陶 李，王 玨 ，鄒永寧，伍立芬，王慧倩

(重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室ICT 研究中心，重慶400044)

1 引 言

近年來，隨著工業(yè)CT 技術(shù)的迅速發(fā)展，工業(yè)CT 系統(tǒng)已不僅用于對(duì)物體的無損探傷和對(duì)物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的定性分析和質(zhì)量評(píng)價(jià)，還廣泛應(yīng)用于物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)尺寸和材料密度的定量測(cè)量，因此提高測(cè)量精度和測(cè)量速度以及自動(dòng)化程度已成為工業(yè)CT 領(lǐng)域當(dāng)前研究的重點(diǎn)之一。通過工業(yè)CT圖像測(cè)量物體的幾何尺寸主要包括: 點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、目標(biāo)面積、表面積和體積等。

通過工業(yè)CT 圖像實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)物體幾何尺寸實(shí)時(shí)精確的測(cè)量，首先要提高工業(yè)CT 圖像的邊緣定位精度和速度，這直接影響后續(xù)測(cè)量結(jié)果的精度和速度。提高圖像測(cè)量精度和速度主要通過:(1) 提高工業(yè)CT 系統(tǒng)的硬件性能，如提高掃描系統(tǒng)速度和探測(cè)系統(tǒng)精度等; ( 2) 利用軟件方法，如提高圖像邊緣定位算法的精度和速度等。前者設(shè)備成本高、周期長(zhǎng)而且在精度和速度的提高上受限; 后者設(shè)備成本低、速度快、易于更新。如果能夠?qū)T 圖像邊緣定位在亞像素級(jí)別，則可直接提高測(cè)量系統(tǒng)精度。

亞像素邊緣定位算法具有邊緣定位精度高等優(yōu)點(diǎn)，常用于亞像素邊緣檢測(cè)當(dāng)中，方法主要包括: 基于一階微分期望值、小波變換［2］、空間矩［3］、插值、擬合［4］等，其中，Haralick［5］等人提出的基于Facet 模型的亞像素級(jí)邊緣檢測(cè)算法，通過3 次多項(xiàng)式擬合Facet 模型，再根據(jù)方向?qū)?shù)信息求得二階導(dǎo)數(shù)過零點(diǎn)，最終確定亞像素邊緣位置。該方法穩(wěn)定可靠，能定位圖像微小細(xì)節(jié)，從而提高檢測(cè)精度，但是因?yàn)檫\(yùn)算量巨大而耗時(shí)［6］，不能同時(shí)滿足精度和速度的要求［7］。利用基于Zernike 正交復(fù)數(shù)矩［8］的亞像素邊緣檢測(cè)算法在單位圓內(nèi)具有正交性，可減少亞像素邊緣檢測(cè)所需要的模板數(shù)目、降低函數(shù)的階數(shù)、增強(qiáng)抗干擾能力，從而提高邊緣定位精度［9］，但是運(yùn)算耗時(shí)不能滿足實(shí)時(shí)在線測(cè)量要求。因此，為了提高工業(yè)CT 圖像邊緣檢測(cè)算法的精度和速度，本文研究了改進(jìn)的Zernike 矩邊緣檢測(cè)算法，該方法不僅能夠高精度定位工業(yè)CT 圖像邊緣，而且能夠大幅度提高定位速度。通過高精度定位圖像的亞像素邊緣，保證了后續(xù)圖像測(cè)量的精度;在保證精度的前提下，算法大幅減少運(yùn)算時(shí)間，提高檢測(cè)速度，實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)在線工業(yè)CT 圖像的高精度測(cè)量。

2 Zernike 矩邊緣檢測(cè)原理

2．1 Zernike 矩原理

根據(jù)復(fù)數(shù)域Zernike 多項(xiàng)式的定義，可得到具有正交、旋轉(zhuǎn)不變特性的Zernike 矩。Zernike 的n階多項(xiàng)式定義為［10］:

式中:n≥0，且n- |m|為偶數(shù)，實(shí)值多項(xiàng)式Rnm由下式給出:

