謝啟源，陸宇平，喬 兵，李 淵

(南京航空航天大學航天學院，南京 210016)

矢量傳感器與標量傳感器不同，存在自身誤差源的同時，還受載體磁場及其姿態(tài)擾動的影響［1］，加上頻譜范圍很寬的地磁擾動［2］，要獲得較高精度的測量磁場信息，必須對傳感器進行校正。

磁傳感器的校正方法有很多，但用于標量磁傳感器的校正方法不能滿足矢量傳感器的需求，對磁矢量傳感器的校正，國內(nèi)外都有相關研究［1，3－8］，校正方法主要分成兩大類［3］:第 1 類是將不同誤差進行分別建模，并通過校正算法對每一種誤差參數(shù)進行估計，從而實現(xiàn)整個傳感器的校正，如基于 FLANN的誤差校正算法［4］、基于線性參數(shù)化模型的校正算法［5］等；第2類是找到一個從測量值到真值的映射，實現(xiàn)傳感器的校正，如基于橢圓擬合［6］和橢球約束［7］的校正算法等。第2類校正方法沒有第1類校正方法那么直觀，但可以同時校正多種誤差。

本文提及的算法屬于第2類校正方法，通過建立磁矢量傳感器的誤差模型，并在橢球約束算法的基礎上，使用正交Procrustes分析方法提高校正精度，最終實現(xiàn)傳感器的校正。

1 傳感器誤差模型及校正算法設計

假設磁矢量傳感器的測量軸與載體坐標系重合，則其測量當?shù)氐卮攀噶康恼嬷祽獮樵谳d體坐標系各軸上的投影，記為。磁矢量傳感器的輸出值為在傳感器3個軸上的投影，記為。此時，若不存在測量誤差和噪聲，有，但在實際安裝和測量情況下，理想無誤差狀態(tài)不存在，即一般情況下。本文介紹的校正方法就是估計一個映射關系f使得。

1.1 誤差模型建立

其中:

矩陣Cs與標度系數(shù)誤差相關，si(i=x，y，z)為i軸的標度系數(shù)偏差；Cη為安裝位置偏差引起的誤差，安裝誤差用歐拉角表示，ηx，ηy，ηz分別為按x，y，z軸旋轉的小角度；Cα包含了軟鐵誤差及傳感器的三軸非正交誤差，不失一般性，可以將其寫成磁感應系數(shù)形式 αij(i，j=x，y，z)，αij表示j軸方向上的外部磁場對i軸方向產(chǎn)生感應磁場的磁感應系數(shù)，1+αii表示由于軟鐵因素的影響，造成i軸方向上磁場強度的放大或縮小，且Cα不一定是對稱矩陣。式中表示硬鐵偏差；為噪聲向量，并假設三個軸的噪聲相互獨立；

在一般情況下矩陣C是可逆的，并令G=C－1。由式(1)可以獲得到的映射可以表達為:

當載體所處位置和姿態(tài)已知時，地磁矢量在載體坐標系下的表示是已知常量，而且其模等于，而載體坐標系下表達式如下:

理論情況下，3個分量在不同姿態(tài)下的值將構成一個球心位于原點，半徑為當?shù)氐卮艌鰳肆恐档囊粋€球面。當?shù)氐卮艌鰠⒖贾悼梢詤⒖糏GRF模型。對于測量值，從式(4)可以看出，不同姿態(tài)下的所有測量值被約束在一個橢球面上，硬鐵誤差決定橢球的中心位置、軟鐵誤差和標度系數(shù)誤差決定橢球的長短軸和扁率、安裝角度誤差和軟鐵誤差決定了橢球長軸的指向。

再令:

