黃 斌 余曉芬 黃 英 黃海陽 張文偉

1.合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009 2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥，230026

0 引言

多維力傳感器主要用來測量空間力沿坐標(biāo)軸的力分量和力偶分量［1－3］。有代表性的多維力傳感器類型有美國Draper試驗(yàn)室研制的基于電阻應(yīng)變片的豎梁結(jié)構(gòu) Waston六維力／力矩傳感器和斯坦福大學(xué)人工智能研究所設(shè)計(jì)的橫梁結(jié)構(gòu)Scheinman六維力／力矩傳感器［4－5］；Hirose等［6］研制的一種光學(xué)六維力傳感器，采用光學(xué)測量方法測出六橫梁的微小變形，從而計(jì)算出六維力。

測量精度不高是各種類型多維力傳感器共同存在的一個(gè)缺憾。從已有的各種類型多維力傳感器結(jié)構(gòu)上看，受力體與各維測力敏感部位之間都是固體連接，難以避免各維測力敏感部位之間的聯(lián)動(dòng)效應(yīng)，傳感器測力時(shí)的測量結(jié)果包含有與被測力方向垂直的寄生力成分，即產(chǎn)生耦合現(xiàn)象。耦合與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和制造過程諸多因素有關(guān)，是個(gè)很復(fù)雜的非線性問題，雖然通過解耦可以較大幅度減小維間耦合誤差［7］，但無法實(shí)現(xiàn)完全解耦［8］。目前應(yīng)用最廣的電阻應(yīng)變片式三維力／六維力傳感器經(jīng)過解耦后測量的相對(duì)誤差精度只能達(dá)到1%［9－10］。

本文從如何避免多維力測量時(shí)的耦合現(xiàn)象角度提出了氣浮式測力方法［11－12］。用氣浮式測力方法測量三維力，受力體依靠氣體產(chǎn)生的浮力而懸浮平衡，各個(gè)測力敏感部位之間不存在固體連接，因而不存在維間耦合現(xiàn)象，可較大幅度地提高多維力的測量精度。

1 一維氣浮測力模型

氣浮測力需要設(shè)置噴嘴－浮板機(jī)構(gòu)，通過測量噴嘴－浮板機(jī)構(gòu)中特定部位的壓力、流量、流速等氣流參數(shù)，來求得作用在浮動(dòng)體上外力的大小。本文研究的一維氣浮測力模型如圖1所示，它包括浮板、主噴嘴、承壓腔、測壓口和橫向噴嘴等部分。浮板底面與側(cè)面垂直，主噴嘴與橫向噴嘴垂直，各噴嘴分別正對(duì)浮板底面和側(cè)面。具有一定壓力的氣流經(jīng)主噴嘴流入主噴嘴與浮板之間的承壓腔和縫隙，在主噴嘴和浮板底面之間形成氣墊，浮起浮板；橫向噴嘴對(duì)稱布置在浮板的側(cè)面，具有一定壓力的氣流經(jīng)橫向噴嘴，在橫向噴嘴與浮板側(cè)面之間形成氣墊，使浮板橫向保持平衡。該模型實(shí)質(zhì)是一個(gè)由主噴嘴和浮板組成的噴嘴－浮板機(jī)構(gòu)，橫向噴嘴只起橫向穩(wěn)定浮板的作用。建立的直角坐標(biāo)系如圖1所示，主噴嘴對(duì)浮板產(chǎn)生的浮力沿Y方向，橫向噴嘴對(duì)浮板產(chǎn)生的浮力沿X方向。通過測量承壓腔中的氣體壓力，可求出作用在浮板上的外力在Y方向上分量的大小。根據(jù)流體承載的特性，承壓腔與浮板之間的氣墊只能承受正壓力而不能承受剪切力，橫向力對(duì)測量結(jié)果不會(huì)形成干擾。

圖1中，設(shè)氣浮噴嘴和浮板為圓形，r1為承壓腔半徑，r2為主噴嘴半徑，h為噴嘴與浮板之間的氣膜厚度，pd為承壓腔內(nèi)的氣體壓力，pa為周邊環(huán)境氣壓，pc為橫向噴嘴的供氣壓力，F(xiàn)為作用在浮板上的外力沿Y方向的分量，v為噴嘴與浮板之間沿半徑方向的氣體流動(dòng)速度。在建立F與pd之間數(shù)學(xué)模型時(shí)可假設(shè)［13］：由加速度引起的慣性力同黏性剪切機(jī)理引起的摩擦力相比可忽略不計(jì)；氣膜中的氣體流動(dòng)為層流；垂直于氣流的截面上的壓力是恒定的；在流體與板之間的界面上不存在滑動(dòng)。根據(jù)諾維—斯多克斯方程，距離噴嘴中心r處，有

