徐 俊，古 銳，于振華

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

斜拉橋是一種主要的大跨度橋型，拉索作為該橋型中主要承力構(gòu)件，擔(dān)負(fù)著將主梁上的荷載傳遞到橋塔上的任務(wù).拉索結(jié)構(gòu)十分纖細(xì)，是斜拉橋結(jié)構(gòu)體系中對病害最敏感的構(gòu)件.在交通荷載往復(fù)作用下，斜拉索內(nèi)的應(yīng)力也是循環(huán)作用的，并在拉索內(nèi)累積疲勞損傷，甚至導(dǎo)致鋼絲斷絲，拉索破壞，嚴(yán)重威脅斜拉橋運(yùn)營安全.大量研究表明，往復(fù)交通荷載作用是導(dǎo)致拉索疲勞破壞的主要原因之一.

常用的疲勞壽命分析方法有兩種，分別是基于疲勞曲線和線性損傷累積法則（如Miner線性積傷準(zhǔn)則）的傳統(tǒng)疲勞分析方法，以及基于裂紋擴(kuò)展分析的斷裂力學(xué)方法.傳統(tǒng)方法已經(jīng)誕生了近一個(gè)世紀(jì)，相關(guān)研究較為成熟，但這種方法需要明確加載歷史，以及與結(jié)構(gòu)實(shí)際狀態(tài)相配的疲勞曲線，這兩大難點(diǎn)往往導(dǎo)致分析精度較低.Fisher最早嘗試將斷裂力學(xué)方法引入橋梁的疲勞壽命分析中，該方法依據(jù)裂紋擴(kuò)展至根據(jù)材料斷裂韌性算得的臨界裂紋長度的時(shí)間來推測構(gòu)件的疲勞壽命［1］.裂紋擴(kuò)展性能可以采用標(biāo)準(zhǔn)試件進(jìn)行疲勞加載獲取，裂紋擴(kuò)展速率的實(shí)驗(yàn)成本低，降低了材料不確定性對疲勞壽命分析的影響，提高了分析精度；同時(shí)以無損檢測確定的初始裂紋（缺陷）作為結(jié)構(gòu)當(dāng)前損傷程度的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，無需了解加載歷史，且分析結(jié)果可以通過探傷進(jìn)行修正與更新.隨著相關(guān)理論的發(fā)展，更多的學(xué)者認(rèn)識到了這種方法的優(yōu)點(diǎn)［2］，如今其已成為研究橋梁疲勞壽命一種可靠方法.

在基于斷裂力學(xué)的疲勞壽命分析中，許多參數(shù)的不確定性都對計(jì)算結(jié)果的可靠度有著較大影響，包括初始裂紋形狀、材料參數(shù)、幾何尺寸、裂紋擴(kuò)展模型及參數(shù).為了研究這些參數(shù)不確定性對疲勞壽命分析的影響，有關(guān)專家學(xué)者在該領(lǐng)域內(nèi)開展了大量的研究工作.這些研究涉及初始裂紋的概率分布［3－5］、檢出概率［6－7］、材料參數(shù)以及模擬方法［8－9］等.此外，交通荷載效應(yīng)的影響也十分顯著.為了分析交通荷載效應(yīng)，Xing J等［10］和 Huang X等［11］分別假設(shè)應(yīng)力幅服從對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布，通過理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬研究了交通荷載的影響.Barson J M［12］采用試驗(yàn)方法研究了應(yīng)力幅周期性單調(diào)降低、周期性單調(diào)增加、周期性先單調(diào)增加再單調(diào)降低，以及常幅4種加載方式對橋梁鋼構(gòu)件的影響.但他的這些假設(shè)并不能涵蓋應(yīng)力譜的所有類型.為了更全面地研究交通荷載效應(yīng)對拉索疲勞壽命的影響，本文嘗試從以下兩個(gè)方面進(jìn)行分析：

（1）交通荷載應(yīng)力譜的概率分布規(guī)律及其對疲勞壽命的影響.

（2）交通荷載峰值對臨界裂紋長度的影響.

為簡化計(jì)算，分析中將恒載效應(yīng)、材料參數(shù)以及鋼絲裂紋斷面形狀影響等均假定為常值.以周為基本時(shí)間單位對交通荷載效應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

現(xiàn)代交通荷載通過動(dòng)態(tài)稱重（weigh in motion，WIM）技術(shù)可以提供包括軸重、軸距、軸數(shù)、車型、車輛橫向位置、車速等交通流量特性，為交通調(diào)查提供了便利.交通荷載效應(yīng)由WIM系統(tǒng)所記錄的交通荷載流加載于拉索的不同車道影響線上累加得到.

1 交通荷載分布對裂紋擴(kuò)展的影響分析

斷裂力學(xué)理論發(fā)展至今，已提出了許多經(jīng)典的裂紋擴(kuò)展模型，如 Paris公式［13］，F(xiàn)oreman公式［14］，和Weertman公式［15］.研究中采用應(yīng)用最普遍也最簡單的Paris公式進(jìn)行分析.

