劉文健，丁春曉，桑 波

首次積分法及其在非線性發(fā)展方程中的應(yīng)用

*劉文健，丁春曉，桑 波

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059）

通過結(jié)合李群理論和微分系統(tǒng)的首次積分，提出了一種擴(kuò)展的首次積分法。利用此方法并借助符號(hào)計(jì)算Maple和吳氏消元法得到了變系數(shù)ANNV方程的一些新的精確解。

首次積分法；變系數(shù)ANNV方程；延拓；對(duì)稱；精確解；吳氏消元法

求非線性偏微分方程的精確解是孤立子理論中的重要內(nèi)容之一。對(duì)于不同類型的方程有不同的求解方法，如：F-展開法，tanh函數(shù)法，三角函數(shù)法，指數(shù)函數(shù)法，李群方法，齊次平衡法[1-7]等。在2002年，馮兆生提出了用首次積分方法[8-9]求解非線性偏微分方程的精確解。它的獨(dú)特之處在于應(yīng)用了可交換代數(shù)理論。首次積分方法是對(duì)非線性偏微分方程進(jìn)行行波變換，化成常微分方程。用可交換代數(shù)理論可求出一階常微分方程組的首次積分。在本文中利用李群求解非線性偏微分方程的基本思想，通過構(gòu)造群不變量作為函數(shù)變換的基礎(chǔ)，將偏微分方程化為常微分方程。由李群導(dǎo)出的變換為非行波變換，再結(jié)合常微分系統(tǒng)的首次積分的定義來(lái)求解非線性偏微分方程的精確解。并利用此方法得到了變系數(shù)ANNV方程一些新的精確解。本文與文獻(xiàn)[10]的最大區(qū)別在于在首次積分方法中引進(jìn)了李群理論和研究了不同的方程。下面定義微分方程的首次積分。

1 首次積分法

下面是新的首次積分法的主要步驟。

給定非線性偏微分方程

首先運(yùn)用李群方法構(gòu)造不變量作為非行波變換，將其約化為常微分方程

2 ANNV方程的精確解

對(duì)于(2+1)維變系數(shù)ANNV系統(tǒng)[12-15]

設(shè)單參數(shù)群的生成元為

因此(9)式的四階延拓為

其中

將(11)式和(8)式代入方程(12)中，解這個(gè)方程可得生成元為

由(13)式可得相應(yīng)的特征方程為

其約化方程為

其對(duì)應(yīng)的約化方程為

其對(duì)應(yīng)的約化方程為

為了得到常微分方程，對(duì)上述三種情況進(jìn)行再次約化，用對(duì)稱的方法得到不變量和約化方程。

對(duì)于情況1非線性發(fā)展方程(15)的對(duì)稱可設(shè)為

其對(duì)應(yīng)的特征方程為

約化方程為

相似的，對(duì)于非線性發(fā)展方程(16)和(17)的特征方程分別為

約化方程為

約化方程為

下面用首次積分的方法來(lái)解常微分方程(20)，(23)和(24)。

假設(shè)系統(tǒng)(27)的多項(xiàng)式首次積分為

去解此方程組可得

其中在(28)式中，其它系數(shù)為零，且

將(29)帶入到(28)式，可得系統(tǒng)(27)的首次積分為

其中

其中

其中

相似的，用上述同樣的方法來(lái)解方程（23）和(24)，可得原方程(8)的解分別為

其中

其中

其中

其中

其中

其中

3 結(jié)論

本文結(jié)合首次積分方法的思想，通過李群理論和微分系統(tǒng)的首次積分，提出了一種新的首次積分法。用李群中的延拓和對(duì)稱方法和修正的CK方法都能得到不變量來(lái)構(gòu)造非行波變換，用這種非線性變換所得到的結(jié)果比一般的行波變換要廣泛的多。而且用這種微分系統(tǒng)首次積分的定義法來(lái)求得的首次積分要比可交換代數(shù)理論求得的也要廣泛。為了說(shuō)明方法，利用此首次積分方法得到了ANNV方程的一些新的精確解，這些解在所見到的文獻(xiàn)中還未出現(xiàn)過。

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THE FIRST INTEGRAL METHOD AND ITS APPLICATIONS IN NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS

*LIU Wen-jian, DING Chun-xiao, SANG Bo

(School of Mathematics Science, Liaocheng University, Liaocheng , Shandong 252059，China)

A generalized first integral method is proposed by studying Lie group theory and first integral of differential system. The method is applied ANNV equation with variable-coefficients. Furthermore, some new exact solutions are obtained based on the Maple and Wu method.

first integral method; variable-coefficients ANNV equation; prolongation; symmetry; explicit solutions

0175

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2012.04.001

1674-8085(2012)04-0001-05

2012-01-22；

2012-04-26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11076015)

*劉文健(1985-)，男，山東高唐人，碩士研究生. 主要從事微分方程理論及應(yīng)用研究(E-mail: liuwenjian198504@126.com);

丁春曉(1987-)，女，山東聊城人，碩士研究生. 主要從事不確定信息處理研究(E-mail: dingchunxiao1987@163.com);

桑 波(1976-)，男，山東肥城人，副教授，主要從事微分方程理論及應(yīng)用研究(E-mail: xiaozaimengzhong@126.com).