Zernike 多項(xiàng)式在單位圓x2+y2=1 內(nèi)是正交的，即:

當(dāng)且僅當(dāng)n=p，m=q，公式( 3) 成立。其中* 表示復(fù)共軛。

一幅連續(xù)圖像f(x，y) 的n階m次Zernike 矩定義為:

式中:Vmn( ρ，θ) =Rmn( ρ) eimθ為積分核函數(shù)，* 為復(fù)共軛，ρ 為圓點(diǎn)到點(diǎn)(x，y) 的矢量長(zhǎng)度，θ 角為矢量長(zhǎng)度ρ 與x軸之間逆時(shí)針方向的夾角。Rmn( ρ) 是徑向多項(xiàng)式，定義為:

對(duì)離散的數(shù)字圖像而言，其表示形式為:

Zernike 矩的最重要性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)不變性［10］，一幅圖像旋轉(zhuǎn)θ 角度后，A'mn=Amne-imθ，即圖像旋轉(zhuǎn)前后的Zernike 矩只改變相位角，而幅度保持不變。

2．2 Zernike 矩邊緣檢測(cè)算法

Ghosal［11］等人提出基于Zernike 矩的邊緣檢測(cè)算法，其基本原理是通過建立Zernike 矩與圖像邊緣檢測(cè)理想模型的4 個(gè)邊緣參數(shù)的關(guān)系，分別求解矩而得到圖像模型4 個(gè)邊緣參數(shù)，在將參數(shù)與預(yù)設(shè)的閾值進(jìn)行比較判定為邊緣點(diǎn)之后，通過計(jì)算來精確定位圖像邊緣位置。利用Zernike 矩的旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)圖像后，可以容易地計(jì)算出4 個(gè)參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)邊緣的精確定位。Zernike 矩是積分型算子，對(duì)噪聲不敏感，抗噪能力較強(qiáng)。

二維平面亞像素邊緣檢測(cè)理想邊緣模型如圖1所示。理想的采樣區(qū)域?yàn)閱挝粓A，直線L被單位圓包含的部分代表理想邊緣，圓內(nèi)L兩側(cè)的灰度值分別為H和H+k，k為兩側(cè)的灰度差，l表示原點(diǎn)到邊緣的理論距離值，θ 表示線段l與x軸之間的夾角。

圖1 二維平面亞像素邊緣檢測(cè)理想模型Fig.1 Ideal model of two-dimensional sub-pixel edge detection

若把圖像邊緣順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ 角，線段l將與x軸平行，則:

式中，f'(x，y) 是圖像經(jīng)過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的得到的邊緣函數(shù)。利用Zernike 矩進(jìn)行邊緣定位時(shí)，需要用到3 個(gè)不同階次的Zernike 矩，分別是A00，A11，A20。這些不同階次的Zernike 矩相對(duì)應(yīng)的積分核函數(shù)分別為:V00=1，V11=x+iy，V20=2x2+2y2-1。

旋轉(zhuǎn)后圖像的Zernike 矩與原圖像的Zernike矩之間的關(guān)系為:

由于式(7) 是A＇11的虛部，因此有:

式中Re［A11］，Im［A11］分別為A11的實(shí)部和虛部。因此可以求出θ 角，即:

式中，(xs，ys) 是邊緣的亞像素坐標(biāo)。

綜上所述，利用3 個(gè)Zernike 矩A00，A11，A20可以求解理想邊緣模型的4 個(gè)參數(shù)θ，l，k，h，并可以根據(jù)4 個(gè)參數(shù)計(jì)算出邊緣點(diǎn)的亞像素坐標(biāo)。

