 計(jì)算7點(diǎn)循環(huán)卷積的最終結(jié)果

很容易驗(yàn)證，以上按列得到的各項(xiàng)恰與按式(1)計(jì)算得到的各項(xiàng)一致。事實(shí)上，也能以前述方法先計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積yL(n)，再取(3)的右邊，然后取兩項(xiàng)相加結(jié)果在主值區(qū)間0nN－1的部分，此即序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積yC，N(n)。

3 計(jì)算實(shí)例

設(shè)x(n)={2，1，0，1}和h(n)={2，3，0，1，2}，計(jì)算兩者的6點(diǎn)循環(huán)卷積yC，6(n)。

先計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積，得到的結(jié)果如圖5所示。為了計(jì)算序列的6點(diǎn)循環(huán)卷積，將圖5的結(jié)果整體左移6個(gè)單位，得到式(3)計(jì)算循環(huán)卷積的兩項(xiàng)，中間結(jié)果如圖6所示，圖的底部標(biāo)出了對(duì)應(yīng)列的序號(hào)n。將前述結(jié)果在0n5的部分相加，得到的結(jié)果如圖7所示，該圖還給出了按列相加的結(jié)果，這就是最后的6點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果yC，6(n)={5，10，3，4，8，2}，最后一行標(biāo)示了對(duì)應(yīng)的序號(hào)n。

圖5 線性卷積的計(jì)算

圖6 循環(huán)卷積的中間結(jié)果

圖7循環(huán)卷積的最終結(jié)果

4 結(jié)語

直接依據(jù)定義計(jì)算兩個(gè)序列的循環(huán)卷積很繁瑣。多數(shù)《數(shù)字信號(hào)處理》教材直接利用定義式計(jì)算循環(huán)卷積，由于定義式涉及到取模運(yùn)算，所以計(jì)算過程很容易出錯(cuò)。分析表明。兩個(gè)序列的循環(huán)卷積與線性卷積存在一個(gè)非常簡(jiǎn)單的關(guān)系式，而兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積很容易通過序號(hào)和匹配法計(jì)算，這樣就得到本文提出的用于計(jì)算循環(huán)卷積的簡(jiǎn)單方法。文章涉及到的概念及公式是自包含的，本文通過具體分析和計(jì)算實(shí)例，詳細(xì)地介紹了所提出的方法，便于讀者閱讀和參考。

參考文獻(xiàn):

［1] Vinay K.Ingle等著，劉樹棠譯.數(shù)字信號(hào)處理(MATLAB版)［M] .西安:西安交通大學(xué)出版社，2008

［2] 李昌利，霍冠英?！皵?shù)字信號(hào)處理”中重疊保留法的證明［J] 。南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào).2011，33(6):31－32

［3] 于鳳芹，張志剛，李昌利。數(shù)字信號(hào)處理簡(jiǎn)明教程［M] .北京:科學(xué)出版社，2011

［4] 李昌利。有限長(zhǎng)序列卷積和求解法［M] 。南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào).2008，30(1):63－65