高 斌

☆技術(shù)裝備與實務(wù)應(yīng)用☆

在手持技術(shù)環(huán)境下對學(xué)生主體作用的教學(xué)探索

高 斌

一、關(guān)于TI圖形計算器

1.功能與作用

TI圖形計算器是一種小型的數(shù)學(xué)專用電腦，是先進(jìn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，歐美等發(fā)達(dá)國家的高中、大學(xué)的學(xué)生，大多數(shù)都在使用它學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

TI圖形計算器，除了具有普通科學(xué)計算器強(qiáng)大的計算功能外，還具備強(qiáng)大的畫圖功能和分析功能，能畫出各種復(fù)雜的函數(shù)圖像，顯示出函數(shù)的各種性質(zhì)；還可以進(jìn)行概率和統(tǒng)計運(yùn)算，數(shù)組和矩陣運(yùn)算，回歸分析，微分、積分?jǐn)?shù)值運(yùn)算，編寫計算程序，開展理化試驗，等。它的功能基本上可以滿足學(xué)生在高中和大學(xué)學(xué)習(xí)階段的需要。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用圖形計算器的優(yōu)越性在于：可以把抽象的邏輯推理與幾何的直觀結(jié)合起來，從而幫助一些學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生理解數(shù)學(xué)；對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，可以使用圖形計算器分析數(shù)學(xué)問題，掌握解題技巧，獨(dú)立地進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)。圖形計算器是一種輔助學(xué)習(xí)工具，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所起的作用，類似于英漢詞典在學(xué)生學(xué)習(xí)英語中的作用。

現(xiàn)在，美國、澳大利亞和新加坡等國家，對中學(xué)生設(shè)置了不同模式的考試，國家允許學(xué)生在考試時攜帶使用圖形計算器。鑒于目前北京市高考還不允許使用計算器，為保證不降低學(xué)生的計算能力與應(yīng)試能力，北京市第十九中學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中首先要求學(xué)生掌握傳統(tǒng)的解題技巧與方法，并且在課堂教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生心算、口算、筆算等計算能力的訓(xùn)練，然后再教學(xué)生如何用計算器分析數(shù)學(xué)問題，驗證計算結(jié)果的正確性。特別加強(qiáng)了對高三學(xué)生的應(yīng)試訓(xùn)練，這樣既開拓了學(xué)生的解題思路，提高了他們解決問題的能力，又使學(xué)生的計算能力和高考成績不下降。

2.新課標(biāo)的要求

從2002年起，北京市高中統(tǒng)一實行了新的教學(xué)大綱。新的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定，教師要“支持和鼓勵學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，開展課題研究，改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識”。人民教育出版社按新課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的高中數(shù)學(xué)教材，在每一節(jié)教學(xué)內(nèi)容后面，都加入了使用計算機(jī)或圖形計算器解決數(shù)學(xué)問題的案例。去年北京市教委要求，首先在示范高中逐步推廣圖形計算器，促進(jìn)學(xué)生使用圖形計算器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

進(jìn)入新世紀(jì)以來，信息科學(xué)技術(shù)正以迅猛的形勢發(fā)展，而且正在深入人們生活的各個方面，其發(fā)展趨勢是無法阻擋的。信息技術(shù)必定要進(jìn)入中學(xué)的課堂，圖形計算器恰當(dāng)?shù)仨槕?yīng)了這一趨勢，為學(xué)生的全面發(fā)展起到了良好的輔助作用。

3.我校高中數(shù)學(xué)組的使用情況

為落實新的教學(xué)大綱，北京市第十九中學(xué)從2002年起，參加了由北京市教科院基礎(chǔ)教育教學(xué)研究中心和人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室聯(lián)合組織的“高中數(shù)學(xué)課程教材與信息技術(shù)的整合”課題研究工作，教師在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，指導(dǎo)高中學(xué)生使用圖形計算器，自主地學(xué)習(xí)、分析、解決數(shù)學(xué)問題，獲得了良好的教學(xué)效果。

