宋孟軍 張明路

河北工業(yè)大學(xué)，天津，300130

0 引言

并聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解相對(duì)困難，且多數(shù)情況下正解的存在并不唯一，而并聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的求解相對(duì)簡(jiǎn)單，這與串聯(lián)機(jī)器人串聯(lián)機(jī)構(gòu)的求解恰好相反，但并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和逆解的求解，相對(duì)于串聯(lián)機(jī)構(gòu)均要略顯復(fù)雜，尤其是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解。并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的求解暫無統(tǒng)一、有效且較為簡(jiǎn)便的數(shù)值或幾何求 解方法［1－2］。趙杰等［3］利用幾何方法對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行了求解，可得到工作空間內(nèi)滿足運(yùn)動(dòng)連續(xù)性條件的唯一解；文獻(xiàn)［4－5］同樣利用代數(shù)消元和代數(shù)幾何方法對(duì)6－6型Stewart并聯(lián)機(jī)器人和五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解。雖然并聯(lián)機(jī)構(gòu)的數(shù)值求解方法可以求解出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解精確解，但是計(jì)算過程繁瑣，計(jì)算結(jié)果變量多，存在多解擇優(yōu)等問題。幾何求解方法可以通過解算并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系來較為簡(jiǎn)捷地求解出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，且正解唯一，但幾何求解方法一般應(yīng)用于結(jié)構(gòu)較為特殊的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，缺乏廣泛的適應(yīng)性驗(yàn)證。鑒于此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、粒子群算法等控制學(xué)算法被引入到并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解中。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法［6－7］可以避免復(fù)雜的公式推導(dǎo)，求解簡(jiǎn)單，但需借助運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解并利用逆解結(jié)果進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí)；遺傳算法［8－9］能夠優(yōu)化出并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的全部實(shí)數(shù)解，且穩(wěn)定性較好，但存在過早收斂、收斂速度緩慢等問題；粒子群算法［10－11］能夠進(jìn)行全局優(yōu)化，且代碼易于實(shí)現(xiàn)，但容易陷入局部極值、存在進(jìn)化后期收斂速度放慢等問題；

李曉磊等［12］于2002年提出了以覓食行為、聚群行為、追尾行為和隨機(jī)行為為特征的魚群算法，這是一種新型的集群智能算法，能夠加快收斂速度，防止局部停滯振蕩，并能夠跳出局部極值進(jìn)行全局尋優(yōu)。在電力系統(tǒng)配電網(wǎng)規(guī)劃、水資源聯(lián)合調(diào)配、無線傳感網(wǎng)絡(luò)覆蓋優(yōu)化、圖像處理等領(lǐng)域［13－17］取得了良好的應(yīng)用效果。

本文應(yīng)用空間解析幾何方法求解出仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的解析解，并應(yīng)用人工魚群算法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行了求解，并對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

本文所研究對(duì)象為一種具有變形關(guān)節(jié)的新型多足移動(dòng)機(jī)器人，通過變形關(guān)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)多種運(yùn)動(dòng)模式，具有較強(qiáng)的地面適應(yīng)能力，該移動(dòng)機(jī)器人具有6條結(jié)構(gòu)相同的變形輪腿，所以又兼具輪式移動(dòng)機(jī)器人和腿式移動(dòng)機(jī)器人的特點(diǎn)，如圖1所示。變形移動(dòng)機(jī)器人腿部為串聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有4個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，依據(jù)仿生學(xué)原理而建立，多腿協(xié)調(diào)可以模仿多種動(dòng)物進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，因此本文稱此種移動(dòng)機(jī)器人為仿生移動(dòng)機(jī)器人，此種機(jī)構(gòu)為仿生移動(dòng)機(jī)構(gòu)。

