植曉琴，邱利民，甘智華，俞益波，曹強(qiáng)

（浙江大學(xué) 制冷與低溫研究所，浙江 杭州，310027）

脈管制冷機(jī)具有低溫端無(wú)運(yùn)動(dòng)部件的優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)，在空間技術(shù)、國(guó)防軍事、醫(yī)學(xué)醫(yī)療等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。作為制冷機(jī)的核心部件之一，脈管的理想功能是將冷端PV功無(wú)損失地傳到熱端，并且使這一過(guò)程無(wú)熵產(chǎn)[2]。而實(shí)際上，脈管內(nèi)不可避免地存在管壁與氣體之間的穿梭損失、管壁導(dǎo)熱損失、邊界層泵氣損失、氣體自身導(dǎo)熱損失、氣體溫度非均勻（冷熱混合）損失、環(huán)流損失以及阻力損失等[3?6]。Yang[5]計(jì)算出僅脈管內(nèi)的穿梭和泵氣損失占毛制冷量的20%～60%，嚴(yán)重削弱了脈管的制冷性能。研究表明：脈管損失和其結(jié)構(gòu)尺寸密切相關(guān)，合適的脈管體積和長(zhǎng)徑比可以降低其損失，提高膨脹效率[7?9]。與回?zé)崞飨啾?，脈管僅為1根空管，作用機(jī)理看似簡(jiǎn)單，目前與之相關(guān)的研究也較少，并存在一些不足。Kirkconnell等[9]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明脈管體積越大損失越小，但由于實(shí)驗(yàn)范圍有限，并沒(méi)有找出脈管的最佳體積。Junseok等[10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)體積小的脈管雖然能提高電功轉(zhuǎn)化效率，增大壓比，但脈管內(nèi)膨脹損失產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)更大，反而使整體性能變差。該實(shí)驗(yàn)中只采用了3種不同體積的脈管，并且改變了長(zhǎng)徑比，無(wú)法確定哪一個(gè)因素對(duì)制冷性能產(chǎn)生了影響。Jeheon等[11]推導(dǎo)了脈管體積的計(jì)算公式，對(duì)脈管設(shè)計(jì)有一定的指導(dǎo)意義，但該模型進(jìn)行了過(guò)多簡(jiǎn)化，不可避免地引起計(jì)算誤差。總體來(lái)說(shuō)，關(guān)于脈管結(jié)構(gòu)與膨脹效率的研究很少，也沒(méi)有研究指出脈管結(jié)構(gòu)對(duì)其熱損失的影響機(jī)制。尋找最佳脈管結(jié)構(gòu)尺寸需要進(jìn)行大量嘗試，探索其損失機(jī)理需要對(duì)內(nèi)部氣體的瞬態(tài)參數(shù)進(jìn)行分析，實(shí)驗(yàn)方法不適用。而脈管內(nèi)溫度分布和流動(dòng)的非線性特征也使得理論分析較困難。而數(shù)值模擬方法操作方便，并且對(duì)計(jì)算結(jié)果更容易分析。目前，脈管的數(shù)值模擬方法多為一維或假設(shè)管壁絕熱，包括脈管制冷機(jī)設(shè)計(jì)軟件Sage也是一維模型。一維模型忽略了管內(nèi)的溫度非均勻性和二次流，不能計(jì)算由附加環(huán)流以及溫度不均勻引起的熱損失。而常用的回?zé)崞髟O(shè)計(jì)軟件Regen在計(jì)算脈管制冷量時(shí)，僅采用經(jīng)驗(yàn)性的脈管系數(shù)對(duì)其膨脹效率進(jìn)行估算，脈管的體積則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取冷端掃氣容積的3～5倍。以上對(duì)脈管損失考慮不足都會(huì)使脈管的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)偏離實(shí)際最佳值，因此，采用更符合實(shí)際的數(shù)值模型研究脈管的結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)脈管制冷機(jī)的設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。為此，本文作者結(jié)合實(shí)際中脈管的非絕熱性（管壁與管內(nèi)氣體間存在非絕熱換熱損失）和管內(nèi)氣體溫度的非均勻性，基于 CFD方法建立80～300 K溫區(qū)脈管的二維非絕熱模型，研究一定冷端掃氣容積下與之匹配的最佳脈管體積，并根據(jù)脈管內(nèi)的溫度分布現(xiàn)象分析脈管體積對(duì)其熱損失的影響機(jī)理。