我們的教學(xué)目標(biāo)是：既要使學(xué)生學(xué)會高中數(shù)學(xué)，在高考中取得好的成績，能進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)；同時還要培養(yǎng)學(xué)生，使其具備一定的使用信息技術(shù)解決實際問題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，使他們能適應(yīng)大學(xué)畢業(yè)后的實際工作要求。

從近十年北京市十九中學(xué)高考數(shù)學(xué)成績可以看出，在使用圖形計算器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生群體中，絕大多數(shù)對數(shù)學(xué)有興趣且數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，高考成績相對較好；對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，使用計算器至少不會降低高考成績；凡數(shù)學(xué)考高分的學(xué)生，幾乎都在使用圖形計算器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。主要原因是高考數(shù)學(xué)重點在于考察學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”解決問題的能力。在高考時，學(xué)生按手工“列表、描點、連線”的步驟去畫圖，基本上是不可能的，因為考試時間不允許，這就需要學(xué)生把基本圖形牢牢地記在腦中。平時學(xué)生如果有圖形計算器幫助作圖，可以使他們熟悉基本函數(shù)的圖像，加深理解函數(shù)的性質(zhì)，這樣他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較扎實，解題的思路比較靈活。

多年來，北京市第十九中學(xué)高中數(shù)學(xué)組一直堅持使用圖形計算器進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，并積累了豐富的經(jīng)驗，獲得了許多獎項。

二、應(yīng)用TI圖形計算器進(jìn)行教學(xué)實驗的課例分析

以下就以利用TI圖形計算器探究三次函數(shù)圖像和性質(zhì)為例，說明TI圖形計算器在數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)問題探究中發(fā)揮的主要作用。

1.研究三次函數(shù)的重要性

三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是繼二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后初等數(shù)學(xué)中的又一個重要的函數(shù)，它是用高等數(shù)學(xué)方法研究初等數(shù)學(xué)的典型范例。運(yùn)用求導(dǎo)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，已經(jīng)成為初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考和一些重大考試中已頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的命題，所以我們不能局限于怎樣解這類問題，而是要對這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入系統(tǒng)地研究。

教材對一些具體的一元三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值進(jìn)行了討論，但沒有對一般的一元三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)做系統(tǒng)的講解，而一元三次函數(shù)在高考中的地位是毋庸置疑的，每年都可以見到以一元三次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題。還有，在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生對一元三次函數(shù)的圖像、性質(zhì)等了解不全面，因此對于綜合性的函數(shù)題的解決也就難于突破。

若單純從解析式的角度講，由于缺乏感性認(rèn)識，學(xué)生理解、接受有一定的困難。教學(xué)中，結(jié)合實例在推導(dǎo)結(jié)論的基礎(chǔ)上，利用圖形計算器進(jìn)行演示，取得了一定的效果。

2.圖像特征探究討論

(1)問題引入：二次函數(shù)的圖像是拋物線，那么三次函數(shù)的圖像特征是什么呢？

(2)啟發(fā)引導(dǎo)：請學(xué)生回憶二次函數(shù)的研究方法。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)是關(guān)于x的二次三項式，在先后研究了形如y=x2，y=ax2(a≠0)，y=ax2+c(a≠0)以及y=ax2+bx(a≠0)的特殊二次函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，分析總結(jié)一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像特征，研究方法遵循“由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般”的認(rèn)知規(guī)律。

我們能否借鑒二次函數(shù)的研究方法來分析三次函數(shù)呢？

為便于分析，我們只對a＞0的情況進(jìn)行討論(若a＜0，利用圖像變換即可得到相應(yīng)結(jié)論)。

3.解決方案：分組合作，制定研究方案

類比二次函數(shù)，學(xué)生根據(jù)三次四項式的結(jié)構(gòu)特征將三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)劃分成以下4種特殊情況，并利用TI-83畫出下列函數(shù)的圖像。