2.2.1 Zernike 矩算子的7 ×7 模板

采用Zernike 矩算子進(jìn)行圖像邊緣檢測(cè)，需要對(duì)每個(gè)邊緣點(diǎn)計(jì)算得到4 個(gè)參數(shù)，用來判斷該像素點(diǎn)是否為邊緣點(diǎn)。計(jì)算不同階次的Zernike 矩模板是對(duì)圖像進(jìn)行亞像素邊緣檢測(cè)的前提條件。原Ghosal 算法僅僅推導(dǎo)了Zernike 矩的5 ×5 模板中A00，A10，A20的系數(shù)，在Ghosal 等人的5 ×5 模板基礎(chǔ)上，高世一等人計(jì)算了Zernike 矩的7 ×7 模板系數(shù)［13］，這是因?yàn)閷?shí)際CT 圖像邊緣不是理想階躍邊緣，邊緣存在灰度過渡，而采用7 ×7 模板能夠細(xì)化邊緣，從而更好地抑制CT 系統(tǒng)帶來的噪聲。

2.2.2 消除模板效應(yīng)

仔細(xì)分析Ghosal 算法能夠發(fā)現(xiàn)，Ghosal的Zernike矩亞像素定位精度雖然較高，卻忽略了模板效應(yīng)導(dǎo)致的邊緣坐標(biāo)系數(shù)計(jì)算不精確問題。模板效應(yīng)是指Zernike 矩算子根據(jù)實(shí)際需求要選擇不同大小的模板，而使邊緣坐標(biāo)計(jì)算產(chǎn)生偏差［14］。假設(shè)所選的模板大小為N×N，由于邊緣點(diǎn)坐標(biāo)公式的推導(dǎo)和計(jì)算都在單位圓內(nèi)進(jìn)行，而在實(shí)際邊緣檢測(cè)過程中，模板是從左到右、從上到下移動(dòng)著和圖像進(jìn)行卷積計(jì)算，這時(shí)模板每次移動(dòng)覆蓋了被檢圖像上N2個(gè)像素點(diǎn)，單位圓的半徑則變?yōu)镹/2，因此需要把計(jì)算出來的到邊緣的垂直距離l放大為Nl/2，相應(yīng)的式(12) 變換為:

3 算法改進(jìn)

由于Zernike 矩邊緣算法需要將圖像和模板進(jìn)行卷積計(jì)算，運(yùn)算量隨著圖像的大小而增大。雖然它檢測(cè)精度高，但算法的運(yùn)行時(shí)間較慢，不能滿足對(duì)工業(yè)CT 圖像邊緣實(shí)時(shí)在線檢測(cè)的要求，因此，本文提出了綜合Sobel 的改進(jìn)Zernike 矩工業(yè)CT 圖像邊緣檢測(cè)算法。主要流程如圖2 所示。

3．1 Sobel 算子邊緣定位

首先利用Sobel 算子粗定位整個(gè)CT 圖像可能的邊緣點(diǎn);

圖2 算法流程圖Fig.2 Algorithm flowchart

Sobel 邊緣檢測(cè)的主要目的是找出全部邊緣可能存在的位置，在Sobel 算子粗定位之前，需要對(duì)CT 圖像進(jìn)行預(yù)處理，用來減少粗檢時(shí)產(chǎn)生多余的偽邊緣。

利用Sobel 邊緣算子檢測(cè)圖像邊緣的步驟如下:

(1) 對(duì)CT 圖像上灰度值為f(x，y) 的點(diǎn)(x，y)在x，y方向上分別計(jì)算灰度值的偏導(dǎo)數(shù)f'x與f'y，公式如下:

式中:f'x(x，y) ，f'y(x，y) 分別表示x，y方向的一階微分，G［f(x，y) ］為梯度。

(3) 設(shè)閾值為t，當(dāng)G［f(x，y) ］＞t時(shí)，即可判定該點(diǎn)即為圖像可能的邊緣點(diǎn)。然后將這些可能的邊緣點(diǎn)保存在數(shù)組中。

3．2 Zernike 矩邊緣精確定位

在對(duì)整個(gè)圖像使用Sobel 算子進(jìn)行粗檢后，利用Zernike 矩算子對(duì)保存在數(shù)組中可能的邊緣點(diǎn)圖像重新精確定位圖像邊緣，步驟如下:

(1) 將像素點(diǎn)和計(jì)算的7 ×7 模板進(jìn)行卷積;

(2) 計(jì)算每一個(gè)像素點(diǎn)的邊緣角度θ，k，l;

