過(guò)家春

(1)安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，合肥 230036 2)江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，撫州344000)

基于第二類(lèi)橢圓積分的子午線弧長(zhǎng)反解新方法*

過(guò)家春1，2)

(1)安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，合肥 230036 2)江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，撫州344000)

基于第二類(lèi)橢圓積分及拉格朗日反演理論，推導(dǎo)出子午線弧長(zhǎng)反解的新方法。該方法為歸化緯度的余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，給出了子午線弧長(zhǎng)的分析解。算例表明，其收斂速度快，精度可靠，可以滿足實(shí)際應(yīng)用精度要求。

子午線弧長(zhǎng)反解;第二類(lèi)橢圓積分;拉格朗日反演;泰勒級(jí)數(shù);超幾何函數(shù)

1 引言

子午線弧長(zhǎng)反解問(wèn)題(圖1)是大地測(cè)量學(xué)、地圖學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域中的基礎(chǔ)性問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外關(guān)于這一問(wèn)題的計(jì)算方法主要分為4種類(lèi)型［1-4］，文獻(xiàn)［1］進(jìn)行了系統(tǒng)分析。當(dāng)前我國(guó)所采用的解法主要有牛頓迭代算法、基于三角級(jí)數(shù)回代理論的直接算法兩種［4］，主要用于求解高斯投影坐標(biāo)反算中的底點(diǎn)緯度［4，5］。已有學(xué)者指出這一問(wèn)題的算法仍然不夠簡(jiǎn)潔，沒(méi)得到完美的解決［6，7］。近年來(lái)，子午線弧長(zhǎng)反解的遞歸算法、Hermite插值方法、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)方法等［6-8］被提出。其中，文獻(xiàn)［6］及［7］中的級(jí)數(shù)展開(kāi)方法開(kāi)辟了子午線弧長(zhǎng)反解的新思路。筆者在文獻(xiàn)［9］中將子午線弧長(zhǎng)公式變換為第二類(lèi)橢圓積分的標(biāo)準(zhǔn)形式，并指出子午線弧長(zhǎng)反解的本質(zhì)實(shí)為第二類(lèi)橢圓積分的逆。本文將以此為基礎(chǔ)，引入拉格朗日反演理論，給出子午線弧長(zhǎng)反解的新方法。

圖1 子午線弧長(zhǎng)反解Fig.1 Inverse solution of the Meridian

2 理論基礎(chǔ)

2.1 子午線弧長(zhǎng)與第二類(lèi)橢圓積分之間的關(guān)系

在文獻(xiàn)［9］中，已經(jīng)得到:

式中，

為第二類(lèi)不完全橢圓積分。特別地，當(dāng)大地緯度B =90°時(shí)，四分之一橢球子午線弧長(zhǎng)為

為書(shū)寫(xiě)方便，本文以下簡(jiǎn)記為F。順便指出，按二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算子午線弧長(zhǎng)公式中的首項(xiàng)常系數(shù)A與F之間的關(guān)系為

若以歸化緯度μ為積分變量，則有

式中，θ為歸化緯度的余角，即θ=π/2-μ。特別地，當(dāng)μ=90°時(shí)，亦得式(3)。其中大地緯度B與歸化緯度μ之間的關(guān)系為

2.2 拉格朗日反演定理(Lagrange Inversion Theorem)［10-12］

若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)

且f'≠0，則其反函數(shù)x=f-1(y)在相應(yīng)的y0點(diǎn)的某一鄰域V(y0)內(nèi)也可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)

式中，記y0=f(x0)=f(0)(x0)。進(jìn)一步地，對(duì)于在鄰域U(x0)內(nèi)無(wú)窮可微的函數(shù)g(x)，也有

拉格朗日反演定理表明，在一階導(dǎo)不等于零的情況下，解析函數(shù)的反函數(shù)也可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。以下討論將以此為重要理論基礎(chǔ)。

3 基于第二橢圓積分的子午線弧長(zhǎng)反解公式推導(dǎo)

以式(6)為基礎(chǔ)，定義

這樣，子午線弧長(zhǎng)反解問(wèn)題即轉(zhuǎn)換為了第二類(lèi)橢圓積分的求逆問(wèn)題。

并構(gòu)造函數(shù)

這里，視函數(shù)f(x)是以θ、β為中間變量，以t為自變量的復(fù)合函數(shù)。易得

由于第二類(lèi)橢圓積分E(θ，e)在θ=0處可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，根據(jù)拉格朗日反演定理，函數(shù)(12)在t =0也可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)

式中，記f(0)(0)=f(0)。根據(jù)泰勒中值定理，該級(jí)數(shù)是收斂的，ξ是0與1之間的某個(gè)值。這里記f (t)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式為f(t)M，以區(qū)分式(13)。

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)于二階及二階以上導(dǎo)數(shù)有:

不難發(fā)現(xiàn)，各階導(dǎo)數(shù)中的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)均含有sinθ及sinβ因子，所以在t=0處有

