李志榮 封志明②

（①西華大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，四川成都610039;②四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川成都 610065）

數(shù)控機(jī)床的加工精度是數(shù)控機(jī)床性能的主要標(biāo)志之一。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度來(lái)講，機(jī)床的加工精度最終是由機(jī)床上刀具與工件間的相對(duì)位移決定的，刀具與工件間的綜合誤差（位置及方向誤差）會(huì)影響刀具與工件間的相對(duì)位移。要提高機(jī)床的加工精度必須對(duì)機(jī)床的誤差進(jìn)行補(bǔ)償［1］。誤差補(bǔ)償技術(shù)的實(shí)施可分為3個(gè)步驟［2］:誤差測(cè)量、誤差建模及誤差補(bǔ)償，而誤差補(bǔ)償系統(tǒng)的性能主要依賴于所建立的誤差模型，因此誤差模型成為誤差補(bǔ)償系統(tǒng)的關(guān)鍵因素。國(guó)內(nèi)外研究人員在機(jī)床誤差建模方面做了大量研究［3－4］，主要有三角幾何法、誤差矩陣法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、矢量描述法、剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)法和多體系統(tǒng)理論法等。其中多體系統(tǒng)理論對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)有較強(qiáng)的概括能力和特有的系統(tǒng)描述方式，可全面考慮影響系統(tǒng)的各項(xiàng)因素及相互耦合關(guān)系，因而其廣泛應(yīng)用于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)誤差建模［5－6］。如文獻(xiàn)［7］基于多體系統(tǒng)理論，建立了加工中心熱誤差模型，并提出其誤差補(bǔ)償方法，實(shí)踐結(jié)果表示利用所建立的熱誤差模型進(jìn)行誤差補(bǔ)償?shù)男Ч@著。文獻(xiàn)［8］采用改進(jìn)的多體系統(tǒng)建模理論對(duì)激光拼焊生產(chǎn)線運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行研究，結(jié)果表明所建立的模型能有效預(yù)測(cè)激光拼焊線的運(yùn)動(dòng)誤差。

本文通過(guò)分析機(jī)床誤差來(lái)源及各運(yùn)動(dòng)副的誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，利用齊次坐標(biāo)變換方法對(duì)一臺(tái)三軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行綜合誤差建模。

1 機(jī)床誤差源分析

在機(jī)床加工過(guò)程中，各種誤差源作用在工件的成形過(guò)程中，使加工進(jìn)程偏離給定進(jìn)程，造成成品加工誤差。誤差按其來(lái)源來(lái)分可分為內(nèi)部誤差和外部誤差兩種。其中內(nèi)部誤差源主要包括加工原理誤差、幾何誤差、熱誤差、切削力誤差、摩擦力、振動(dòng)等。大量研究統(tǒng)計(jì)（如表1所示）表明幾何誤差和熱誤差占總誤差的主要部分，對(duì)這兩項(xiàng)誤差的補(bǔ)償研究已經(jīng)取得了成效，而切削力誤差對(duì)機(jī)床精度的影響作用也日益顯著［8］。因此本文將幾何誤差、熱誤差和切削力誤差綜合考慮來(lái)建立機(jī)床的綜合誤差模型。

表1 機(jī)床各誤差源比例分配［6］

2 機(jī)床誤差元素分析

2.1 幾何誤差

對(duì)于一臺(tái)三軸數(shù)控機(jī)床來(lái)說(shuō)，其運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)包括X、Y、Z三個(gè)移動(dòng)坐標(biāo)軸。在理想情況下，與機(jī)床每個(gè)運(yùn)動(dòng)副相關(guān)的自由度應(yīng)該只有一個(gè):其中移動(dòng)副為一個(gè)平移自由度，轉(zhuǎn)動(dòng)副為一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，但是在機(jī)床實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，由于機(jī)床制造和裝配上的誤差，每個(gè)運(yùn)動(dòng)副往往存在6個(gè)自由度，即3個(gè)平移誤差，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。以X軸為例，沿X軸平動(dòng)的6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差如圖1所示。