圖1 多運(yùn)動(dòng)模式變形移動(dòng)機(jī)器人腿部模型

與動(dòng)物運(yùn)動(dòng)機(jī)理相同，仿生移動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)時(shí)存在擺動(dòng)腿和支撐腿，擺動(dòng)腿向前邁進(jìn)的同時(shí)，支撐腿負(fù)責(zé)支撐并向前移動(dòng)，此時(shí)，所有支撐腿可看作一個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)：軀體為動(dòng)平臺(tái)，支撐物（如大地）為定平臺(tái)，并聯(lián)分支為各支撐腿。

由于3條支撐腿即可維持機(jī)體平衡，本文以對(duì)稱布置于仿生移動(dòng)機(jī)器人機(jī)體兩側(cè)的3條機(jī)械腿為研究對(duì)象，作為仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3個(gè)分支，由于每一分支均為虎克鉸—（變異）虎克鉸—球面副機(jī)構(gòu)，故3條支撐腿則構(gòu)成3－TTS并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

1.1 空間機(jī)構(gòu)自由度

圖2為3－TTS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋分布圖。將變異虎克鉸與虎克鉸進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，兩者具有相同的數(shù)學(xué)模型：兩轉(zhuǎn)動(dòng)軸線在空間內(nèi)正交于一點(diǎn)。

圖2 仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋分布

圖2中，上三角代表動(dòng)平臺(tái)，為仿生移動(dòng)機(jī)器人機(jī)身，下三角代表定平臺(tái)，為地面，各支鏈的參考坐標(biāo)系為OXYZ，固定于定平臺(tái)上，各支鏈內(nèi)的運(yùn)動(dòng)螺旋以＄ij表示（i代表第i個(gè)支鏈，j代表第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副），在圖2內(nèi)的3個(gè)支鏈中選擇第一個(gè)支鏈的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋與參考坐標(biāo)系OXYZ的X軸重合，第二個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋與Y軸平行，第三個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋與Z軸平行，各關(guān)節(jié)點(diǎn)在參考坐標(biāo)系OXYZ 中的坐標(biāo)為：A（a1，0，0），B（a2，0，b2），C（a3，0，b3），D（a4，0，b4），則支鏈1中各運(yùn)動(dòng)螺旋在參考坐標(biāo)系中可以表示為

計(jì)算式（1）的約束螺旋可以發(fā)現(xiàn)，支鏈1并不存在約束螺旋系。又因＄15和＄16兩運(yùn)動(dòng)副平行，所以存在一個(gè)冗余自由度。3個(gè)分支結(jié)構(gòu)相同，則共存在3個(gè)冗余自由度。

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)在圖3所示位姿下發(fā)生有限的轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

圖3 仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

計(jì)算式（2）可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)支鏈1并不存在約束螺旋系，又因＄15與＄16相互平行，所以支鏈1仍存在一個(gè)冗余自由度，3個(gè)分支共存在3個(gè)冗余自由度。

考慮到圖2所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)內(nèi)各支鏈自由度數(shù)均較多，所以在不影響仿生移動(dòng)機(jī)器人穩(wěn)定性情況下，動(dòng)平臺(tái)發(fā)生任意方向的運(yùn)動(dòng)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)都將具有6個(gè)自由度，即3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和3個(gè)移動(dòng)，并且包含3個(gè)冗余自由度，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)共具有9個(gè)自由度。

另外，計(jì)算空間機(jī)構(gòu)自由度的常用公式還有Kutzbach Grubler公式：

式中，M 為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)；n為機(jī)構(gòu)內(nèi)桿件數(shù)；g為運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)。

因機(jī)構(gòu)內(nèi)公共約束的存在，所以式（3）通常寫為

式中，d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；λ為公共約束數(shù)。

由于圖3所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)沒有公共約束，故同樣可以利用式（3）計(jì)算并得到相同的結(jié)果：