1 脈管的CFD模型

1.1 物理模型

本文建立的脈管模型參數(shù)來(lái)自現(xiàn)有的單級(jí)斯特林型脈管制冷機(jī)，包括冷端連管、冷端換熱器、脈管、熱端換熱器和熱端連管，如圖1（a）所示。絕熱模型假設(shè)無(wú)壁厚，即忽略管壁與管內(nèi)氣體間的換熱；非絕熱模型中脈管和兩端換熱器壁厚為0.34 mm，即考慮管壁與管內(nèi)氣體間的換熱。冷、熱端換熱器與連管之間采用錐形結(jié)構(gòu)過(guò)渡，內(nèi)部填料直徑為0.18 mm的銅絲網(wǎng)。脈管體積的取值Vpt與冷端掃氣容積Vexp關(guān)系如下：

其中：冷端掃氣容積Vexp指1個(gè)周期內(nèi)單向流入（或流出）脈管冷端的氣體總體積，此處為2.86×10?6m3。所有脈管的長(zhǎng)徑比固定為5，各部件參數(shù)如表1和表2所示（其中：Dpt，Lpt和Vpt分別為脈管直徑、長(zhǎng)度和體積）。

脈管的網(wǎng)格模型如圖1（b）所示。在錐形過(guò)渡區(qū)采用三角形網(wǎng)格，其他部位采用四邊形網(wǎng)格。為了更準(zhǔn)確地描述邊界層流動(dòng)特性，對(duì)脈管近壁面區(qū)域網(wǎng)格進(jìn)行加密處理。網(wǎng)格總數(shù)為3 472～4 280，網(wǎng)格的最大長(zhǎng)寬比小于3。

圖1 脈管結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of pulse tube model

表1 脈管模型中的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of pulse tube model

表2 圖1中D段脈管尺寸（長(zhǎng)徑比Lpt/Dpt=5）Table 2 Pulse tube dimension for part D in Fig.1

在80～300 K溫區(qū)，工質(zhì)氦氣作理想氣體處理。充氣壓力為2 MPa，工作頻率為40 Hz。進(jìn)口邊界條件采用正弦壓力波，溫度為80 K；出口邊界條件采用正弦質(zhì)量流，溫度為300 K，表達(dá)式如下：

其中：pm為周期壓力振幅；f為運(yùn)行頻率；mamp為周期質(zhì)量流振幅；φ為進(jìn)口壓力波與出口質(zhì)量流之間的相對(duì)夾角。對(duì)于所有模型，以上參數(shù)均為定值。冷、熱端換熱器采用多孔介質(zhì)模型，假設(shè)溫度恒定，分別為80 K和300 K。換熱器和進(jìn)出口連管壁面均為等溫邊界條件，脈管外壁面與外界為絕熱邊界條件。

1.2 基本控制方程

本模型流動(dòng)區(qū)域分為多孔介質(zhì)區(qū)域（冷熱端換熱器、錐形結(jié)構(gòu)）和非多孔介質(zhì)區(qū)域（進(jìn)出口連管和脈管），求解的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程如下[12?13]：

其中：φ為多孔介質(zhì)的空隙率；Sx和Sy分別表征軸向和徑向上由阻力損失引起的動(dòng)量損失；kf和ks分別為氣體和固體的導(dǎo)熱系數(shù)。對(duì)于非多孔介質(zhì)區(qū)域，φ=1，

Sx（y）=0；對(duì)于多孔介質(zhì)區(qū)域，阻力源項(xiàng)表示如下：

Dh為絲網(wǎng)填料水力直徑；C為絲網(wǎng)填料阻力系數(shù)。目前，關(guān)于絲網(wǎng)填料徑向的阻力特性研究很少。假設(shè)絲網(wǎng)阻力各向同性，徑向和軸向的阻力系數(shù)均采用文獻(xiàn)[14]中推薦的經(jīng)驗(yàn)公式：

其中：Re為雷諾數(shù)。本文選擇適合較寬范圍雷諾數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型計(jì)算。利用有限體積法采用全隱格式離散控制方程，求解器選擇壓力和速度耦合的PISO算法，離散格式對(duì)流項(xiàng)取二階迎風(fēng)格式，擴(kuò)散項(xiàng)為中心差分，對(duì)源項(xiàng)進(jìn)行線性化處理；殘差收斂標(biāo)準(zhǔn)氣體能量項(xiàng)和填料能量項(xiàng)為10?6，其他參數(shù)均為 10?3。當(dāng)脈管冷端溫度和焓流連續(xù) 10個(gè)周期內(nèi)的變化值均小于1%時(shí)，認(rèn)為計(jì)算穩(wěn)定。1個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間步為100，所有模型大約計(jì)算200個(gè)周期后趨于穩(wěn)定。

1.3 后處理參數(shù)

在膨脹過(guò)程中，若各種損失引起的不可逆熵產(chǎn)越小，則脈管的焓流越大，制冷量越大?；贑FD模型的計(jì)算結(jié)果，1個(gè)周期內(nèi)脈管的聲功和焓流進(jìn)行如下處理：

