賈必偉，仇秋生

兩類映射的近似耦合不動(dòng)點(diǎn)定理

*賈必偉，仇秋生

(浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江，金華 321004)

在度量空間中，討論了近似耦合不動(dòng)點(diǎn)存在性問題。首先研究了廣義非擴(kuò)張型映象的近似耦合不動(dòng)點(diǎn)。作為應(yīng)用，獲得了賦范空間中有界集上的非擴(kuò)張映象的近似耦合不動(dòng)點(diǎn)。其次在半序度量空間中討論了非連續(xù)混合單調(diào)算子的近似耦合不動(dòng)點(diǎn)存在定理。

近似耦合不動(dòng)點(diǎn)；非擴(kuò)張映象；混合單調(diào)算子

非擴(kuò)張映象是Banach壓縮映象的一種自然的推廣，這種映象在近代許多數(shù)學(xué)分支，其中特別是在非線性半群，遍歷理論和單調(diào)算子理論有許多重要的應(yīng)用。關(guān)于非擴(kuò)張映象不動(dòng)點(diǎn)理論Marr[1]得出著名的Kaku tani-Markov不動(dòng)點(diǎn)定理的一些推廣；Lim[2]證明了在一致凸Banach空間集值非擴(kuò)張映象不動(dòng)點(diǎn)的存在性；Kirk和Massa[3]將Lim’s的結(jié)果推廣到Banach空間，其中要求Banach空間的有界閉凸子集的一個(gè)有界序列的漸進(jìn)中心是非空緊的；Lan和Zhang[4]研究了定義在Banach空間(或廣義局部凸空間) 弱緊凸子集上的半群非擴(kuò)張映象的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。眾所周知，單調(diào)迭代技術(shù)在處理許多非線性問題時(shí)起著至關(guān)重要的作用。這類技術(shù)與混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)有密切的聯(lián)系。半序Banach空間中單值混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理已有廣泛研究[5-7]；最近，集值混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理被許多作者關(guān)注[8-9]；其中文獻(xiàn)[8]，在半序Banach空間討論了集值混合單調(diào)算子的耦合不動(dòng)點(diǎn)的存在和逼近問題，其中算子要求滿足稠密條件且上半連續(xù)；Laksh和Ciric[10]在完備半序度量空間證明了連續(xù)混合單調(diào)非線性壓縮映象的耦合不動(dòng)點(diǎn)定理；而后Karapinar[11]將其推廣到完備錐度量空間，其中錐為正則錐。

1 預(yù)備知識(shí)

則稱具有近似耦合不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

則具有近似耦合不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

即

2 非擴(kuò)張映射的近似耦合不動(dòng)點(diǎn)定理

一般的，有

則具有近似耦合不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

由 (2) ，有

于是滿足條件(1)。

使得

則

同理有

則具有近似耦合不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

注2.1：非擴(kuò)張映象不一定有不動(dòng)點(diǎn)，但當(dāng)為有界集時(shí)，非擴(kuò)張映象

有近似耦合不動(dòng)點(diǎn)。

下面定理及推論證明了Kannan型非擴(kuò)張映象在為有界集的情況下，存在近似耦合不動(dòng)點(diǎn)。

則

類似于定理2.2 的證明，由定理2.3 可得下列推論。

,

又

所有患者每6個(gè)月進(jìn)行1次電話隨訪，末次隨訪日期為2018-02-28。隨訪時(shí)間 5～50個(gè)月，中位隨訪時(shí)間32.1個(gè)月,期間有36例患者復(fù)發(fā)，13例患者死亡。復(fù)發(fā)轉(zhuǎn)移要求有病理診斷或者典型的影像學(xué)及臨床表現(xiàn)，復(fù)發(fā)和生存時(shí)間按月記錄，以手術(shù)日至患者復(fù)發(fā)、死亡或最后一次就診(隨訪)時(shí)間為復(fù)發(fā)或生存期限。失訪，非腫瘤死亡及截止點(diǎn)生存病例按統(tǒng)計(jì)分析要求列為截尾數(shù)據(jù)處理。