(3) 如果像素點(diǎn)的參數(shù)滿足判定條件k≥kt且l≤lt;則利用式(13) 計(jì)算亞像素邊緣坐標(biāo)。

3.3 邊緣點(diǎn)判據(jù)

從3.2 步驟(3) 可以看出，在Zernike 矩算子中利用式(9) 和式(11) 求出4 個(gè)參數(shù)之后，需要對(duì)參數(shù)判斷是否滿足k≥kt且l≤lt，其中kt和lt分別是階躍強(qiáng)度閾值和圓心到邊緣的距離閾值，只有當(dāng)上面的條件成立時(shí)，才能將像素點(diǎn)判定為邊緣點(diǎn)并進(jìn)行計(jì)算。通過分析可知，若強(qiáng)度閾值太小，則產(chǎn)生的偽邊緣較多，強(qiáng)度閾值太大雖然能抑制偽邊緣，但是會(huì)丟失部分真實(shí)邊緣，效果也不理想。由式(11) 可知，k是關(guān)于A＇11和l的函數(shù)，因此可以得到k的關(guān)系式:

而其中:

令A(yù)'11=amp，則k=1．5(1 -l2)-3/2amp=λ·amp

式中，λ =1．5( 1 -l2)-3/2，當(dāng)l取值較小時(shí)，則有:

為了細(xì)化邊緣圖像，通常取l為＜0.3 的正數(shù)，l與λ 的關(guān)系見表1。因此，使用amp代替k沒有損失圖像邊緣檢測(cè)精度，其主要目的是減少算法的運(yùn)算量。

表1 l 與λ 之間的關(guān)系Tab．1 Relationship between l and λ

4 試驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 改進(jìn)算法的邊緣檢測(cè)精度

利用Matlab2008Ra 工具驗(yàn)證加速算法不損失圖像邊緣定位精度。實(shí)驗(yàn)所用的為一幅800 pixel×800 pixel 工業(yè)CT 圖像［16］，如圖3 所示。

圖3 工業(yè)CT 圖像邊緣檢測(cè)結(jié)果比較Fig.3 Comparison of industrial CT image edge detection results

從圖3( b) 可以看出，Canny 邊緣算子檢測(cè)出的邊緣圖像為像素級(jí)，經(jīng)過非極大值抑制后的圖像邊緣為單像素，但是精度達(dá)不到亞像素級(jí)別，滿足不了測(cè)量需求; 圖3( c) 利用改進(jìn)的Zernike 矩檢測(cè)出亞像素邊緣，但將亞像素邊緣圖像局部放大后( 見圖3( d) ) ，由于邊緣坐標(biāo)為浮點(diǎn)數(shù)，可能會(huì)有小的斷裂［17］。

通過對(duì)邊緣圖像進(jìn)行邊緣跟蹤連接［18］，能夠計(jì)算出圓半徑參數(shù)。表2、表3 列出了圖4 中圓半徑參數(shù)測(cè)量結(jié)果以及測(cè)量值與真實(shí)值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。

圖4 運(yùn)算速度檢測(cè)圖像Fig.4 Images of processing speed detection

表2 Sobel+Zernike 矩工業(yè)CT 圖像中圓半徑參數(shù)的測(cè)量Tab．2 Circle radius parameter measurement of Sobel+Zernike moment industrial CT images

表3 Zernike 矩工業(yè)CT 圖像中圓半徑參數(shù)測(cè)量Tab．3 Circle radius parameter measurement of Zernike moment industrial CT images

由表2、表3 可以看出，測(cè)量值較真實(shí)值偏大，使用Zernike 矩的半徑測(cè)量值絕對(duì)誤差＜0.24 pixel，相對(duì)誤差＜0.64%; 使用改進(jìn)的Zernike 矩半徑測(cè)量值絕對(duì)誤差＜0.24，相對(duì)誤差＜0.55%;可以看出改進(jìn)的Zernike 矩算法在測(cè)量精度上和原Zernike 矩算法一致，沒有降低精度。