因此，3個(gè)移動(dòng)副共有18項(xiàng)幾何誤差，加上3個(gè)軸與軸之間的3項(xiàng)垂直度誤差及主軸誤差，共26項(xiàng)幾何誤差。其中X軸移動(dòng)時(shí)有線性誤差 εxx、εyx、εzx三項(xiàng)，轉(zhuǎn)角誤差 δxx、δyx、δzx三項(xiàng);Y軸移動(dòng)時(shí)有線性誤差εxy、εyy、εzy三項(xiàng)，轉(zhuǎn)角誤差 δxy、δyy、δzy三項(xiàng);Z軸移動(dòng)時(shí)有線性誤差 εxz、εyz、εzz三項(xiàng)，轉(zhuǎn)角誤差 δxz、δyz、δzz三項(xiàng);主軸共5項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差:3個(gè)方向的移動(dòng)誤差εxs、εys、εzs，2 個(gè)轉(zhuǎn)角誤差 δxs（θ）、δys（θ）。

2.2 熱誤差

機(jī)床熱變形是導(dǎo)致熱誤差的直接原因，機(jī)床各部分在內(nèi)部熱源（如電動(dòng)機(jī)、軸承摩擦、導(dǎo)軌摩擦等）和外部熱源（如室溫、輻射、對(duì)流等）的作用下，產(chǎn)生熱量并傳給機(jī)床各部位產(chǎn)生溫差并使各零部件產(chǎn)生熱變形。對(duì)于三軸數(shù)控機(jī)床來(lái)說(shuō)，各運(yùn)動(dòng)軸及主軸的熱誤差共14項(xiàng)，分別為:X軸原點(diǎn)在3個(gè)方向的熱漂移誤差εxx（t）、εyx（t）、εzx（t）;Y軸原點(diǎn)在3個(gè)方向的熱漂移誤差εxy（t）、εyy（t）、εzy（t）;Z軸原點(diǎn)在3個(gè)方向的熱漂移誤差εxz（t）、εyz（t）、εzz（t）;主軸原點(diǎn)在3個(gè)方向的熱漂移誤差 εxs（t）、εys（t）、εzs（t），2 個(gè)方向的轉(zhuǎn)角誤差 δxs（t）、δys（t）。

2.3 切削力誤差

切削力誤差是指數(shù)控機(jī)床加工時(shí)產(chǎn)生的切削力導(dǎo)致刀具、工件、機(jī)床部件等變形，從而使實(shí)際切削位置與理論切削位置發(fā)生偏移而產(chǎn)生的誤差［8］。對(duì)于三軸數(shù)控機(jī)床來(lái)說(shuō)，各運(yùn)動(dòng)軸及主軸的切削力誤差共23項(xiàng)分別為:X軸在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的切削力誤差εxx（f）、εyx（f）、εzx（f），轉(zhuǎn)角誤差 δxx（f）、δyx（f）、δzx（f）;Y軸在3個(gè)坐標(biāo)軸方向的切削力誤差 εxy（f）、εyy（f）、εzy（f），轉(zhuǎn)角誤差 δxy（f）、δyy（f）、δzy（f）;Z軸在3 個(gè)坐標(biāo)軸方向的切削力誤差 εxz（f）、εyz（f）、εzz（f），轉(zhuǎn)角誤差 δxz（f）、δyz（f）、δzz（f）;主軸共 5 項(xiàng)切削力誤差:3 個(gè)方向的移動(dòng)誤差 εxs（f）、εys（f）、εzs（f），2 個(gè)轉(zhuǎn)角誤差 δxs（f）、δys（f）。

3 誤差建模

基于多體系統(tǒng)理論的誤差建模方法是用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將研究對(duì)象進(jìn)行抽象，用低序體陣列描述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中各體之間的關(guān)聯(lián)性。

3.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及低序體陣列

描述多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法有兩種，一種是基于圖論的描述方法，另一種是運(yùn)用低序體陣列進(jìn)行描述。用低序體陣列描述多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)顯得更簡(jiǎn)潔方便，它是一種適用于計(jì)算機(jī)自動(dòng)描述多體系統(tǒng)的方法。因此本文選擇用低序體陣列對(duì)三軸數(shù)控機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。三軸數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示，低序體陣列如表2所示，自由度碼如表3所示。