式中，μ為氣體的動(dòng)力黏度；p為氣體壓力。

對(duì)上式積分，并注意到當(dāng)y＝0，y＝h時(shí)，v＝0，可得

設(shè)氣體的密度為ρ，則流過半徑r、氣膜厚度為h的環(huán)流面積的質(zhì)量流量qm為

由式（2）得

假定氣流不可壓縮，處于半徑r（r1≤r≤r2）處的縫隙中的氣體壓力可通過對(duì)式（3）積分得到：

當(dāng)r＝r2時(shí)，p＝pa，所以有

將式（5）代入式（4）得

一維氣浮測力模型的承載力F為

式（7）說明，對(duì)于給定的一維氣浮測力模型，承載力F只與噴嘴—浮板機(jī)構(gòu)中氣體承壓腔內(nèi)的氣體壓力pd有關(guān)，通過測量pd可以求得F的大小。

2 三維力矢量氣浮式測量模型

2.1 三維力矢量氣浮式測量原理

根據(jù)力的分解與合成原理，在某個(gè)三維直角坐標(biāo)系OXYZ中，任意一個(gè)力矢量F可以向坐標(biāo)原點(diǎn)O簡化，得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩。如圖2所示，在直角坐標(biāo)系OXYZ中，設(shè)有力矢量F，F(xiàn)通過空間某一點(diǎn)（x，y，z），則F簡化到O 點(diǎn)的主矢FO和主矩MO分別為

式中，F(xiàn)X、FY、FZ分別為力矢量F 沿坐標(biāo)軸X、Y、Z的分量；MX、MY、MZ分 別 為 主 矩 MO沿 坐 標(biāo) 軸 X、Y、Z 的分量。

由式（8）、式（9）可知，通過測量出力矢量F沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分力以及繞三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩可以求出矢量F。

力矢量的氣浮式測量模型如圖3所示：用16個(gè)結(jié)構(gòu)相同的氣浮噴嘴將一塊矩形六面體結(jié)構(gòu)的浮板完全浮起，每個(gè)噴嘴正對(duì)浮板，形成一個(gè)一維氣浮—浮板機(jī)構(gòu)。以浮板幾何中心為原點(diǎn)建立三維直角坐標(biāo)系OXYZ，其中，X軸垂直于浮板左右側(cè)面，Y軸垂直于浮板的前后側(cè)面，Z軸垂直于浮板的上下面。噴嘴按2個(gè)一組相對(duì)、共線布置的方式對(duì)稱布置在浮板的左右兩側(cè)面、前后兩側(cè)面和上下兩表面。浮板的前后面布置2組噴嘴，左右面布置2組噴嘴，上下面布置4組噴嘴。圖3中，箭頭表示氣浮噴嘴布置方向，即噴嘴產(chǎn)生的氣體壓力的方向，其中，正對(duì)浮板前后側(cè)面布置的2組噴嘴在OXY平面內(nèi)，噴嘴中心到X軸的距離為l；正對(duì)浮板左右側(cè)面布置的2組噴嘴在OXY平面內(nèi)，噴嘴中心到Y(jié)軸的距離為l；正對(duì)浮板上下側(cè)面布置的4組噴嘴中心到X軸和Y軸的距離均為l。通過差動(dòng)測量各組噴嘴中兩個(gè)氣浮承壓腔內(nèi)的氣體壓力差值可求取作用在浮板上力矢量F沿X、Y、Z軸的3個(gè)分力和繞X、Y、Z軸的3個(gè)力矩。

