何 霞 王戰(zhàn)偉

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，鄭州450015）

灰色Verhulst模型的優(yōu)化及其應(yīng)用

何 霞 王戰(zhàn)偉

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，鄭州450015）

針對灰色Verhulst模型的優(yōu)化單一，多種優(yōu)化不能有效結(jié)合的情況，在同時優(yōu)化背景值和初始值的基礎(chǔ)上，建立將兩種優(yōu)化相結(jié)合的灰色Verhulst模型。利用該模型對我國手機網(wǎng)民增長規(guī)律進(jìn)行研究，結(jié)果表明，優(yōu)化灰色Verhulst模型具有較高的精度。

優(yōu)化灰色Verhulst模型；背景值；初始值；手機網(wǎng)民

灰色系統(tǒng)理論中，灰色Verhulst模型在經(jīng)濟、管理等多個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，許多學(xué)者對該模型進(jìn)行了深入的研究，不斷地提高模型精度，擴大模型的適用范圍,其中，文獻(xiàn)[2]～[5]從以下幾個方面對模型進(jìn)行了優(yōu)化：在參數(shù)估計和初始條件修正方面對灰色Verhulst模型進(jìn)行了改進(jìn)；通過改進(jìn)灰導(dǎo)數(shù)優(yōu)化了灰色Verhulst模型；優(yōu)化了灰色Verhulst模型的背景值和結(jié)構(gòu)參數(shù)，提高了模型的精度；建立了灰色離散Verhulst模型，加強了模型適應(yīng)性；通過建立無偏Verhulst模型，消除了灰色Verhulst模型本身具有的偏差。文獻(xiàn)［10］、［11］通過改進(jìn)無偏灰色Verhulst模型的初始條件，優(yōu)化了無偏灰色Verhulst模型。但上述這些優(yōu)化方法都是在某個方面對模型進(jìn)行的優(yōu)化，沒能將相互獨立的多個方面的優(yōu)化相結(jié)合，達(dá)到綜合優(yōu)化灰色Verhulst模型的目的。鑒于此，本文在同時優(yōu)化背景值和初始值的基礎(chǔ)上，建立將兩種優(yōu)化相結(jié)合的灰色Verhulst模型，并將該模型用于我國手機網(wǎng)民增長規(guī)律的研究，結(jié)果表明，優(yōu)化灰色Verhulst模型具有較高的精度。

1 灰色Verhulst模型建模機理

定義1[1]設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列，X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))是X(0)的1-AGO序列，其中(n))為背景值序列，其中z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k= 2,3,…,n。稱x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2為灰色Verhulst模型。稱為灰色Verhulst模型的白化方程。

定理1設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列，X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))是X(0)的1-AGO序列，其中為背景值序列，其中z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…,n。則

（1）灰色Verhulst模型的最小二乘估計參數(shù)序列滿足

（3）灰色Verhulst模型的時間響應(yīng)序列為

（4）還原值

2 灰色Verhulst模型的優(yōu)化

由定理1可以看出，灰色Verhulst模型的擬合與預(yù)測精度不僅取決于參數(shù)a和b，而且受到初始值的影響，而定理2中將初值取為x(1)(1)并沒有理論依據(jù)。為此，將初始值x(1)(1)取為x(1)(n)，既符合灰色系統(tǒng)理論新信息優(yōu)先原理，同時又能提高模型的精度。同時，由文獻(xiàn)［11］可知，背景值由z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)

定理2設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列，X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))是X(0)的1-AGO序列，其中為背景值序列,其中k=2,3,…,n，初始值為x(1)(n)，則

（1）灰色Verhulst模型的最小二乘估計參數(shù)序列滿足

（3）灰色Verhulst模型的時間響應(yīng)序列為

（4）還原值

證明：只需將背景值由z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))換為，將初始值由x(1)(1)換為x(1)(n)，其余證明與定理1相同。

3 優(yōu)化灰色Verhulst模型的應(yīng)用

根據(jù)中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心發(fā)布的《中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計報告》，截至2010年6月，我國網(wǎng)民數(shù)量達(dá)到4.2億人，較2009年底增加3 600萬人。截至2010年6月達(dá)2.77億，半年新增手機網(wǎng)民4 334萬人，增幅高達(dá)18.6%。為了更好地了解我國手機網(wǎng)民數(shù)量增長的規(guī)律和發(fā)展趨勢，利用本文建立的優(yōu)化灰色Verhulst模型對我國手機網(wǎng)民增長進(jìn)行研究。