其中：τ為時(shí)間；N為1個(gè)周期內(nèi)迭代的時(shí)間步數(shù)；pi，vi，mi和hi分別為第i個(gè)時(shí)間步的壓力、體積流速、質(zhì)量流速和比焓。

2 結(jié)果分析

2.1 脈管膨脹效率及損失分布

不同體積的脈管膨脹效率計(jì)算結(jié)果如圖2所示。從圖2可見(jiàn)：對(duì)于絕熱模型，脈管的最佳體積為冷端掃氣容積的5倍，對(duì)應(yīng)的膨脹效率為77.3%；當(dāng)脈管的最佳體積為冷端掃氣容積的3～5倍時(shí)，脈管膨脹效率隨體積的增大而增大；為5～11倍時(shí)，膨脹效率隨著體積增大開(kāi)始緩慢減小，可以推斷在此范圍內(nèi)脈管已經(jīng)起到了較好的軸向絕熱和氣流隔離效果；隨著體積的增大，其效率主要受阻力損失的影響；當(dāng)大于 11倍時(shí)，脈管膨脹效率急劇減小。這是因?yàn)殡S著脈管體積的增大，過(guò)渡區(qū)錐度也變大，在脈管熱端造成了較強(qiáng)的射流損失；此外，較大的體積也增大了脈管的阻力損失。

圖2 體積比n與膨脹效率的變化關(guān)系Fig.2 Relationship between expansion efficiency and volume ratio

對(duì)于非絕熱模型，脈管的最佳體積范圍為冷端掃氣容積的10～11倍，11倍體積對(duì)應(yīng)的最高膨脹效率為67.7%，與絕熱模型相差較大。圖 3所示為非絕熱模型管壁熱損失隨脈管體積的變化關(guān)系。從圖3可以看出：在脈管體積為冷端掃氣容積的3～11倍時(shí)，脈管效率主要受管壁熱損失的影響；在5倍以下時(shí)，管壁熱損失可達(dá)總損失的 50%以上；當(dāng)大于 11倍時(shí)，增大體積對(duì)熱損失已無(wú)明顯影響，反而使得脈管內(nèi)射流損失急劇增大，與絕熱模型有相同趨式。可見(jiàn)：與絕熱模型相比，實(shí)際脈管需采用更大的體積減小管壁熱損失，提高其膨脹效率。在相同條件下，非絕熱模型計(jì)算的最佳脈管體積比理想絕熱模型的大。假設(shè)冷端聲功和回?zé)崞骼涠遂柿飨嗤?，若以絕熱模型的最佳體積5倍來(lái)設(shè)計(jì)脈管，則與實(shí)際非絕熱模型的最佳體積11倍相比，80 K的制冷量將比實(shí)際最佳值降低4.9 W，對(duì)應(yīng)的脈管效率將減小 17.2%。因此，傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為的脈管體積取冷端掃氣體積的3～5倍以及一維或絕熱模型都不能準(zhǔn)確地給出脈管的最佳膨脹體積。

圖3 體積比n與管內(nèi)損失的變化關(guān)系（非絕熱）Fig.3 Relationship between pulse tube losses and volume ratio in non-adiabatic case

2.2 不同體積脈管內(nèi)氣體溫度分布特性與熱損失分析

圖4中a，b，c和d點(diǎn)表示脈管冷端進(jìn)口壓力的4個(gè)狀態(tài)，圖5給出了其中a和c（分別代表壓縮過(guò)程、膨脹過(guò)程）狀態(tài)下脈管內(nèi)的溫度分布。對(duì)于理想的脈管，氣流為層流狀態(tài)，同一截面上溫度處處相等。然而，在實(shí)際脈管中（如圖 5所示），由于黏性邊界層的作用等溫線在近壁處產(chǎn)生明顯的彎曲，在近壁以外的主流區(qū)域，由于流動(dòng)不均勻，等溫線也出現(xiàn)彎曲。同一截面上溫度的非均勻性無(wú)疑增加了管內(nèi)氣體之間的不可逆換熱損失。

圖4 脈管冷端進(jìn)口壓力波Fig.4 Inlet pressure wave at pulse tube cold head

圖5 不同時(shí)刻脈管內(nèi)的溫度分布情況Fig.5 Temperature distribution at different moments

與斯特林制冷機(jī)相似，脈管中的熱損失主要包括氣體進(jìn)、出邊界層產(chǎn)生的泵氣損失和氣柱移動(dòng)導(dǎo)致的穿梭損失[15]。穿梭損失和泵氣損失與氣柱位移長(zhǎng)度、管壁溫度梯度有關(guān)[5?6]。對(duì)于相同的冷端掃氣容積，較小體積的脈管內(nèi)氣柱位移大，同時(shí)較短的脈管溫度梯度大，兩者都會(huì)使氣柱運(yùn)動(dòng)時(shí)氣體與管壁的溫差變大，增大穿梭損失。同樣，管內(nèi)氣體溫度梯度高且氣柱的位移大，導(dǎo)致邊界層內(nèi)氣體與管內(nèi)主流氣體溫差較大，從而產(chǎn)生更大的泵氣損失。

