李宏勝 劉 娣 滕福林 黃家才 張建華

南京工程學(xué)院，南京，211167

0 引言

許多運(yùn)動控制系統(tǒng)需進(jìn)行沿某軌跡的重復(fù)運(yùn)動，例如數(shù)控機(jī)床沿一定的軌跡重復(fù)加工零件，機(jī)械手重復(fù)執(zhí)行某一運(yùn)動過程。通常的控制算法并未考慮此類運(yùn)動的重復(fù)特性，每一次運(yùn)行跟隨誤差都重復(fù)產(chǎn)生，跟蹤精度不高。而且由于控制對象存在非線性因素且模型具有不確定性，因而使得設(shè)計高性能的常規(guī)控制器較為困難。迭代學(xué)習(xí)控制是一種較新的智能控制方法，它首先由Arimoto［1］提出并應(yīng)用于機(jī)械手的控制中。近年來迭代學(xué)習(xí)控制理論體系越來越成熟［2］，應(yīng)用日益廣泛。

迭代學(xué)習(xí)控制的基本思想是，通過學(xué)習(xí)每次運(yùn)動的誤差，對控制量進(jìn)行前饋修正，從而在下次運(yùn)動時提高運(yùn)動的精度。它不需要精確的系統(tǒng)模型，對系統(tǒng)的未建模特性具有一定的魯棒性，實時計算量小，在一定的條件下可保證迭代收斂。迭代學(xué)習(xí)控制通常要求運(yùn)動軌跡、初始條件和系統(tǒng)特性具有重復(fù)性，并要有足夠的存儲器來存儲上次運(yùn)動控制的信息［3－4］。

概率方法、模糊方法和區(qū)間方法是目前不確定性建模的三種主要方法。概率方法和模糊方法均需要有足夠的數(shù)據(jù)來分別確定不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的概率密度或隸屬度函數(shù)，區(qū)間方法是把這些不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)視為未知變量，并在具有已知邊界的區(qū)間內(nèi)取值。參數(shù)區(qū)間不確定性迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)收斂性的研究主要集中在穩(wěn)定性（asymptotic stability）和單調(diào)收斂性（monotonic convergence）上。本文討論了參數(shù)區(qū)間不確定性迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)（IILC）的單調(diào)收斂性問題。

1 迭代學(xué)習(xí)控制的單調(diào)收斂性

z傳遞函數(shù)描述的離散線性時不變系統(tǒng)為

其中，hi為H（z）的Markov參數(shù)，理想輸出信號為yd（t），第k次迭代學(xué)習(xí)控制的輸入、輸出分別為uk（t）、yk（t），ek（t）＝y(tǒng)d（t）－yk（t），t為離散時間變量，t∈ ［0，N］。

定義超向量（Supervectors）［5-9］：

則Yk＝HpUk，其中Hp為由系統(tǒng)Markov參數(shù)組成的N×N矩陣：

迭代ILC算法的目標(biāo)是根據(jù)第k次及以前的信息計算出第k＋1次的控制輸入uk＋1，使其收斂至u＊（t），并使得ek（t）＝y(tǒng)d（t）－yk（t）收斂到零。超向量法（supervector）將二維（時間軸、迭代軸）問題轉(zhuǎn)換為一維多輸入多輸出問題。超向量表達(dá)的一般迭代學(xué)習(xí)控制為

上述學(xué)習(xí)矩陣L的不同選擇方法對應(yīng)不同的ILC學(xué)習(xí)算法，顯然，當(dāng)γij＝0（i≠j）、γij＝γ（i＝j(luò)）時為Arimoto算法。

