莫文輝

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，湖北 十堰442002）

機(jī)械零件材料性能參數(shù)、幾何尺寸、受到的載荷都是隨機(jī)的?？紤]隨機(jī)因素的有限元稱為隨機(jī)有限元。CG方法與Monte Carlo方法有機(jī)的結(jié)合，使其成為分析結(jié)構(gòu)隨機(jī)有限元問(wèn)題的一種有效的方法［1，3－6］，具有計(jì)算精度高、收斂快的特點(diǎn)。

1 正態(tài)隨機(jī)變量的模擬

只要產(chǎn)生12個(gè)均勻發(fā)布的隨機(jī)數(shù)，將它們相加，再減去6，就能近似地得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的樣本值。

式中： μi，σi為均值和標(biāo)準(zhǔn)差；N（0,1）表示正態(tài)分布。

機(jī)械零件材料性能參數(shù)、幾何尺寸、受到的載荷被看著正態(tài)隨機(jī)變量。

2 CG 隨機(jī)有限元［1］

有限元的方程為

式中：［K］為整體剛度矩陣；｛δ｝為位移矩陣；｛F｝為載荷矩陣。

首先選取近似解作為初始值

計(jì)算初次殘差矢量

及矢量

其中［K］T為［K］的轉(zhuǎn)置矩陣。

｛δ｝的均值是

｛δ｝的方差為

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

目標(biāo)函數(shù)：

位移的約束條件：

設(shè)計(jì)變量的約束條件：

式中：目標(biāo)函數(shù)f（x）是使結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小，x指設(shè)計(jì)變量； ρ是材料的密度；V 是結(jié)構(gòu)的體積；〈μ{δt+Δt}〉,〈Var{δt+Δt}〉指動(dòng)態(tài)位移的均值和方差的上下界限；x和x是設(shè)計(jì)變量x的上下界限。

4 計(jì)算實(shí)例

圖1所示一個(gè)懸臂梁。長(zhǎng)度、寬度、高度、波松比、彈性模量、載荷F被看著正態(tài)隨機(jī)變量，它們的均值為1m,0.1m,0.05m,0.2， 2×1011N·m－2,100N，它們的標(biāo)準(zhǔn)差為0.2,0.1,0.1,0.01,109,0.1。懸臂梁受的載荷為F，被分解為400個(gè)矩形單元，具有505個(gè)節(jié)點(diǎn)。應(yīng)用懲罰函數(shù)法把約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題采用Powell方法。優(yōu)化的初始點(diǎn)為（1,0.1,0.05，0.2,2×1011），計(jì)算機(jī)迭代119次收斂。表1所示設(shè)計(jì)參數(shù)的比較。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)比較m

5 結(jié)論

設(shè)定材料性能參數(shù)、幾何尺寸、受到的載荷為正態(tài)隨機(jī)變量，運(yùn)用CG隨機(jī)有限元，給出了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。以懸臂梁為例進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，優(yōu)化效果明顯。

［1］ 莫文輝.機(jī)械振動(dòng)的隨機(jī)有限元方法 ［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，30（3）：318－324.

［2］ 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［3］ 莫文輝.線性振動(dòng)的隨機(jī)有限元研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)，2009.

［4］ Mo Wenhui.Stochastic Finite Element for Structural Vibration［J］.Mathematical Problems in Engineering，2010（3）:22－40.

［5］ MoWenhui.DynamicAnalysisofStochasticFiniteElement Based on Sensitivity Computation ［C］//International conference on Smart Materials and Intelligent Systems 2010.Chongqung:Advanced Materials Research Journal，2011,143－144:1264－1269.

［6］ 莫文輝.機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)與隨機(jī)有限元 ［M］.昆明：云南科技出版社，2010.