圖6所示為狀態(tài)a和c時(shí)，不同體積脈管內(nèi)近壁線（距管壁0.1 mm，屬于邊界層內(nèi)）和軸線上的溫度分布。從圖6可見(jiàn)：在壓縮、膨脹過(guò)程中，3倍體積脈管的近壁線和軸線的平均溫差分別為 15.3 K和 18.3 K，而11倍體積脈管內(nèi)兩者的溫差分別為5.5 K和8.6 K，明顯比3倍體積的脈管溫差小，11倍體積脈管內(nèi)的溫度分布更均勻。圖7所示為a和c狀態(tài)時(shí)，不同體積脈管內(nèi)近壁線和壁面的溫度分布。從圖7可見(jiàn)：對(duì)于3倍體積的脈管，氣體與壁面的溫差分別為13.1 K的12.7 K，遠(yuǎn)大于11倍體積脈管內(nèi)兩者的溫差。由上可知：3倍體積的脈管具有更大的泵氣損失和穿梭損失。

表3列出了非絕熱模型中不同體積脈管內(nèi)的平均溫差。當(dāng)n＜11時(shí)，隨著體積的增大，脈管內(nèi)各項(xiàng)溫差均逐漸變小，可見(jiàn)：較小體積脈管內(nèi)溫度存在更大的非均勻是其效率低于較大體積脈管效率的內(nèi)在原因；而當(dāng) n=13時(shí)，在壓縮過(guò)程中，由于熱端射流的影響，脈管軸線與近壁處氣體的溫差變大，造成效率急劇減小。

圖6 非絕熱下?tīng)顟B(tài)a和c時(shí)軸線和近壁處溫度分布Fig.6 Temperature distribution at axes and near wall region in non-adiabatic case at status a and c

圖7 非絕熱下?tīng)顟B(tài)a和c時(shí)壁面與近壁處的溫度分布Fig.7 Temperature distribution at wall and near wall region in non-adiabatic case at status a and c

表3 非絕熱模型中不同體積脈管內(nèi)的平均溫差Table 3 Average temperature difference of non-adiabatic pulse tubes with different volumes K

圖8所示為絕熱條件下3倍體積脈管內(nèi)的溫度分布情況。從圖6和圖8可以看出：對(duì)于相同體積的脈管，絕熱模型內(nèi)氣體的溫差要比非絕熱模型小得多；在壓縮、膨脹過(guò)程中，絕熱模型內(nèi)軸線和近壁面的平均溫差分別為0.7 K和1.6 K，同一截面上氣體的溫度更均勻?？梢?jiàn)：非絕熱模型中管壁與氣體的換熱影響了管內(nèi)氣體的溫度分布，使得近壁面氣體與內(nèi)部氣體的溫差變大。因此，管壁的非絕熱不僅帶來(lái)了穿梭熱損失，同時(shí)增大了近壁面的泵氣損失。而一維或絕熱模型無(wú)法反映這種溫差以及因溫差所產(chǎn)生的熱損失。

圖8 絕熱下?tīng)顟B(tài)a和c時(shí)軸線與近壁處的溫度Fig.8 Temperature distribution at axes and near wall region in adiabatic case at status a and c

3 結(jié)論

（1）建立了 80～300 K溫區(qū)脈管的二維非絕熱模型。通過(guò)計(jì)算得出實(shí)際非絕熱脈管的最佳體積范圍為冷端掃氣容積的10～11倍，不同于絕熱模型得出的3～5倍；管壁與氣體間非絕熱損失的存在使得脈管要達(dá)到較高的膨脹效率需采用更大的體積。脈管的非絕熱損失可占其總損失的50%以上，不可忽略，傳統(tǒng)的一維或絕熱模型都不能正確地給出脈管的最佳體積。

（2）在研究范圍內(nèi)，體積較小的脈管管壁與管內(nèi)氣體存在較大的溫差；同時(shí)，管內(nèi)氣體具有更強(qiáng)的溫度不均勻性，因而導(dǎo)致更大的熱損失，致使其脈管效率降低。

（3）與絕熱脈管相比，非絕熱脈管管壁與管內(nèi)氣體的換熱不僅造成穿梭損失，同時(shí)，改變了近壁氣體與中心氣體的溫差，增大了近壁面的泵氣損失。

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