式中：a為裂紋長度；N為荷載循環(huán)次數(shù)；C和m 為與材料相關(guān)的疲勞常數(shù)（通常由試驗(yàn)確定）；ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子幅，由下式確定：

式中：σ為遠(yuǎn)場應(yīng)力；Δ σ為應(yīng)力幅；Y（a）為結(jié)構(gòu)幾何形狀函數(shù).

在交通荷載作用下，1周時(shí)間內(nèi)的裂紋擴(kuò)展量為

式中：Δai為第i周的裂紋擴(kuò)展量；ai和ai－1分別為第i周和第i－1周結(jié)束時(shí)的裂紋長度；Ni和Ni－1分別為第i周和第i－1周結(jié)束時(shí)的荷載循環(huán)次數(shù).

拉索的疲勞問題屬于高周疲勞，其疲勞應(yīng)力幅極少超過100MPa，由此計(jì)算得到的周裂紋擴(kuò)展相對速率Δ ai／ai－1＜0.01.因此式（3）可簡化為

式中：Nw＝ Ni－ Ni－1.考慮到 Nw變化不大，將其作為為一個(gè)常數(shù)Nu看待.

定義

不論（Δ σ）m服從何種概率分布，由同分布中心極限定理可知，S服從正態(tài)分布，其均值ENC和方差DNC（下標(biāo)NC代表單位時(shí)間的循環(huán)）可分別由下式計(jì)算得到：

式中：EΔσm和DΔσm分別為（Δ σ）m的均值和方差.

由公式（5）可以得到

式中：a0為初始裂紋長度；acr為根據(jù)鋼絲斷裂韌性算得的臨界裂紋長度.

對于大多數(shù)公路橋梁來說，其日交通量超過千輛，交通荷載作用1周得到的有效應(yīng)力循環(huán)次數(shù)超過萬次，S的變異系數(shù)δS＜0.05，S的離散性對式（7）中裂紋擴(kuò)展量的影響不大.因此將S放到積分號之外，并假設(shè)Nw為定值，將式（7）進(jìn)一步簡化為

構(gòu)件在指定壽命時(shí)的可靠概率由3個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量決定，分別為S，a0，和acr.

2 交通荷載分布對構(gòu)件失效的影響分析

根據(jù)斷裂力學(xué)原理，結(jié)構(gòu)斷裂的失效判據(jù)為

式中：σd為恒載應(yīng)力；σlmax為交通荷載最大應(yīng)力.

定義Pf（N）為構(gòu)件在承受N次循環(huán)后失效的概率，則有

式中：Q（σlmax）為構(gòu)件在dN次荷載循環(huán)過程中，最大交通荷載作用小于使構(gòu)件斷裂的臨界應(yīng)力的概率.

根據(jù)公式（9），（10）可以得到

式中：q（N）為最大交通荷載作用不超過N次荷載循環(huán)作用后使構(gòu)件達(dá)到臨界應(yīng)力的概率.

由式（9）～ （11）可知

式中：a（N）為式（8）的反函數(shù).

式（11）的解為

在工程應(yīng)用中，以Nw作為時(shí)間間隔即可獲得足夠精確的計(jì)算結(jié)果，此時(shí)公式（13）改寫為

欲使用公式（14）必須首先明確Q（σlmax）的概率分布，這可以通過Rice公式外推得到.Rice公式表達(dá)如下：

式中：v（σl）為單位時(shí)間內(nèi)高斯過程上穿（或下穿）某個(gè)常數(shù)的均值；σl為交通荷載應(yīng)力，將其作為一個(gè)隨機(jī)過程看待；d 為σl的標(biāo)準(zhǔn)差；為 dσl／dt的標(biāo)準(zhǔn)差；μ為σl的均值.

圖1為上穿和下穿概念的示意圖.由圖1可見x1上穿了8次，x2下穿了5次.

圖1 穿越示意Fig.1 Level crossings

公式（12）中的相關(guān)參數(shù)可采用Cremona C［16］提供的方法分析計(jì)算，此處不再贅述.

定義相鄰兩次上穿時(shí)間間隔的平均值為回歸周期TR，那么有

由隨機(jī)理論，假設(shè)相鄰兩次上穿發(fā)生時(shí)間的間隔服從指數(shù)分布Z（1／TR），于是有

式中：QU（σl）為單位時(shí)間內(nèi)σl的概率分布函數(shù).

由公式（14）和公式（17），可以采用數(shù)值方法對交通荷載極值的影響進(jìn)行分析.

3 實(shí)例分析

采用實(shí)橋WIM數(shù)據(jù)模擬交通流加載得到的某斜拉橋最不利位置兩根拉索（編號分別為拉索I與拉索II）的鋼絲應(yīng)力譜以及Rice公式擬合參數(shù)分別見圖2、圖3及表1.