2.2 三維力矢量的求取

在圖3所示的力矢量氣浮式測量模型中，通過浮板中心建立的坐標(biāo)系OXYZ如圖3所示。設(shè)浮板4個(gè)拐角處的浮力的交匯點(diǎn)分別為A、B、C、D，且各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（l，－l，0）、B（l，l，0）、C（－l，－l，0）、D（－l，l，0）；記通過A點(diǎn)、C點(diǎn)且沿X方向布置的一組噴嘴差動(dòng)測量得出的力為FCA，F(xiàn)CA方向由C指向A為正；通過D點(diǎn)、B點(diǎn)且沿X方向布置的一組噴嘴差動(dòng)測量得出的力為FDB，F(xiàn)DB方向由D指向B為正；通過A點(diǎn)、B點(diǎn)且沿Y方向布置的一組噴嘴差動(dòng)測量得出的力為FAB，F(xiàn)AB方向由A指向B為正；通過C點(diǎn)、D點(diǎn)且沿Y方向布置的一組噴嘴差動(dòng)測量得出的力為FCD，F(xiàn)CD方向由C指向D為正；正對(duì)浮板上下表面布置的每組氣浮測力噴嘴測量得出的沿Z軸正方向的力分別為FAZ、FBZ、FCZ、FDZ。于是，在X、Y、Z軸方向上測出的力FX、FY、FZ為

設(shè)作用在浮板上某點(diǎn)的外力為R，R沿X、Y、Z軸的3個(gè)分力和繞X、Y、Z軸的3個(gè)力矩分別記為RX、RY、RZ以及M′X、M′Y、M′Z，F(xiàn)CA、FDB、FAB、FCD繞Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力臂為l，F(xiàn)AZ、FBZ、FCZ、FDZ繞X軸和Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力臂均為l，則有

R的大小以及與X、Y、Z坐標(biāo)軸正向夾角α、β、γ的方向余弦分別為

設(shè)浮板表面在OXYZ坐標(biāo)系中的方程是z＝z0，若R在X、Y、Z方向上的分力均不為零，作用在浮板表面的作用點(diǎn)坐標(biāo)是（x0，y0，z0），則有

解式（15）可解得

若R作用在浮板表面上，即R在Z軸方向上的分力RZ為零，但在X、Y方向上的分力RX、RY不為零，則R與OXZ平面的交點(diǎn)坐標(biāo)（x0，z0）由下式求出：

R與OYZ平面的交點(diǎn)坐標(biāo)（y0，z0）由下式求出：

若R作用在浮板表面上且與X軸平行，則R偏離Z軸的距離可由式（20）求出；若R作用在浮板表面上且與Y軸平行，則R偏離Z軸的距離可由式（18）求出。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)力矢量氣浮式測量模型研制的氣浮式力矢量測量平臺(tái)如圖4所示。在氣浮式力矢量測量平臺(tái)的浮板上加載已知的力矢量，直接測出的是各組氣浮承壓腔內(nèi)的氣體壓力差值，由式（10）～式（21）可以得出作用在浮板上的力矢量的測量值。在研制的氣浮式力矢量測量平臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過程中，各組加載力的大小、方向和作用點(diǎn)的坐標(biāo)如表1所示?？紤]到氣浮式力矢量測量平臺(tái)在X方向和Y方向具有完全對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，沿坐標(biāo)軸加載實(shí)驗(yàn)只需沿X方向和Z方向進(jìn)行。加載點(diǎn)選擇在浮板表面不同的位置；根據(jù)所研制的氣浮式力矢量測量平臺(tái)具體結(jié)構(gòu)尺寸，浮板表面在圖3所示的坐標(biāo)系中的方程為z＝10mm。

表1 氣浮式測力平臺(tái)加載方向及加載點(diǎn)實(shí)驗(yàn)

分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得：沿坐標(biāo)軸方向加載時(shí)，其他坐標(biāo)軸方向測量值均為零，這表明氣浮式測力平臺(tái)測力時(shí)不存在維間耦合現(xiàn)象，符合理論預(yù)期?？臻g力矢量測量的誤差如下：力的相對(duì)誤差為0.2%，力的方向誤差為0.5°，力的作用點(diǎn)坐標(biāo)值誤差為±0.05mm。

4 結(jié)語

提出了一種基于氣浮測力原理的三維空間里任意力矢量的精密測量方法，設(shè)計(jì)了一種測量力矢量的氣浮式測力平臺(tái)模型，推導(dǎo)得出了作用在氣浮式測力平臺(tái)上力矢量的計(jì)算公式；研制了力矢量的氣浮式測力平臺(tái)樣機(jī)，通過實(shí)驗(yàn)得出，氣浮式測力平臺(tái)測力時(shí)不存在維間耦合?？臻g力矢量測量的相對(duì)誤差如下：力的大小誤差為0.2%，力的方向誤差為0.5°，力的作用點(diǎn)坐標(biāo)值誤差為±0.05mm。

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