4.2 改進(jìn)算法的運(yùn)算速度

為了驗(yàn)證加速算法的有效性，對(duì)加速算法的運(yùn)算時(shí)間進(jìn)行了測(cè)量。運(yùn)行環(huán)境為個(gè)人計(jì)算機(jī)( 配 置CPU 為DualCore AMD Athlon II X 2 2 5 0 3GHz，內(nèi)存為2G) 和Matlab2008。仿真了4 個(gè)圖像中不同的邊緣點(diǎn)數(shù)量，在不同圖像尺寸( 256 pixel×256 pixel、512 pixel × 512 pixel、1 024 pixel×1 024 pixel、2 048 pixel×2 048 pixel)中測(cè)量了運(yùn)算時(shí)間，分析了邊緣點(diǎn)數(shù)量對(duì)算法運(yùn)算速度的影響。

從表4 中可以得出，Zernike 矩算子的邊緣檢測(cè)時(shí)間隨著圖像尺寸大小而劇增，改進(jìn)的Zernike 矩算子能夠大幅度減少運(yùn)算時(shí)間。

表4 Sobel、zernike 矩和改進(jìn)的Zernike 矩運(yùn)算時(shí)間Tab．4 Computation time of Sobel，Zernike moments and improved Zernike moments (s)

圖5 圖像尺寸、邊緣數(shù)量與加速比Fig.5 Image size，edge quantity and acceleration ratio

由圖5 可以看出，圖像尺寸越大，改進(jìn)算法的加速比越大;圖像邊緣點(diǎn)數(shù)量多，加速比越小;邊緣點(diǎn)數(shù)量越少，改進(jìn)算法的加速比越大，加速效果也會(huì)越明顯。在實(shí)際CT 圖像中，邊緣數(shù)量比例小于5%，因此改進(jìn)算法可提高實(shí)際CT 圖像的邊緣檢測(cè)速度。

改進(jìn)的Zernike 矩算子運(yùn)算時(shí)間較Zernike 矩算子快的主要原因在于該算子先利用快速的Sobel算子對(duì)整個(gè)圖像進(jìn)行了粗檢測(cè)，縮小Zernike矩算子檢測(cè)范圍，再利用7 ×7 大模板的Zernike矩算子精確定位邊緣。

綜上所述，圖像中邊緣點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了整個(gè)算法的運(yùn)算時(shí)間。在一幅圖像中當(dāng)邊緣點(diǎn)比例為n≈87%時(shí)，兩個(gè)算子的運(yùn)行時(shí)間才相等。然而在任何情況下邊緣點(diǎn)比例n≤50%?？紤]到Soble算子粗檢出可能的邊緣點(diǎn)會(huì)多于實(shí)際邊緣點(diǎn)數(shù)量，如果Sobel 算子粗檢出的可能邊緣點(diǎn)數(shù)量為真實(shí)邊緣點(diǎn)數(shù)量的2 倍，則n≈48%。在實(shí)際工業(yè)CT 圖像邊緣檢測(cè)中，由于存在噪聲和灰度過渡，Sobel 算子會(huì)粗檢出比真實(shí)邊緣多的邊緣點(diǎn)，驗(yàn)證了改進(jìn)后的Zernike 矩算法能夠大幅提高運(yùn)算速度。

5 結(jié) 論

研究了一種改進(jìn)的Zernike 矩的工業(yè)CT 亞像素邊緣檢測(cè)算法，并進(jìn)行了工業(yè)CT 圖像實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法的邊緣定位精度無損失，運(yùn)算速度快。運(yùn)用該算法能夠精確定位工業(yè)CT 圖像邊緣亞像素位置，在定位精度上和Zernike 矩保持一致，半徑測(cè)量值絕對(duì)誤差＜0.1 mm，相對(duì)誤差＜0.5%;在速度上比單獨(dú)使用Zernike 矩算子快，在實(shí)際CT 圖像中，檢測(cè)速度提高了70%。因此該算法適用于對(duì)檢測(cè)精度和實(shí)時(shí)在線性要求較高的工業(yè)CT 圖像測(cè)量。

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