此處記f(0)(0)=f(0)。由此，式(15)可化簡(jiǎn)為

上式二階以上導(dǎo)數(shù)的手工求解是比較困難的，筆者在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple中求得其前11階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)t=0處的值分別為

據(jù)此，可取近似值

因此可得

上式要求f(t)M≠0。顯然，當(dāng) f(t)M→0時(shí)，Bf→90°。實(shí)際上，當(dāng)S=S90°時(shí)也不必用此式反解。這里，反算結(jié)果記為μf及Bf，以區(qū)分正算，Bf亦對(duì)應(yīng)于高斯投影坐標(biāo)反算中的底點(diǎn)緯度。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，還可以根據(jù)精度需要，求出更高階導(dǎo)數(shù)。

另外，式(19)的系數(shù)是有規(guī)律可循的，其包含兩個(gè)整數(shù)數(shù)列:

1)特別地，當(dāng)e=0時(shí)，式(19)即化為sin［Farcsin(θ/F)］的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式的奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)值，其系數(shù)規(guī)律參見(jiàn)整數(shù)數(shù)列線上大全A008956［13］，即為式(19)的外部系數(shù)。

2)若上述討論中不再令t=sinβ，而將f(β)= sinθ視為以β為自變量的復(fù)合函數(shù)，則其麥克勞林展開(kāi)式為

顧及大地緯度B與歸化緯度μ之間的關(guān)系(6)，易得

求至11階的導(dǎo)數(shù)值為

經(jīng)驗(yàn)證，式(23)與式(18)比較，其收斂速度較慢，但其系數(shù)結(jié)構(gòu)為式(19)的內(nèi)部系數(shù)。該系數(shù)涉及第二類(lèi)橢圓積分，其規(guī)律需進(jìn)一步研究。

4 算例與分析

對(duì)于特定的地球橢球，以上給出的基于第二類(lèi)橢圓積分的子午線弧長(zhǎng)正反解公式中的E、F及式(18)的系數(shù)為涉及橢球第一偏心率e及相應(yīng)超幾何函數(shù)F的常數(shù)。在此，首先將我國(guó)幾個(gè)常用地球橢球正反解所涉及到的一些常量，及式(18)的系數(shù)列于表1。為便于誤差分析，表中小數(shù)點(diǎn)后取位較多(末位采用四舍五入法)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可根據(jù)精度需要對(duì)表中各參數(shù)數(shù)位進(jìn)行適當(dāng)取舍。

表1數(shù)據(jù)顯示，各種橢球下該級(jí)數(shù)的收斂速度都很快。以我國(guó)CGCS2000橢球?yàn)槔M(jìn)行反算驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果列于表2，f(t)M、μf及Bf的誤差曲線如圖2所示。

表2及圖2表明，式(18)收斂速度很快，反算大地緯度的誤差ΔB依賴(lài)于Δf，隨緯度增大而減小，呈非線性變化。在實(shí)際測(cè)量工作中，一般要求通過(guò)公式的解算精度應(yīng)高于觀測(cè)精度。按這樣的原則，大地緯度的解算精度應(yīng)不低于3.3×10-6″，即對(duì)應(yīng)的子午線弧長(zhǎng)精度不低于0.1 mm。經(jīng)計(jì)算分析，在緯度大于15°的地區(qū)，將級(jí)數(shù)展開(kāi)至9階導(dǎo)的緯度解算誤差在2.2×10-6″以內(nèi);在緯度大于1°的地區(qū)，將級(jí)數(shù)展開(kāi)至11階導(dǎo)，誤差在4.42×10-7″以內(nèi)。在我國(guó)地理緯度范圍，展開(kāi)至11階導(dǎo)即能滿足實(shí)際應(yīng)用要求，在緯度大于15°的地區(qū)展開(kāi)至9階導(dǎo)即可。

圖2 子午線弧長(zhǎng)反解新方法誤差曲線Fig.2 Error curves of the inverse solution of the Meridian Arc Length with the new methods

表1 涉及第二類(lèi)橢圓積分的常用地球橢球的一些常量Tab.1 Several constants of different ellipsoids related to the Elliptic Integral of the Second Kind

表2 基于第二類(lèi)橢圓積分的子午線弧長(zhǎng)反解新方法例證表Tab.2 Illustration of the new method for inverse solution of Meridian by Elliptic Integral of the Second Kind

在赤道附近，需展開(kāi)至更高階項(xiàng)方能達(dá)到上述精度要求，公式較為冗長(zhǎng)，解決的途徑是可按本文方法在β=π/2處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，此不贅述。

與現(xiàn)有的方法對(duì)比，本文的反解方法的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在:

1)提供了一種新的子午線弧長(zhǎng)反解直接算法，相對(duì)于傳統(tǒng)的3種直接算法精度有明顯提高:基于三角級(jí)數(shù)回代理論的直接算法、Helmert公式直接算法及表達(dá)為子午線弧長(zhǎng)S的多項(xiàng)式逼近算法的最弱精度分別約 1.3×10-5″、2.0×10-5″及 1.0× 10-4″［1，4］，本文算法精度如前所述，且可通過(guò)將級(jí)數(shù)展開(kāi)至更高階項(xiàng)，以達(dá)到任意精度的結(jié)算。