1.2 正解模型

3－TTS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型及坐標(biāo)系構(gòu)建情況如圖4所示。移動(dòng)過程中，在所構(gòu)建的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型基礎(chǔ)之上［18-19］，機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)滿足零力矩點(diǎn)（ZMP）穩(wěn)定性判定理論［20］，可對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，并可同時(shí)對(duì)當(dāng)前步態(tài)進(jìn)行規(guī)劃，使得ZMP軌跡落在滿足穩(wěn)定裕度的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，因此可假定A、E、F三支撐點(diǎn)處于瞬時(shí)穩(wěn)定支撐狀態(tài)，進(jìn)而可開展機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解。

圖4 仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型及坐標(biāo)系構(gòu)建

如圖4所示，為便于計(jì)算，本文將采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方法，將定平臺(tái)設(shè)定為機(jī)身，動(dòng)平臺(tái)設(shè)定為地面。起始坐標(biāo)系（Ox0y0z0）建立在3－TTS并聯(lián)機(jī)構(gòu)定平臺(tái)（機(jī)身）的幾何中心位置。動(dòng)定平臺(tái)采用正三角形結(jié)構(gòu)，分別用于連接各分支第一關(guān)節(jié)和末端關(guān)節(jié)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3個(gè)分支采用對(duì)稱分布，起始坐標(biāo)系原點(diǎn)與各分支第一關(guān)節(jié)中心點(diǎn)連線的距離相等，夾角為120°。動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)的外接球球心處，即位于圖4所示動(dòng)平臺(tái)的幾何中心處。取AB、BC、CD 三桿長(zhǎng)為90mm，定平臺(tái)外接球的半徑為70mm。

求解圖4所示下平臺(tái)O′點(diǎn)位置及下平臺(tái)姿態(tài)即為求解仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題。

首先，構(gòu)建圖4所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)第一分支的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，如圖5所示。圖5所示運(yùn)動(dòng)學(xué)模型各變量及參數(shù)如表1所示。

圖5 仿生移動(dòng)機(jī)器人腿部運(yùn)動(dòng)學(xué)模型構(gòu)建

表1 仿生移動(dòng)機(jī)器人腿部連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變量

依據(jù)坐標(biāo)變換法則，可得關(guān)于表1所示各參數(shù)的變換矩陣，并求得關(guān)于該分支的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

3－TTS并聯(lián)機(jī)構(gòu)其余兩分支運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與第一分支的構(gòu)建方法相同，三分支末端位置的解析解如表2所示。

表2 仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)三分支位置解

仿生移動(dòng)機(jī)器人具有多種運(yùn)動(dòng)模式，可將3－TTS并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為3－TRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，即依據(jù)變形關(guān)節(jié)的特點(diǎn)，將關(guān)節(jié)4（Cx4y4z4）固定于某特定運(yùn)動(dòng)模式下，保持不變。如圖3所示。

圖3為3個(gè)分支的4個(gè)轉(zhuǎn)角變量分別輸入?yún)⒖贾?、－π／12、－π／12、π時(shí)的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建圖，因3個(gè)分支均為獨(dú)立的串聯(lián)機(jī)構(gòu)，本例以第一分支作為主動(dòng)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，而其余兩分支作為從動(dòng)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，即以主從移動(dòng)機(jī)器人協(xié)同運(yùn)動(dòng)的方式進(jìn)行3－TRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解。并以3個(gè)分支末端之間的距離為約束條件，建立位置正解的非線性約束方程組如下：

式（8）中，P1、P2、P3為圖3所示各分支末端的位置矢量，為已知矢量，P′1、P′2、P′3為運(yùn)動(dòng)后各分支末端的位置矢量，因第一分支為主動(dòng)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，所以P′1為已知矢量，而P′2、P′3為未知矢量。結(jié)合已有的約束方程組，運(yùn)用人工魚群算法的分解協(xié)調(diào)優(yōu)化思路，并進(jìn)行一定地改進(jìn)，可對(duì)仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行求解。

2 算法設(shè)計(jì)