(1)形如y=ax3：y=0.5x3，y=x3，y=2x3(如圖1所示)。

圖1

(2)形如y=ax3+bx2(a≠0)：y=0.5x3+x2，y=x3－2x2，y=2x3+6x2(如圖2所示)。

圖2

(3)形如y=ax3+cx(a≠0)：y=0.5x3+x，y=x3－2x，y=2x3+0.5x(如圖3所示)。

圖3

(4)形如y=ax3+bx2+cx(a≠0)：y=0.5x3+x2+x，y=x3－x2－2x，y=2x3+6x2+0.5x(如圖4所示)。

圖4

4.交流分享，總結(jié)提高：分小組討論、匯報

(1)上述圖像形狀有什么特征？

全部圖像分為兩類：

第一類：整個定義域上函數(shù)單調(diào)遞增，整個定義域上不存在極值。

第二類：函數(shù)圖像呈橫“S”形，即左右兩部分單調(diào)遞增，中間部分單調(diào)遞減，函數(shù)有一個極大值，一個極小值。

通過對TI-83函數(shù)圖像的觀察，學(xué)生猜想結(jié)論：

當(dāng)a＞0時，y=ax3+bx2+cx(a≠0)的圖像共有以上兩類。

(2)根據(jù)上述圖像，能否說一說三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖像的特征是什么？

現(xiàn)在思考并驗證函數(shù)y=ax3+bx2+cx(a≠0)與函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖像有什么關(guān)系？容易驗證：當(dāng) d＞0時，函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖像是y=ax3+bx2+cx(a≠0)圖像向上平移|d|個單位；當(dāng)d＜0時，向下平移|d|個單位；函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)與y=ax3+bx2+cx(a≠0)的導(dǎo)數(shù)都是y=3ax2+2bx+c(a≠0)。所以y=ax3+bx2+cx(a≠0)與y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像形狀相同。

所以，當(dāng)a＞時，y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像分為兩類：

第一類：整個定義域上函數(shù)單調(diào)遞增，且不存在極值。

第二類：函數(shù)圖像呈橫“S”形，即左右兩部分單調(diào)遞增，中間部分單調(diào)遞減，且函數(shù)有一個極大值，一個極小值。

(3)能否用所學(xué)的知識對所得結(jié)論加以證明？

當(dāng)a＞0時，導(dǎo)數(shù)f '(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)的判別式為Δ =4b2－12ac

①當(dāng)Δ≤0時，f '(x)的圖像如5所示：

圖5

所以，三次函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，無極值(如圖6所示)：

圖6

②當(dāng)Δ＞0時，設(shè)f '(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)的兩根為x1，x2，且x1＜x2，導(dǎo)數(shù)圖像如7所示：

圖7

所以，函數(shù)f(x)圖像如圖8所示：

圖8

即a＞0時，f(x)在(-∞，x1) ，(x2，+∞)單調(diào)遞增；f(x)在(x1，x2)單調(diào)遞減；在x=x1處f(x)取得極大值f(x1)，在處x=x2取得極小值f(x2)。

綜上所述，當(dāng)a＞0時，y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像分為兩類。

第一類：整個定義域上函數(shù)單調(diào)遞增，整個定義域上不存在極值。

第二類：函數(shù)圖像呈橫“S”形，即左右兩部分單調(diào)遞增，中間部分單調(diào)遞減。函數(shù)有一個極大值，一個極小值。

三、零點的探究與討論

在對圖像特征探究討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生研究三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的零點。

(1)上述函數(shù)是否有零點？每個函數(shù)有幾個零點？

上述函數(shù)均有零點，零點有1個或2個或3個。

(2)根據(jù)上述圖像，能否說一說三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是否有零點？有幾個零點？說明理由。

學(xué)生根據(jù)探究所得結(jié)論及所學(xué)知識判斷：

當(dāng)a>0時，三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一定有零點，零點最多有3個，最少有1個。

