王海蓮 王良龍 謝如龍

（1安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）（2巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

齊次Morrey-Herz空間上的參數(shù)型Marcinkiewicz積分

王海蓮1,2王良龍1謝如龍2

（1安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）（2巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

本文證明了參數(shù)型Marcinkiewicz積分是齊次 M orrey-Herz空間 M（Rn）上的有界性算子.

Morrey-Herz空間；參數(shù)型Marcinkiewicz積分；Lr-Dini條件

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)Sn-1是Rn上的單位球面,dσ是Sn-1上的通常Lebesgue測(cè)度.Ω∈L1（Sn-1）是Rn上的零次齊次函數(shù)且滿足

1960年，HO¨rmander在[1]中定義了高維的參數(shù)型Marcinkiewicz積分如下：

其中 ρ＞0 且

他證明了如果 Ω ∈Lipα（Sn-1）（0＜α≤1）,則對(duì) ρ ＞0,是（p,p）（1＜p＜∞）型的.后來(lái)，Sakamoto 和 Y abuta[2]證明了的 Lp有界性，這里 ρ 是一個(gè)復(fù)數(shù)且 Ω ∈Lipα（Sn-1）（0＜α≤1） .近來(lái)，文獻(xiàn)[3]減弱了 Ω 上 的光滑條件，得到了如下結(jié)果.

定理 A[3]設(shè) Ω∈Lr（Sn-1）（r＞2）是 Rn上的零次齊次函數(shù)且滿足（1）式和 Lr-Dini條件.若 ρ＞0,則存在僅依賴(lài)于ρ的常數(shù)C＞0,使得

陸善鎮(zhèn)等在[4]中確立了粗糙奇異積分算子在齊次Morrey-Herz空間上的有界性.本文考慮了參數(shù)型Marcinkiewicz積分在齊次Morrey-Herz空間上的有界性.在給出主要結(jié)果之前，先介紹一些基本的概念和定義.

2 定理的證明

為了證明定理,先介紹下面引理.

[1]HO¨rmander L.Translation invariant operators[J].Acta Math,1960,104:93-139.

[2]Sakamoto M,Yabuta K.Boundedness of Marcinkiewicz functions[J].Studia Math,1999,135:103-142.

[3]程美芳,束立生.參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子在Lp空間上的有界性[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)半年刊,2005,22(1):134-142.

[4]Lu Shanzhen,Xu Lifang.Boundedness of rough singular integral operators on the homogeneous Morrey-Herz spaces[J].Hokkaido Mathematic Journal,2005,34(2):299-314.

[5]Ding Yong,Lu Shanzhen,Xue Qingying.On Marcinkiwicz integral with homogeneous kernels[J].Journal of Mathematical Analysis and Application,2000,245:471-488.

[6]Muckenhoupt B,Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractional inte-grals[J].Trans.Amer.Math.Soc.J.,1971,161：249-261.

PARAMETRIC MARCINKIEWICZ INTEGRAL ON HOMOGENEOUS MORREY-HERZ SPACES

WANG Hai-lian1,2WANG Liang-long1XIE Ru-long2
（1 School of Mathematical Science,Anhui University,Hefei Anhui 230039）（2 Department of Mathematics,Chaohu University,Chaohu Anhui 238000）

In this paper,it is proved that the parametric Marcinkiewicz integralis bounded on homogeneous Morrey-Herz spaces.

Morrey-Herz spaces;parametric Marcinkiewicz integral;Lr-Dini condition

O174.2

A

1672-2868（2012）03-0004-06

2012-03-16

安徽省高校自然科學(xué)基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：KJ2009A49；KJ2012B116)；巢湖學(xué)院教研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：Jyxm201127)

王海蓮（1981-），女，安徽定遠(yuǎn)人。安徽大學(xué)碩士研究生，研究方向：泛函微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)。

責(zé)任編輯：陳 侃