陳江義，焦利明

(鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南鄭州450001)

0 引言

在工程實(shí)際中，由于系統(tǒng)之間耦合關(guān)系的存在，使得復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化存在著較大的困難，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)或常規(guī)的優(yōu)化方法是建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間往往存在相互競爭的關(guān)系，所以其中一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化效果得到改善，通常要以其他目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化效果的退化作為代價(jià)，因此它往往得不到整體最優(yōu)解［1］.多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(簡稱MDO)，可以有效地解決系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系，使得各個(gè)系統(tǒng)之間的設(shè)計(jì)優(yōu)化在設(shè)計(jì)變量彼此協(xié)調(diào)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)并行設(shè)計(jì).

在機(jī)床主軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，前人已做過很多工作，李陽星等［2］和陸海濤等［3］以主軸的質(zhì)量作為優(yōu)化目標(biāo)，分別采用了模糊優(yōu)化算法和粒子群算法進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化.郭辰光等［4］在分析主軸結(jié)構(gòu)和負(fù)載變形的情況下，用遺傳算法完成了主軸的參數(shù)優(yōu)化.Li等［5］針對最低成本和改進(jìn)后的主軸模型應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行了分析優(yōu)化.筆者提出用多學(xué)科設(shè)計(jì)方法進(jìn)行主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過建立一個(gè)兩級的優(yōu)化模型，利用協(xié)同優(yōu)化算法來解決多目標(biāo)的耦合與協(xié)調(diào)問題.

1 多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化算法

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法最早出現(xiàn)在航空領(lǐng)域，該技術(shù)充分利用各個(gè)子系統(tǒng)之間的協(xié)同效應(yīng)來獲得系統(tǒng)級的最優(yōu)解，通過實(shí)現(xiàn)并行設(shè)計(jì)來達(dá)到縮短設(shè)計(jì)周期的目的.協(xié)同優(yōu)化算法是美國Standford大學(xué)Kroo教授提出的一種基于一致性等式約束的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法.算法結(jié)構(gòu)是一個(gè)兩層優(yōu)化模型.子系統(tǒng)優(yōu)化模型之間相對獨(dú)立，只需要滿足子系統(tǒng)的約束條件，優(yōu)化目標(biāo)是使得子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)向量與系統(tǒng)級對應(yīng)優(yōu)化向量之間的歐式距離最小.其基本思想是:每個(gè)子系統(tǒng)在設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)可暫時(shí)不考慮其它子系統(tǒng)的影響，只需滿足本子系統(tǒng)的約束，優(yōu)化目標(biāo)是使該子系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化方案與系統(tǒng)級優(yōu)化提供的目標(biāo)方案的差異最小.各個(gè)子系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的不一致性，通過系統(tǒng)級優(yōu)化來協(xié)調(diào)，系統(tǒng)級優(yōu)化和子系統(tǒng)優(yōu)化之間經(jīng)過多次迭代，最終找到一個(gè)可行的最優(yōu)解.這種算法的優(yōu)點(diǎn)是取消了復(fù)雜的系統(tǒng)分析，各個(gè)子系統(tǒng)能夠進(jìn)行并行分析和優(yōu)化.其邏輯結(jié)構(gòu)如圖1所示.

由圖中可以看出，設(shè)計(jì)變量在系統(tǒng)級優(yōu)化模型和子系統(tǒng)級優(yōu)化模型之間相互傳遞，使系統(tǒng)級優(yōu)化在追求整個(gè)系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)最小的同時(shí)，滿足各個(gè)子系統(tǒng)的約束.

CO算法的數(shù)學(xué)描述為［6］:

對于系統(tǒng)級的優(yōu)化，給定X，Z為設(shè)計(jì)變量，其中Z是X對應(yīng)于子系統(tǒng)的輔助變量，系統(tǒng)級優(yōu)化模型為

式中:f為系統(tǒng)級模型的目標(biāo)函數(shù);J為系統(tǒng)級模型的約束條件.對于第i個(gè)子系統(tǒng)(i∈n)，優(yōu)化模型為

式中:Ji為該子系統(tǒng)模型的目標(biāo)函數(shù)，與系統(tǒng)級模型的第i個(gè)約束條件相對應(yīng);g為子系統(tǒng)模型的約束條件.

子系統(tǒng)優(yōu)化采用系統(tǒng)級設(shè)計(jì)變量分配值同子系統(tǒng)優(yōu)化解之間的差異最小作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，而系統(tǒng)級優(yōu)化的約束則使子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)趨近于零，從而得到系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu).

圖1 協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of collaborative optimization architecture

2 機(jī)床主軸多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)及約束條件

機(jī)床主軸一般為多支撐空心階梯軸，為了便于使用材料力學(xué)公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，通常的辦法是將階梯軸簡化為一當(dāng)量直徑表示的等截面軸.如圖2所示，設(shè)d和D分別為主軸內(nèi)徑和外徑，l為跨距，a為外伸端長度，y為撓度，F(xiàn)為作用在主軸外伸端處的載荷.