人工魚群算法通過模擬魚群的覓食、聚群、追尾和隨機(jī)游動(dòng)等行為實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)，具有并行搜索、快速收斂、快速跟蹤、算法簡(jiǎn)單、全局性強(qiáng)等特點(diǎn)［12-13］。人工魚群的覓食行為是在視域范圍內(nèi)隨機(jī)移動(dòng)一步，若食物濃度高于目前位置則向該方向前進(jìn)一步，若嘗試多次后仍沒有找到合適位置，則執(zhí)行隨機(jī)行為。聚群行為是探索鄰域內(nèi)所有伙伴中心處的食物濃度，若高于目前位置且不擁擠則向該方向前進(jìn)一步，否則執(zhí)行覓食行為。追尾行為是探索鄰域內(nèi)食物濃度最大的伙伴，若該伙伴處食物濃度高于目前位置且不擁擠，則向該方向前進(jìn)一步，否則執(zhí)行覓食行為。隨機(jī)行為則是在視域范圍內(nèi)隨機(jī)移動(dòng)一步。

隨著對(duì)象規(guī)模和問題復(fù)雜程度的增加，人工魚群算法也暴露出一些不足，例如，當(dāng)對(duì)象數(shù)量多、尋優(yōu)域較大時(shí)，容易造成尋優(yōu)結(jié)果不收斂，或容易陷入局部極值，收斂效果不理想。本文將針對(duì)仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)對(duì)魚群算法的協(xié)調(diào)行為進(jìn)行改進(jìn)，尋找仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的最優(yōu)解。

2.1 數(shù)學(xué)模型

本文目標(biāo)是尋找滿足非線性約束方程組（式（4））的仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的最優(yōu)解，即

式中，δ為擁擠度因子。

2.2 人工魚群初始化

式（9）內(nèi)，已知P′2、P′3兩未知矢量所在分支各有3個(gè)相互獨(dú)立的未知變量：

式中，rand（）產(chǎn)生0～1隨機(jī)數(shù)；i為魚群種類；j為每條人工魚的3個(gè)分量（第4個(gè)分量即θ5為常量）；k＝1，2，…，n，為人工魚數(shù)目標(biāo)號(hào)；R 為尋優(yōu)域；AF（i）jk為人工魚群，如 AF（1）23表示第1種類魚群內(nèi)的第3條人工魚第2個(gè)分量（即原正解表達(dá)式內(nèi)的θ3）；θj為人工魚初始狀態(tài)。

2.3 人工魚群行為描述

人工魚的覓食、聚群和追尾行為成功均須向前移動(dòng)一步，AF（i）k表示包含3條人工魚分量的第i組魚的第k條魚：

minAF（c）（）為第c類人工魚食物濃度，即為式（9）的距離誤差，c＝1，2，3。

人工魚AF（i）的覓食行為描述如下：

（1）引入人工魚AFk（i），設(shè)置嘗試搜索的最大次數(shù)（Try＿numb er）。

（2）在視域范圍內(nèi)任選兩條人工魚p：

（3）若 minAF（i）（AFp（i））＜ minAF（i）（AFk（i）），則AFk（i）＝AFp（i）；否則繼續(xù)步驟（2）。

（4）Try＿number次后，執(zhí)行隨機(jī)行為：

人工魚AF（i）的聚群行為描述如下：

（1）設(shè)定擁擠度因子δ、δ1、δ2；

（2）同時(shí)判定兩條魚鄰域內(nèi)的伙伴數(shù)目，t、k表達(dá)意義如前：

（3）滿足步驟（2）的伙伴數(shù)目n＿F：n＿F←n＿F＋1。

則兩條魚分別向中心位置前進(jìn)一步：

否則執(zhí)行覓食行為。

人工魚AF（i）的追尾行為描述如下：

（1）從滿足｜AFt（i）－AFk（i）｜≤V內(nèi)的人工魚中，選 出 minAF（i）（AFk（i））最 小 的 人 工 魚k＝min，選擇過程內(nèi)，人工魚須同時(shí)滿足：