故

。 類似定理2.3 證明，有 由引理1.1 得，，。 推論2.2 設(shè)E為一賦范空間，為有界集，映射滿足非擴(kuò)張條件： ， 則具有近似耦合不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。 3 混合單調(diào)算子的近似耦合不動(dòng)點(diǎn) 定義3.1[11] 設(shè)為一個(gè)半序集，映射，，稱具有混合單調(diào)性質(zhì)，若， 。 定義3.2 (X,d)為度量空間，映射 ， ， ，若 稱F關(guān)于g具有近似耦合不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。 定義3.3 [11] ，映射，，稱映射F與g為互換的，如果 BY-4型納米陶瓷基高溫防氧化涂層材料對(duì)鋁電解用碳素陽極的抗氧化應(yīng)用 李順華，王博一，楊國榮，等 4 73 表現(xiàn)器樂本身就是一種對(duì)美的探索與表現(xiàn)的過程。學(xué)習(xí)樂器技能時(shí)，教師應(yīng)不拘一格、靈活多樣的指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，避免單調(diào)乏味的純技術(shù)訓(xùn)練，通過多樣教學(xué)將器樂技巧融于課堂教學(xué)中，提升教學(xué)實(shí)效。 , 。 定理3.1 (1)設(shè)，為一個(gè)半序集，(X,d)為度量空間；(2) ，滿足，且；(3)F:X×X→X，，F(xiàn)具有混合g-單調(diào)性質(zhì)，滿足下列條件： (i)對(duì)所有滿足，的，有 ； (ii)，F(xiàn)與g互換； (iii) 存在，使 ， ，則 ， 。 證明 由條件 (iii) ，存在，使，。 又由于，構(gòu)造序列，滿足，。 下證序列，為單調(diào)序列。利用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，由， 及 ， 得 ， 。 假設(shè)， 成立，由F具有混合單調(diào)性質(zhì)有 2018年三季度，在二、四季度“618”、國慶、雙十一等促銷節(jié)點(diǎn)的前后擠壓下，部分消費(fèi)需求被分流，疊加宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境變化和房地產(chǎn)市場調(diào)控的影響，家電市場整體表現(xiàn)不盡人意。然而分品類來看，依然有一些亮點(diǎn)呈現(xiàn)，比如生活電器的高速增長，冰洗市場的結(jié)構(gòu)升級(jí)成效正在凸顯。 故對(duì)所有 ， ， 成立。令 由于 則 同理。 11月16日凌晨，巴陵石化煤化工部儀表車間合成班值班員蔣正流接到合成車間工藝四班人員報(bào)告后，立即趕往合成總控制室。“我們?cè)儐柫烁鬟\(yùn)行部，都沒有同類型的冗余通訊卡備件。詢問備件廠家，他們答復(fù)從北京郵寄，最快也要兩天?！眱x表車間主任姜文偉說。 從而有。 又當(dāng)時(shí)，，則 則為單調(diào)遞減序列，那么存在，有。 有關(guān)傳承人的界定，各國的確定標(biāo)準(zhǔn)和程序大有不同，非物質(zhì)文化遺產(chǎn)法就對(duì)我國代表性傳承人的認(rèn)定標(biāo)準(zhǔn)作出了清晰的規(guī)范和界定。目前的認(rèn)定標(biāo)準(zhǔn)是：首先繼承者應(yīng)當(dāng)精通并能駕馭其繼承的屬于非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的技藝技能；其次他們還應(yīng)當(dāng)在某些特別的地域中擁有較大的知名度和感染力并且具有象征性；最后還應(yīng)當(dāng)踴躍地發(fā)展和傳播與承繼相關(guān)的活動(dòng)和事業(yè)。而關(guān)于認(rèn)定程序，要嚴(yán)格根據(jù)相關(guān)法律法規(guī)對(duì)國家級(jí)象征性項(xiàng)目的規(guī)定認(rèn)真審批，并向社會(huì)公布通過認(rèn)定的具有代表性的傳承人的名單。 假設(shè)，考慮到，，則由 兩邊取極限 有 結(jié)合描述性統(tǒng)計(jì)分析，532家樣本企業(yè)中成功獲取銀行貸款的為480家，貸款利率平均上浮71.4%，抵押貸款筆數(shù)占比為68.1%。樣本企業(yè)中22.1%的小微企業(yè)選擇向五大商業(yè)銀行申請(qǐng)貸款，77.9%的企業(yè)選擇向股份制商業(yè)銀行、城市商業(yè)銀行等申請(qǐng)貸款。從負(fù)債率來看，小微企業(yè)的整體負(fù)債水平較低，均值為38.65%，平均年銷售收入為3 280萬元。關(guān)系深度(rela_de)均值為0.751，表明大多數(shù)小微企業(yè)傾向于選擇其主要關(guān)系銀行作為貸款申請(qǐng)對(duì)象；平均關(guān)系年限僅為2.79年，這與大多數(shù)小微企業(yè)為初創(chuàng)型、成立年限較短有關(guān)。 矛盾。 從而有，即 則，，，有。 即 ， 。 同理 ， 。 令， 則有 同理。 從而，。 注3.1：令 ，，得到推論3.1。 推論3.1 設(shè)，為一個(gè)半序集，(X,d)為度量空間，映射，，F(xiàn)具有混合g-單調(diào)性質(zhì)，滿足： (i)對(duì)所有滿足，的，存在，使 ； (ii) ，F(xiàn)與g互換； (iii) 存在，使 ， ，則 ， 。 注3.2：當(dāng)，立即得到下述推論。 推論3.2 設(shè)為一個(gè)半序集，(X,d)為度量空間，映射為混合單調(diào)算子，滿足： (i) 對(duì)所有滿足, 的，存在，使 ； (ii) 存在，使， ，則 ， 。 參考文獻(xiàn)： [1] DeMarr R. 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Secondly, the existence theorems of the discontinuous mixed monotone operators in the partially ordered metric spaces are discussed. Key words: approximate couple fixed point; non-expansive mapping; mixed monotone operator 中圖分類號(hào)：O177.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2012.06.002 文章編號(hào)：1674-8085(2012)06-0006-06 收稿日期：2012-06-23； 修改日期：2012-09-18 基金項(xiàng)目：浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Ly12A01005) 作者簡介：*賈必偉(1987-)，女，江蘇淮安人，碩士生，主要從事最優(yōu)化理論研究(E-mail: xiaxuejiabiwei@163.com); 仇秋生(1962-)，男，江西上高人，教授，博士，主要從事非線性泛函分析與向量優(yōu)化理論研究(E-mail: qsqiu@zjnu.cn).