3.1 手機網(wǎng)民數(shù)據(jù)收集

根據(jù)我國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心發(fā)布的統(tǒng)計報告，我們從中收集了自2006年6月到2010年6月每半年調(diào)查統(tǒng)計一次的手機網(wǎng)民人數(shù)（表1）。

表1 我國2006～2010年手機網(wǎng)民數(shù)量

取2006年6月到2009年12月的數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)序列，而把2010年6月的數(shù)據(jù)用來檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測精度。于是,我們建立手機網(wǎng)民增長的優(yōu)化灰色Verhuslt模型。

3.2 模型的建立與求解

設(shè)手機網(wǎng)民數(shù)量序列

則累計手機網(wǎng)民數(shù)量序列

背景值序列

由定理3可得到模型參數(shù):

于是,灰色Verhulst模型的白化方程為

其時間響應(yīng)函數(shù)為

從而得到X(1)的模擬值與預(yù)測值為

還原求出X(0)的模擬值與預(yù)測值為

3.3 模型精度對比分析

為了更好地進(jìn)行比較，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，求出定理1中的傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的響應(yīng)函數(shù)為

從而可以求出相應(yīng)的模型值?，F(xiàn)將傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的模擬預(yù)測值與本文中的優(yōu)化灰色Verhulst模型的模擬預(yù)測值進(jìn)行對比（表2）。

從表2可以看出，傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的模擬平均相對誤差為50.01%，而本文中優(yōu)化灰色Verhulst模型的模擬平均相對誤差僅為8.23%，精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)灰色Verhulst模型。

表2 傳統(tǒng)與優(yōu)化模型的模擬與預(yù)測誤差對比表

4 結(jié)論

本文在優(yōu)化背景值和初始值的情況下，建立了一種優(yōu)化灰色Verhulst模型，并應(yīng)用該模型建立了我國手機網(wǎng)民數(shù)量的灰色Verhulst模型，精度對比結(jié)果顯示該優(yōu)化灰色Verhulst模型比傳統(tǒng)灰色Verhulst模型具有更高的精度。

[1]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社，1990.

[2]何文章,吳愛弟.估計Verhulst模型中參數(shù)的線性規(guī)劃方法及應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2006，26(8):141-144.

[3]黨耀國,劉思峰,劉斌.以x^(n)為初始條件的GM模型[J].中國管理科學(xué)，2005,13(1):132-135.

[4]劉威,徐偉.灰色Verhulst模型參數(shù)估計的一種新算法[J].計算機仿真，2008，25(11):119-123.

[5]陳露,張凌霜.基于初值修正的組合灰色Verhulst模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010，40(11):160-164.

[6]王正新,黨耀國,沈春光.灰色Verhulst模型的灰導(dǎo)數(shù)改進(jìn)研究[J].統(tǒng)計與信息論壇，2010，25(6):19-22.

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[10]沈春光,陳萬明,裴玲玲.無偏灰色Verhulst模型初始條件的優(yōu)化[J].統(tǒng)計與信息論壇，2011，26(5):3-6.

[11]沈春光,陳萬明,裴玲玲.無偏灰色Verhulst模型的優(yōu)化及其應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)漢文版，2011，40(4):325-328.

[12]駱公志，崔杰，謝乃明.灰色GM(1,1)模型新的改進(jìn)方法[J].統(tǒng)計與決策，2008（22）：11-13.

Optim ization of Grey Verhulst M odel and Its App lication

HE Xia WANG Zhanwei
(Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management,Zhengzhou 450015)

According to the fact that there exists simple optim ization method and types of optim ization w ithout effective combination.By optim izing simultaneously background values and initial values,we build an optim ized grey Verhulstmodel.Based on themodel,we research Chinesemobile internet-user grow th.The result indicates that the optim ized grey Verhulstmodel can achieve more satisfactory precision than traditional grey Verhulst model.

optim ized grey Verhulstmodel；background value；initialvalue；mobile internet-user

TP122

A

1673-1980（2012）03-0173-04

2011-12-14

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點項目（12B110027）；河南省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃項目(2011BJJ021)；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金項目（2011113001，2011113003）

何霞（1976-），女，河南周口人，碩士，講師，研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué)、灰色系統(tǒng)理論。