張慧鋒 關(guān)立文 李金峰

（清華大學精密儀器與機械學系，北京 100084）

1 問題的提出

在機床中，固定結(jié)合面主要是指用螺栓連接的結(jié)合面，比如床身與立柱的連接，立柱與導軌的連接。研究表明，機床固定結(jié)合面剛度的數(shù)量級與材料本身的剛度相差1～2個數(shù)量級，所以固定結(jié)合面是機床剛度的一個薄弱環(huán)節(jié);和機械零件本身的阻尼相比，結(jié)合面接觸阻尼占有絕對優(yōu)勢，固定結(jié)合面接觸阻尼是一個重要來源;結(jié)合面的非線性是機床結(jié)構(gòu)非線性的主要來源，固定結(jié)合面的特性都呈非線性［1］。研究固定結(jié)合面對機床乃至各類機械都具有重要意義。

結(jié)合面的研究首先是從結(jié)合面的靜態(tài)特性開始的，機床剛度是機床性能的重要指標，所以結(jié)合面的剛度是結(jié)合面靜態(tài)特性的主要研究內(nèi)容。結(jié)合面在受到載荷時發(fā)生變形，在這方面，很多學者都進行了研究，如 Levina［2－3］、Ostrovskii［4］、Dolbey 和 Bell［5］先后對相對較小的金屬結(jié)合面進行了實驗研究，結(jié)果表明，結(jié)合面的變形是結(jié)合面上法向壓力的函數(shù)，具有非線性，且這種函數(shù)關(guān)系基本符合指數(shù)函數(shù)關(guān)系（如圖1所示），并認為這種結(jié)合面變形是結(jié)合面上粗糙微凸峰的變形。

Thornley［6－7］提出的載荷 p 與結(jié)合面變形 d 的模型如下:

Levina［2－3］提出了一種相似的模型:

如果 C1、C2、C3、C4值選取合適的話，式（1）和式（2）表示的關(guān)系是類似的。此后有學者［8］應(yīng)用式（2）中所示的關(guān)系，用指數(shù)關(guān)系模型擬合實驗結(jié)果，能夠滿足工程需要。

以上兩種對結(jié)合面變形與法向載荷的關(guān)系是在面壓較小的情況下提出的，當結(jié)合面面壓較大時，結(jié)合面變形與載荷曲線的曲率將變得很小，接近直線，如圖1中的AB段。這樣的擬合方法簡單易行，操作方便，可以對實驗結(jié)果進行較好的處理，為工程分析提供數(shù)據(jù)。

Thornley通過實驗研究發(fā)現(xiàn)，在加載過程中，結(jié)合面法向變形包括彈性變形和塑性變形，卸載過程中只有彈性變形。而在卸載過程中，載荷較大時卸載曲線幾乎呈直線，且剛度可以達到相同截面固體試件（無結(jié)合面的試件）的 90%［7］。因此可以認為，在載荷較大時結(jié)合面法向變形曲線是近似的直線。

表1 一組試件（鋼－鋼，銑－銑，50 mm×50 mm，粗糙度3.2 μm，無介質(zhì)）實驗數(shù)據(jù)

本文通過實驗發(fā)現(xiàn)，如果只用指數(shù)模型擬合的話將出現(xiàn)較大誤差。所以本文以實驗為基礎(chǔ)，在用指數(shù)曲線擬合數(shù)據(jù)結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出分段擬合的方法，以使擬合誤差減小，為工程分析提供更高精度的數(shù)據(jù)。

2 固定結(jié)合面靜態(tài)特性實驗

組成結(jié)合面的兩個試件如圖2編號1和編號2所示，其中編號1是上試件，編號2是下試件。實驗試件分為兩組:第一組，材料為45鋼，結(jié)合面粗糙度都是Ra3.2 μm，結(jié)合面名義接觸面積分別有40 mm×40 mm，50 mm×50 mm，60 mm×60 mm，80 mm×80 mm，100 mm×100 mm;第二組，材料為鑄鐵，加工方法為銑削，結(jié)合面的名義接觸面積都是40 mm×40 mm，結(jié)合面粗糙度分別為 Ra1.6 μm，3.2 μm，4.8 μm，6.4 μm，9.6 μm，12.5 μm。以上分組的目的是研究載荷、材料、粗糙度和面積對結(jié)合面法向剛度的影響規(guī)律。

試件的加工是在同一臺銑床上進行，不同的粗糙度要求可以通過調(diào)整走刀量和切削速度來實現(xiàn)。由加工過程可知，試件面積越小，加工產(chǎn)生的平面度誤差越小。當端面銑的刀盤直徑一定時，如果試件的尺寸超過刀盤直徑時，一個面需要走兩刀或更多刀才能完成，這時的平面度誤差比走一刀完成的大。結(jié)合面變形用至少兩個傳器測量，取平均值，以保證變形的準確。由于加載和卸載過程變形不重合，在加載過程中載荷應(yīng)該保持單調(diào)，這樣才能保證數(shù)據(jù)的可靠性。實驗中采用龍門式加載，實驗臺如圖2所示，圖3為實驗現(xiàn)場圖。