定義T為列向量h＝（h1，h2，…，hN）T到下三角陣Hp的Toeplitz變換，即Hp＝T（h）。

設(shè)l＝［k1，k2，…，km，0，0，…，0］T∈RN×1，m為ILC算法的階次，取L＝T（l）為ILC算法學(xué)習(xí)矩陣。

考慮離散高階ILC算法（式（2）），則

因此，ILC單調(diào)收斂的充分必要條件為相應(yīng)的范數(shù)小于1，即

2 區(qū)間魯棒迭代學(xué)習(xí)控制的單調(diào)收斂性

對于區(qū)間矩陣集合：

其頂點矩陣集合：

對區(qū)間魯棒迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和單調(diào)收斂性的討論即為對給定的HIp進(jìn)行討論。顯然，對Arimoto型迭代學(xué)習(xí)控制，穩(wěn)定性的充要條件為

對一般區(qū)間魯棒迭代學(xué)習(xí)控制，設(shè)P＝I－Hp?L，則其穩(wěn)定性的充要條件為PI＝I－HIp?L的譜半徑小于1。而區(qū)間矩陣PI＝I－HIp?L的譜半徑為P∈Pv的某個譜半徑。

時區(qū)間魯棒迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)l∞范數(shù)意義單調(diào)收斂，其中，Hv為Markov頂點矩陣。對離散高階ILC算法（式（2）），PD型ILC算法（m＝2）為［6］

3 數(shù)字仿真研究

圖1 系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（a＝0.80）

圖2 系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（a＝0.72）

圖3 系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（a＝0.55）

對上述區(qū)間不確定系統(tǒng)a ∈ ［0.55，0.80］，采用式（5）離散二階ILC算法：

（1）選取控制參數(shù)k1＝0.90、k2＝－0.59［6］，當(dāng)a＝0.80（上界）時，‖I－HpL‖∞＝0.28＜1，其輸出軌跡及軌跡誤差范數(shù)如圖4、圖5所示。可見，迭代學(xué)習(xí)控制取得了良好的單調(diào)收斂性能。當(dāng)a＝0.72時，‖I－HpL‖∞＝0.46＜1，其軌跡誤差范數(shù)如圖6所示。 當(dāng)a＝0.55（下界）時，‖I－HpL‖∞＝1.07＞1，其軌跡誤差范數(shù)如圖7所示。可見，當(dāng)參數(shù)區(qū)間變化至下界時，不滿足式（4）條件，迭代學(xué)習(xí)控制不滿足單調(diào)收斂的要求。

圖4 隨迭代次數(shù)增加，系統(tǒng)輸出曲線

圖5 隨迭代次數(shù)增加，誤差范數(shù)的變化

圖6 隨迭代次數(shù)增加，誤差范數(shù)的變化

圖7 隨迭代次數(shù)增加，誤差范數(shù)的變化

（2）選 取k1＝0.80、k2＝－0.59，當(dāng)a ＝0.80（上界）時，‖I－HpL‖∞＝0.41＜1，其輸出軌跡及軌跡誤差范數(shù)如圖8、圖9所示。當(dāng)a＝0.72，‖I－HpL‖∞＝0.34＜1，其輸出軌跡及軌跡誤差范數(shù)如圖10所示。當(dāng)a＝0.55（下界）時，‖I－HpL‖∞＝0.746＜1，其軌跡誤差范數(shù)如圖11所示?？梢?，當(dāng)參數(shù)取上下界時，均滿足式（4）條件，迭代學(xué)習(xí)控制滿足區(qū)間單調(diào)收斂的要求。

圖8 隨迭代次數(shù)增加，系統(tǒng)輸出曲線

圖9 隨迭代次數(shù)增加，誤差范數(shù)的變化

圖10 隨迭代次數(shù)增加，系統(tǒng)輸出曲線

圖11 隨迭代次數(shù)增加，誤差范數(shù)的變化

4 結(jié)語

本文研究了區(qū)間不確定離散線性時不變系統(tǒng)的魯棒迭代學(xué)習(xí)控制（IILC）算法的單調(diào)收斂性，并針對常見的離散PD型ILC算法，給出了在l∞范數(shù)意義下區(qū)間不確定性迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)單調(diào)收斂性的判斷方法。仿真實例說明，當(dāng)Markov參數(shù)組成的頂點矩陣滿足單調(diào)收斂性條件時，區(qū)間不確定系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制具有魯棒單調(diào)收斂性。

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