①當(dāng)f(x)在定義域單調(diào)遞增時(即無極值時)，有且只有一個零點；

②當(dāng)f(x)函數(shù)圖像呈橫“S”形，即左右兩部分單調(diào)遞增、中間部分單調(diào)遞減時(即有極值時)，一定是2個極值，若0介于極大值與極小值之間時，3個零點，0為極值時，有2個零點。

(3)課后拓展。

三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有零點，意味著三次方程 ( ax3+bx2+cx+d=0)(a≠0)一定有實數(shù)根，求函數(shù)的零點可以轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)方程的根的問題?？梢砸龑?dǎo)有余力的學(xué)生課后查找數(shù)學(xué)史資料，對一元三次方程求解故事及求解方法有所了解，從而對學(xué)生關(guān)于三次函數(shù)一定有零點的判斷給予理論支持。

四、對稱性的探究討論

(1)觀察上述三次函數(shù)圖像的凹凸性變化規(guī)律。

①當(dāng)f(x)在定義域單調(diào)遞增時(即無極值時)，凹凸性在某一點發(fā)生變化，該點左邊圖像上凸，右邊圖像下凸，該點為拐點。

②當(dāng)f(x)函數(shù)圖像呈橫“S”形時，在函數(shù)圖像中間單調(diào)遞減區(qū)間上，凹凸性在某一點發(fā)生變化，該點左邊圖像上凸，右邊圖像下凸，該點為拐點。

(2)觀察三次函數(shù)拐點附近的圖像，并將其放大后觀察圖像特征。

學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圖像關(guān)于拐點呈中心對稱。

(3)能否借助TI-83就某些具體的三次函數(shù)關(guān)于呈中心對稱的性質(zhì)加以說明。

學(xué)生作業(yè)展示：

①y=0.5x3+x2+x－0.5

觀察圖9所示圖像的拐點位于區(qū)間[-1，0]內(nèi)，通過TI-83函數(shù)運(yùn)算表看到，當(dāng)x=-0.997時y=-0.9985，與之對應(yīng)的點坐標(biāo)(-0.997，-0.9985)為圖像拐點。從運(yùn)算表中不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)于該點呈中心對稱，這一發(fā)現(xiàn)與通過對圖像的觀察得到的結(jié)論一致。

圖9

②y=x3－2x2+x－1

觀察圖10所示圖像的拐點位于區(qū)間[0，1]內(nèi)，通過TI-83函數(shù)運(yùn)算表看到，當(dāng)x=0.002時y=-0.998，與之對應(yīng)的點坐標(biāo)(0.002，0.998)為圖像拐點，從運(yùn)算表中不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)關(guān)于該點呈中心對稱。這一發(fā)現(xiàn)與通過對圖像的觀察得到的結(jié)論一致。

圖10

(4)大膽猜想。由上述實驗學(xué)生做出大膽猜想：三次函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心是函數(shù)的拐點。

(5)求出拐點的坐標(biāo)。

由導(dǎo)數(shù)知識可知：單調(diào)區(qū)間上的拐點是函數(shù)的變化率發(fā)生改變的點，當(dāng)a＞0時，三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的拐點左側(cè)函數(shù)變化率逐漸變小，到拐點達(dá)到最小，然后拐點右側(cè)函數(shù)變化率逐漸變大，即在拐點左側(cè)導(dǎo)函數(shù)值逐漸變小，右側(cè)導(dǎo)函數(shù)值逐漸變大。

所以當(dāng)a＞0時，在三次函數(shù)的拐點的橫坐標(biāo)處，導(dǎo)函數(shù)取得最小值，由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，所以可以利用導(dǎo)函數(shù)的對稱軸求拐點的橫坐標(biāo)。

借助TI-83圖形計算器的函數(shù)作圖功能和列表功能，學(xué)生通過實驗的方式研究了三次函數(shù)的圖像、零點、對稱性及對稱中心。

[1] 孫國君.對三次函數(shù)及其圖形特點的討論[J].蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2007,3:69-71.

2011-11-03

高斌，本科，中教高級。

北京市第十九中學(xué)。