2.維生素B1在細胞內(nèi)的功能主要是通過輔酶實現(xiàn)。肝臟中的硫胺素在ATP存在時，經(jīng)酶催化形成具有代謝活性的焦磷酸硫胺素（TPP），參與糖代謝，催化α-酮戊二酸和丙酮酸氧化脫羧基作用。葡萄糖是腦和神經(jīng)系統(tǒng)的主要能源。當維生素B1缺乏時，α-酮戊二酸氧化脫羧障礙，中間產(chǎn)物丙酮酸和乳酸分解受阻而在組織內(nèi)大量蓄積，加上能量供應不足，對腦和中樞神經(jīng)系統(tǒng)產(chǎn)生毒害作用，嚴重時引起皮質壞死而呈現(xiàn)痙攣、抽搐、麻痹等神經(jīng)癥狀。糖代謝障礙進而影響脂類代謝，維生素B1缺乏時脂質合成減少，髓鞘完整性被破壞，導致中樞神經(jīng)和外圍神經(jīng)系統(tǒng)損害，引起多發(fā)性神經(jīng)炎。

將式(4)展開，可得N組測量方程的線性形式:

第i組殘差表達如下:

其中:

式(6)即為線性化量測方程。

1.2 參數(shù)估計

因為式(6)中H帶有噪聲，所以采用總體最小二乘法［9］對進行估計。將式(9)～式(11)聯(lián)立可得:

定義性能指標:

將HTH進行奇異值(SVD)分解，取為H的最小奇異值對應的奇異向量時，即取時，f(ξ)最小，由式(13)可求出。根據(jù)式(12)可知:

1.3 解正交Procrustes分析提高校正精度

Procrustes問題就是求解下式的解的問題:

若矩陣R滿足RTR=I的約束，式(17)就成了正交Procrustes問題［10］。易知，本文的應用屬于均衡正交Procrustes問題。

因為地磁場模值與傳感器姿態(tài)無關，所以前面的校正過程未涉及安裝角度偏差，且暫避了RG的影響，現(xiàn)通過解均衡正交Procrustes分析來校正安裝角度誤差［11］，提高校正精度。令:

根據(jù)正交 Procrustes問題的解為［12］R=UQ，其中Q=ATB，且Q的奇異值分解為Q=UQΣQ。最終經(jīng)修正后的傳感器校正映射為:

2 校正性能仿真分析

軟鐵誤差:

標度因子誤差:

安裝角度誤差:

噪聲為零均值的高斯噪聲，仿真時為驗證校正算法的魯棒性，選擇兩種噪聲水平進行仿真，分別取:σ1=0.001Gauss，σ2=0.01Gauss。

測量點設置為北緯 32°02'，東經(jīng) 118°48'，海拔30 m。由IGRF模型知地磁矢量在地磁坐標系下為=［0.32944 0.03020 0.36946］Gauss。真值如圖1所示，測量值如圖2所示，傳感器在兩種噪聲水平下工作，仿真結果如下。

圖1 由IGRF模型獲得的當?shù)氐卮艌?/p>

圖2 由預設誤差所構造的測量值，為橢球噪聲水平為0.001下的初步校正結果

由圖3可知，初步校正與真值之間存在旋轉關系，通過解正交Procrustes問題之后獲得的仿真結果如圖4。

圖3 通過橢球約束法獲得的初步校正結果

圖4 噪聲水平為0.001Gauss時的最終校正結果

從圖4可以看出，校正算法在噪聲水平為0.001Gauss時能獲得很好的校正效果。將噪聲水平提高到0.01Gauss時，最終的校正效果如圖5所示，可以看出，噪聲水平變大時，球體邊緣毛刺較粗，可以通過后期進一步處理來解決，就校正結果而言，較好的實現(xiàn)了測量系統(tǒng)的校正。

圖5 噪聲水平為0.01Gauss時的最終校正結果

3 結束語

磁矢量傳感器相對于標量磁傳感器有許多優(yōu)勢，但是誤差源也較多。本文所介紹的校正算法是結合了橢球約束法和正交Procrustes分析的磁矢量傳感器校正算法，從仿真結果可以看出，該算法可以很好的對傳感器進行校正，由于使用了總體最小二乘法，整個算法具有一定的魯棒性。由于算法易于實現(xiàn)，為后期用于航空平臺磁矢量傳感器的校正提供較好的理論基礎。

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