表1 Rice公式擬合參數(shù)Tab.1 Fitting parameters of Rice Equation

采用Monte－Carlo法按圖2和圖3中的應(yīng)力譜分布模擬兩根拉索中具初始缺陷鋼絲的裂紋擴(kuò)展失效過程.考慮到鋼絲中蝕坑深度超過0.3mm時(shí)出現(xiàn)微裂紋的概率為50%，這里偏安全地假設(shè)初始裂紋深度為0.2mm，每根鋼絲各模擬100次裂紋擴(kuò)展過程.根據(jù)模擬樣本計(jì)算裂紋擴(kuò)展的均值和標(biāo)準(zhǔn)差見圖4和圖5.由圖4，5可知，隨著裂紋擴(kuò)展，標(biāo)準(zhǔn)差由初始裂紋時(shí)的零逐漸增加，且斜率不斷增大.但在構(gòu)件失效前裂紋擴(kuò)展量的變異系數(shù)始終很小，維持在0.01以下，這與公式（4）所采用的假設(shè)是相符合的.

圖6～11分別給出了單位時(shí)間為1，4，12周3種條件下拉索I和拉索II鋼絲的裂紋擴(kuò)展曲線.

圖6 拉索I鋼絲裂紋擴(kuò)展示意（單位時(shí)間為1周）Fig.6 The crack growth of Stayed－cable I wire（1week）

由圖6～11可見，當(dāng)以1周為單位時(shí)，按均值計(jì)算得到的結(jié)果與Monte－Carlo模擬結(jié)果較為吻合，而當(dāng)以4周或12周作為單位時(shí)，由于公式（4）中的假設(shè)不再成立，Monte－Carlo模擬結(jié)果略超出均值計(jì)算結(jié)果，接近甚至超過按兩倍標(biāo)準(zhǔn)差得到的計(jì)算結(jié)果.但即便在這種情況下，按均值計(jì)算的結(jié)果與Monte－Carlo法計(jì)算結(jié)果間的差異也較為有限，以圖8和圖11為例，按兩種方法計(jì)算得到的拉索I與拉索II的鋼絲達(dá)到臨界裂紋長度時(shí)刻相差不超過5周.這說明應(yīng)力譜隨機(jī)性對構(gòu)件使用壽命精度的影響有限.

圖12和圖13給出了交通荷載極限應(yīng)力分布對拉索臨界應(yīng)力隨機(jī)性的影響.為了進(jìn)一步展示這種影響，將對應(yīng)于不同概率下的臨界應(yīng)力按公式（17）計(jì)算對應(yīng)的重現(xiàn)期，列于表2中.由表2可見，要保證計(jì)算精度達(dá)到99%以上，計(jì)算臨界裂紋長度所對應(yīng)的臨界應(yīng)力至少應(yīng)有15～20年的重現(xiàn)期.

圖12 拉索I鋼絲臨界應(yīng)力概率密度與分布Fig.12 The probability density and distribution of Stayed－cable I wire’s critical stress

圖14與圖15為拉索I和拉索II的鋼絲使用壽命的概率密度與分布.由于鋼絲的剩余壽命與初始裂紋尺寸有關(guān)，因此圖中的壽命均值意義不大.但由標(biāo)準(zhǔn)差可知，鋼絲出現(xiàn)斷裂的時(shí)間跨度主要集中在50周以內(nèi)，約為1年時(shí)間.這說明疲勞壽命的計(jì)算誤差可能達(dá)到1年甚至更高.

圖13 拉索II鋼絲臨界應(yīng)力概率密度與分布Fig.13 The probability density and distribution of Stayed－cable II wire’s critical stress

表2 對應(yīng)保證率下應(yīng)力的重現(xiàn)期Tab.2 The return period of critical stress corresponding to guarantee rate

4 結(jié)論

研究了疲勞應(yīng)力譜及交通荷載極值對拉索鋼絲疲勞壽命的影響，得到以下結(jié)論：

（1）疲勞荷載應(yīng)力譜的變異性對構(gòu)件疲勞壽命的影響不大.當(dāng)選取較小的單位時(shí)間時(shí)，按應(yīng)力譜均值計(jì)算得到的裂紋擴(kuò)展壽命與實(shí)際結(jié)果較接近，兩者間差異較小，但即使計(jì)算周期為12周，實(shí)際結(jié)果與簡化計(jì)算結(jié)果的相差也不過5周.

（2）交通荷載效應(yīng)極值的重現(xiàn)期對疲勞壽命的概率分布有一定的影響，使得疲勞壽命的計(jì)算誤差可能達(dá)到1年.為保證其99%的可靠度，應(yīng)選取對應(yīng)于15年以上重現(xiàn)期的極限荷載作為臨界荷載.

本文僅對兩根實(shí)橋拉索進(jìn)行了詳細(xì)分析，為檢驗(yàn)理論的正確性，需要對更多的結(jié)構(gòu)進(jìn)行嘗試和試驗(yàn)檢驗(yàn).

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