圖2 機(jī)床主軸變形簡圖Fig.2 The sketch of spindle deformation

為了方便與現(xiàn)有優(yōu)化方法進(jìn)行比較研究，在此采用文獻(xiàn)［7］的機(jī)床主軸設(shè)計(jì)參數(shù):d=45 mm，F(xiàn)=15 000 N，許用撓度［y］=0.125 mm，許用切應(yīng)力為［τ］=220 MPa，許用扭轉(zhuǎn)角［θ］=0.02 rad.主軸材料的密度為ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，剪切模量G=80 GPa.主軸轉(zhuǎn)速n=80 r/min，主軸輸入功率P=7.5 kW.根據(jù)上述參數(shù)可以建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)變量選為

在設(shè)計(jì)主軸時(shí)，主要考慮三方面因素:1)盡量減輕機(jī)床主軸的質(zhì)量，以減少材料消耗;2)保證主軸外伸端撓度盡量小，以提高加工精度;3)保證主軸的強(qiáng)度.為了獲得綜合最優(yōu)的設(shè)計(jì)結(jié)果，定義3個(gè)目標(biāo)函數(shù)，分別是主軸質(zhì)量、外伸端撓度和主軸切應(yīng)力.第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)為

第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)定義為

第三個(gè)目標(biāo)函數(shù)定義為

其中，T為軸所受扭矩，T=9 550P/n;Wn為抗扭截面模量

在主軸設(shè)計(jì)時(shí)，常采用以下約束條件:

1)剛度約束.在給定機(jī)床精度的條件下，要求外伸端撓度不超過主軸的許用撓度規(guī)定值:

2)軸外伸端扭轉(zhuǎn)角約束不超過許用值:

3)強(qiáng)度約束，主軸切應(yīng)力不超過許用值:

4)邊界約束

2.2 多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化模型

將該優(yōu)化問題分為1個(gè)系統(tǒng)級模型和3個(gè)子系統(tǒng)模型，子系統(tǒng)依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)和所含約束的數(shù)目不同來劃分.在標(biāo)準(zhǔn)協(xié)同優(yōu)化算法中采用的是一致性等式約束，這只是一種理想的狀態(tài)，很難同時(shí)滿足.為了便于協(xié)同優(yōu)化算法的快速收斂，在系統(tǒng)級模型中引入一個(gè)松弛因子ε(一個(gè)很小的正實(shí)數(shù))，將一致性等式約束轉(zhuǎn)化為不等式約束.轉(zhuǎn)化后的多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化模型為兩級結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)級模型為

其中 y1、y2、y3、z1、z2、z3為多學(xué)科耦合的輔助變量.然后，利用3個(gè)目標(biāo)函數(shù)分別建立3個(gè)子系統(tǒng)模型，第一個(gè)模型為

第二個(gè)模型為

第三個(gè)模型為

子系統(tǒng)1和2的設(shè)計(jì)變量均為 x1、x2、x3，子系統(tǒng)3的設(shè)計(jì)變量為x1.其中x1為共享設(shè)計(jì)變量，x2、x3為局部耦合變量.

3 計(jì)算結(jié)果及分析

在iSIGHT平臺上，利用協(xié)同優(yōu)化算法，進(jìn)行機(jī)床主軸參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算，流程如圖3所示.系統(tǒng)級和子系統(tǒng)級模型的優(yōu)化均采用序列二次規(guī)劃法.變量的初值取 X = [100 mm，470 mm，110 mm ]T，設(shè)計(jì)變量的上下限分別取Dmin=50 mm，Dmax=150 mm，lmin=210 mm，lmax=600 mm，amin=90 mm，amax=150 mm，經(jīng)過109次協(xié)調(diào)迭代后，得到優(yōu)化結(jié)果如表1所示.各子系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)迭代過程分別如圖4～6所示.

圖3 協(xié)同優(yōu)化算法計(jì)算流程圖Fig.3 Process of collaborative optimization algorithm

表1 優(yōu)化結(jié)果比較Tab.1 Comparing results of optimization

從優(yōu)化結(jié)果來看，主軸質(zhì)量的改變主要是由直徑的變化來引起的，兩支撐的跨距和外伸端長度并未改變.雖然主軸切應(yīng)力和外伸端撓度變化不大，但主軸的質(zhì)量卻有明顯的降低，下降了11.8%.從圖4和5可以看出，兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的迭代過程是相互制約的，一個(gè)值變大時(shí)另一個(gè)值要變小，而多學(xué)科優(yōu)化方法可以很好的協(xié)調(diào)這種制約關(guān)系，從而保證了主軸結(jié)構(gòu)和性能的綜合最優(yōu).

圖6 子系統(tǒng)3目標(biāo)函數(shù)Fig.6 The object function of sub-system 3

4 結(jié)論

(1)將多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化算法引入到機(jī)床主軸的多目標(biāo)設(shè)計(jì)中，在保證機(jī)床主軸有較好的剛度和強(qiáng)度的同時(shí)，使得主軸的質(zhì)量降低了11.8%，優(yōu)化效果十分明顯.

(2)對主軸的優(yōu)化只涉及了結(jié)構(gòu)和性能，是一種近似分析方法，對于一些工程實(shí)際中受力、形狀和支撐都比較復(fù)雜的軸，要獲得綜合最優(yōu)解，需要考慮各方面因素.

［1］ 李玥.基于多目標(biāo)遺傳算法的航空發(fā)動機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化控制［D］.南京:南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，2007.

［2］ 李陽星，李光煜.車床主軸的模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.煤礦機(jī)械，2003，3(2):3-5.

［3］ 陸海濤，董玉革.基于粒子群算法的機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.煤礦機(jī)械，2008，32(8):33-35.

［4］ 郭辰光，王鵬家，田鵬，等.基于遺傳算法的數(shù)控機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，32(6):850-853.

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［7］ 李萬詳.工程優(yōu)化設(shè)計(jì)與MATLAB實(shí)現(xiàn)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010:265-268.