3 實驗結(jié)果及數(shù)據(jù)處理

實驗結(jié)果主要以圖和表的形式給出，如表1為第一組，尺寸為50 mm×50 mm的結(jié)合面法向位移和載荷的關(guān)系，對應(yīng)的變形－載荷關(guān)系如圖4所示。其他數(shù)據(jù)不再詳細列出。

根據(jù)式（2）中結(jié)合面變形d與載荷p的關(guān)系:

所以結(jié)合面剛度k為

兩邊取對數(shù)，可以轉(zhuǎn)化成線性關(guān)系

進行線性最小二乘擬合可以得到參數(shù)a和b，繼而得到c和m。按照上述步驟對圖4所示曲線進行擬合可得:法向變形 d=0.013 4p0.4508，法向剛度 kn=165.5p0.5492，擬合結(jié)果如圖5a所示。其他數(shù)據(jù)部分擬合結(jié)果如圖5b、c、d所示，剩余數(shù)據(jù)不再一一列出。

從上述實驗數(shù)據(jù)和擬合結(jié)果可以看出，結(jié)合面法向變形隨載荷變形基本符合指數(shù)曲線。在結(jié)合面面壓較小時，結(jié)合面剛度非線性較強;結(jié)合面面壓較大時，剛度的線性變得越來越強。這是由于在結(jié)合面面壓較小時，實際接觸的粗糙凸峰較少，單個凸峰所承受的壓力較大，發(fā)生塑性變形;當載荷較大時實際接觸的粗糙凸峰的數(shù)目增多，且已經(jīng)發(fā)生塑性變形的粗糙凸峰的接觸面積增大，使剛度增加。

4 分段模型

結(jié)合面變形與載荷的關(guān)系在理論上還沒有形成明確的結(jié)論，學者們公認的關(guān)系是非線性的關(guān)系，在實際的處理過程中，大都處理成指數(shù)關(guān)系，通過實驗驗證，比較符合。

如實驗結(jié)果（圖5）所示，可以看出:在載荷較小時，變形曲線的曲率較大，用指數(shù)曲線的擬合也較好;在載荷較大時，變形曲線的曲率較小，這時與指數(shù)曲線的假設(shè)結(jié)果也出現(xiàn)明顯的偏離。所以，綜合實驗結(jié)果與理論研究的結(jié)果，本文提出一種處理結(jié)合面變形與載荷的新的方法，即分段擬合的方法:在載較小時用系數(shù)曲線去擬合，載荷較大時，用直線去擬合，以使擬合誤差減小。

分段擬合的擬合函數(shù)為

其中p1是分段擬合時的間斷點。對表1所示數(shù)據(jù)進行擬合，擬合結(jié)果用公式表示為

擬合結(jié)果圖形如圖6a左圖所示。從圖中可以看出，雖然擬合誤差有所減小，但在兩段曲線的連接點處，擬合曲線與實驗點仍存在較大的誤差。為此可以采用三段擬合，即在指數(shù)與直線中間加入過渡段，過渡段的擬合函數(shù)是指數(shù)曲線與直線的和，如下式

其中p1、p2分別是分段擬合時的間斷點。對表1所示數(shù)據(jù)進行擬合，擬合結(jié)果為

擬合結(jié)果圖形如圖6a右圖所示。其他數(shù)據(jù)部分擬合結(jié)果如圖6b、c、d所示，剩余數(shù)據(jù)不再一一列出。

表2 指數(shù)擬合的擬合誤差

表3 分段擬合（兩段）的擬合誤差

表4 分段擬合（三段）的擬合誤差

對3種擬合模型的擬合誤差對比如表5所示。通過表5可以看出，采用分段擬合方法后，擬合誤差有顯著減小。

表5 兩種擬合方法誤差（）比較

表5 兩種擬合方法誤差（）比較

a b c d指數(shù)擬合/μm 0.50 0.52 0.41 0.69兩段擬合/μm 0.21 0.34 0.35 0.30三段擬合/μm 0.19 0.25 0.26 0.20誤差減小1（%） 57.0 34.6 15.4 56.9誤差減小2（%） 61.3 52.3 37.7 71.0

5 結(jié)語

（1）分析了以往學者們對載荷－變形曲線擬合時所用的模型，指出了其優(yōu)點;同時通過實驗發(fā)現(xiàn)，這種模型與實驗結(jié)果存在一定的誤差。

（2）由結(jié)合面靜態(tài)特性影響因素設(shè)計出結(jié)合面靜態(tài)特性實驗臺，加工出了多組結(jié)合面試件，并進行了實驗，得出可以被工程分析所利用的實驗結(jié)果。

（3）研究了結(jié)合面法向變形隨法向載荷的變化規(guī)律，用學者們使用較多的指數(shù)曲線進行了擬合，取得了較好的擬合效果。

（4）通過理論和實驗分析，提出了一種新的擬合方法，即分段擬合的方法。與原來的指數(shù)擬合相對，減小了誤差，能夠為工程應(yīng)用提供更高精度的剛度和變形數(shù)據(jù)。

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