2)高斯超幾何函數(shù)的引入對(duì)子午線弧長(zhǎng)正反解理論的完善具有一定的推動(dòng)作用。首先，如式(5)所示，該參數(shù)出現(xiàn)在子午線弧長(zhǎng)的正解中。而在反解中，除在本文出現(xiàn)外，經(jīng)典的迭代算法及直接算法的初值實(shí)際為S/aF，也涉及該參數(shù)。在其他大地測(cè)量問(wèn)題中，該參數(shù)是否仍會(huì)出現(xiàn)，需進(jìn)一步研究。

3)新方法還主要體現(xiàn)在其分析特點(diǎn)。已有的直接算法、迭代算法、插值方法、高斯-勒讓德求積法等方法均屬于數(shù)值計(jì)算方法的范疇，事實(shí)上仍有許多其他的數(shù)值近似解方法可以用于子午線弧長(zhǎng)的反解計(jì)算，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用的精度要求。而本文方法為緯度函數(shù)的常系數(shù)、收斂的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以根據(jù)精度需要任意展開(kāi)，可擴(kuò)展性好。該方法屬于數(shù)學(xué)分析范疇，給出了子午線弧長(zhǎng)反解的分析解，是對(duì)已有方法的補(bǔ)充，并有助于研究子午線弧長(zhǎng)的函數(shù)規(guī)律。

5 結(jié)語(yǔ)

本文基于勒讓德第二類(lèi)橢圓積分，利用拉格朗日反演定理，將子午線弧長(zhǎng)反解問(wèn)題轉(zhuǎn)換為第二類(lèi)橢圓積分的求逆問(wèn)題，得到子午線弧長(zhǎng)反解的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)新方法，精度可靠，可以滿足實(shí)際應(yīng)用的精度要求。

1 朱華統(tǒng).底點(diǎn)緯度計(jì)算方法評(píng)述［J］.測(cè)繪通報(bào)，1978，5: 10-14.(Zhu Huatong.Review on the methods for calculating latitude of low points［J］.Bulletin of Surveying Mapping，1978，5:10-14)

2 Wolfgang Torge.Geodesy(3rd.)［M］.Berlin:Walter De Gruyter，2001:91-98.

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4 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2001，64-73.(Kong Xiangyuan，Guo Jiming and Liu Zongquan.Foundation of geodesy［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2001:64-73)

5 丁佳波.利用底點(diǎn)緯度進(jìn)行高斯投影換代計(jì)算［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，1993，22(3):212-217.(Ding Jiabo.The transforming the zones of Gauss projection from latitudes of low points［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1993，22(3):212-217)

6 易維勇，邊少峰，朱漢泉.子午線弧長(zhǎng)的解析型冪級(jí)數(shù)確定［J］.測(cè)繪學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，17(3):167-171.(Yi Weiyong，Bian Shaofeng and Zhu Hanquan.Determination of foot point latitude by analytic positive serires［J］.Journal of Institute of Surveying Mapping，2000，17(3):167-171)

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9 過(guò)家春，等.基于第二類(lèi)橢圓積分的子午線弧長(zhǎng)公式變換及解算［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2011，(4):94-98.(Guo Jiachun，et al.Calculating meridian arc length by transforming its formulae into elliptic integral of the second kind［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011，(4):94-98)

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11 http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem.

12 Ferraro G.Lagrange inversion theorem:The rise and development of the theory of series up to the early 1820s［M］.Springer，New York，2008.

13 Sloane N J A.The on-line Encyclopedia of Integer Sequence:http://oeis.org/A008956.

NEW METHOD FOR INVERSE SOLUTION OF MERIDIAN BASED ON ELLIPTIC INTEGRAL OF SECOND KIND

Guo Jiachun1，2)

(1)School of Science，Anhui Agricultural University，Hefei 230036 2)Jiangxi Province Key Lab.for Digital Land，F(xiàn)uzhou344000)

According to the theory of the elliptic integral of the second kind and Lagrange inversion theorem，we present a new method to solve the inverse problem of Meridian arc length，which is expressed by Taylor Series generated from the cosine function of reduced latitude.It gives a analytical solution for this problem.Numerical calculations are used to illustrate the accuracy of the method and the results show that it is applicable and useful in practice.

inverse solution of meridian;elliptic integrals of the second kind;Lagrange inversion theorem;Taylor series;hypergeometric function

1671-5942(2012)03-0116-05

2011-12-25

江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金資助項(xiàng)目(DLLJ201211);國(guó)家農(nóng)業(yè)信息化工程技術(shù)研究中心開(kāi)放課題(KF2010W40-046)

過(guò)家春，男，1981年生，碩士，講師，主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量學(xué)、地圖學(xué)與地理信息系統(tǒng).E-mail:guojiachun@ahau.edu.cn

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