表2 三軸機(jī)床的低序體陣列

表3 三軸機(jī)床的自由度

3.2 運(yùn)動(dòng)特征矩陣

（1）相鄰體0和相鄰體1之間運(yùn)動(dòng)特征矩陣

相鄰體0和1之間的理想靜止、理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣為

體間實(shí)際靜止、運(yùn)動(dòng)誤差特征矩陣為

（2）相鄰體1和相鄰體2之間運(yùn)動(dòng)特征矩陣

相鄰體1和2之間的理想靜止、理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣為

體間實(shí)際靜止、運(yùn)動(dòng)誤差特征矩陣為

（3）相鄰體0和相鄰體3之間運(yùn)動(dòng)特征矩陣

相鄰體0和3之間的理想靜止、理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣為

體間實(shí)際靜止、運(yùn)動(dòng)誤差特征矩陣為

（4）相鄰體3和相鄰體4之間運(yùn)動(dòng)特征矩陣

相鄰體3和4之間的理想靜止、理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣為

體間實(shí)際靜止、運(yùn)動(dòng)誤差特征矩陣為

（5）相鄰體4和相鄰體5之間運(yùn)動(dòng)特征矩陣

相鄰體4和5之間的理想靜止、理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣為

體間實(shí)際靜止、運(yùn)動(dòng)誤差特征矩陣為

（6）相鄰體5和相鄰體6之間運(yùn)動(dòng)特征矩陣

相鄰體5和6之間的理想靜止、理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣為

體間實(shí)際靜止、運(yùn)動(dòng)誤差特征矩陣為

3.3 綜合誤差建模

（1）理想成形函數(shù)

設(shè)刀具成形點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)的坐標(biāo)為

刀具成形點(diǎn)在工件坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)的理想成形函數(shù)為

（2）實(shí)際成形函數(shù)

刀具成形點(diǎn)在工件坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)的實(shí)際成形函數(shù)為

（3）空間誤差模型

在實(shí)際成形運(yùn)動(dòng)中，刀具成形點(diǎn)的實(shí)際位置不可避免地會(huì)偏離理想位置，產(chǎn)生空間位置誤差EP和刀具狀態(tài)偏差刀具成形點(diǎn)的綜合空間誤差即為

刀具成形點(diǎn)的空間位置誤差為

刀具姿態(tài)誤差為

4 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)特征及多體系統(tǒng)理論分析的特點(diǎn)，利用特征矩陣表示多體系統(tǒng)中間體的相對(duì)位置和姿態(tài)，給出了機(jī)床綜合誤差的建模過(guò)程，并得到了包含幾何誤差、熱誤差、切削力誤差在內(nèi)的綜合誤差數(shù)學(xué)模型。該建模方法為其他類型機(jī)床的誤差建模提供參考，并為進(jìn)一步的機(jī)床誤差辨識(shí)及數(shù)控補(bǔ)償打下了基礎(chǔ)。

［1］楊建國(guó).數(shù)控機(jī)床誤差綜合補(bǔ)償技術(shù)及應(yīng)用［D］.上海:上海交通大學(xué)，1998.

［2］Hsu Y Y，Wang S S.A new compensation method for geometry errors of five－axis machine tools［J］.International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2007，47:352－360.

［3］Srivastava A K，Veldhuis S C.Modelling geometric and thermal errors in a five－axis CNC machine tool［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，1995，35（9）:1321－1337.

［4］Yang S H，Kim K H，Park Y K.Error analysis and compensation for the volumetric errors of a vertical machining centre using a hemispherical helix ball bar test［J］.Int J Adv Manuf Technol.2004，23（2）:495－500.

［5］李曉麗.面向多體系統(tǒng)的五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)建模及幾何誤差分析研究［D］.成都:西南交通大學(xué)，2008.

［6］李圣怡，戴一帆，尹自強(qiáng)，等.精密和超精密機(jī)床精度建模技術(shù)［M］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社，2007.

［7］劉又午，章青，趙小松，等.基于多體理論模型的加工中心熱誤差補(bǔ)償技術(shù)［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38（1）:127－130.

［8］辛立明，徐志剛，趙明揚(yáng)，等.基于改進(jìn)的多體系統(tǒng)誤差建模理論的激光拼焊生產(chǎn)線運(yùn)動(dòng)誤差模型［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（2）:61－68.

［9］吳昊，楊建國(guó)，張宏韜，等.三軸數(shù)據(jù)銑床切削力引起的誤差綜合運(yùn)動(dòng)學(xué)建模［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2008，19（16）:1908－1911.