（2）將步驟（1）選出的最小值寫入公告板B（i）：

則兩條魚均向k＝min位置前進(jìn)一步：

否則執(zhí)行覓食行為。

2.4 算法描述

人工魚群算法流程如圖6所示。

圖6 算法流程圖

（1）構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，輸入人工魚初始狀態(tài)θj，設(shè)定視域V，步長(zhǎng)S，擁擠度因子δ、δ1、δ2，尋優(yōu)域R。

（2）設(shè)定人工魚規(guī)模n、搜索次數(shù)Try＿num ber、初始化人工魚群FA（i）。

（3）初始化公告板B（c），B（c）為c類人工魚群的公告板：

（4）對(duì)每組兩條人工魚AF（i）k進(jìn)行計(jì)算：

式（19）為協(xié)調(diào)函數(shù)。

（6）循環(huán)次數(shù)：n＿for←n＿for＋1。

（7）公告板：B（c）＝ minAF（c）。

（8）迭代次數(shù)：n＿while←n＿while＋1。

（9）將 每 次 迭 代 獲 取 的 公 告 板 B（c）輸出，結(jié)束。

尋優(yōu)域R與視域V 相同時(shí)，適當(dāng)選取步長(zhǎng)S，可獲得更高的食物濃度minAF（i）（）。

2.5 仿真實(shí)現(xiàn)

基于MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)了本文仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解。在如圖3所示仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型上應(yīng)用改進(jìn)后的魚群算法，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行描述，結(jié)果如圖7～圖14所示。

從圖7、圖8可以看出，盡管迭代起始處距離誤差較大，但是隨著迭代開始，兩類魚群（AF（i））均能夠快速尋優(yōu)，因?yàn)轸~群尋優(yōu)的目標(biāo)是距離誤差最小化，食物濃度minAF（i）（）須趨近于0。

圖7 魚群1尋優(yōu)

圖8 魚群2尋優(yōu)

圖9表明，協(xié)調(diào)函數(shù)值能夠在擁擠度因子δ1、δ2規(guī)定范圍內(nèi)波動(dòng)，因?yàn)锳F（i）在尋優(yōu)過程中不僅考慮了兩類魚是否滿足同時(shí)尋優(yōu)，而且引入?yún)f(xié)調(diào)函數(shù)，從而使并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解不斷接近數(shù)學(xué)模型式（5）下的最優(yōu)。

圖9 協(xié)調(diào)尋優(yōu)

從圖10～圖13可以看出，除少數(shù)魚群聚集在局部極值之外，大多數(shù)魚群均能聚集于全局極值，這是因?yàn)锳F（i）在聚群和追尾過程中充分考慮了擁擠度因子δ的選擇，在尋優(yōu)過程中同時(shí)滿足兩類魚群的視域、食物濃度和協(xié)調(diào)函數(shù)，使得兩類魚群逐漸向共同的優(yōu)化目標(biāo)移動(dòng)。

圖14表明，AF（i）所尋優(yōu)的結(jié)果可以達(dá)到仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解精度要求，因?yàn)槿斯~群AF（i）初始搜索范圍在尋優(yōu)域R內(nèi)，且視域V＝R，所以在步長(zhǎng)S適當(dāng)時(shí)，人工魚群AF（i）在覓食過程中增加了搜索全局極值的可能性，在聚群行為和追尾行為的作用下能夠跳出局部極值尋優(yōu)并加速向全局極值移動(dòng)。

圖10 魚群1初始狀態(tài)

圖11 魚群1聚集

圖12 魚群2初始狀態(tài)

圖13 魚群2聚集

圖14 尋優(yōu)最終并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

由圖3與圖14所示各分支末端位置解可知，魚群算法所求正解誤差與擁擠度因子的選取有關(guān)，本例中擁擠度因子δ、δ1、δ2分別為1.00、1.01、0.99。

如圖14所示，滿足式（5）的正解最優(yōu)解分別為：0.0074mm，0.0024mm，364.5556mm（初始值為363.5152mm），迭代次數(shù)為100次，所求最優(yōu)解可以滿足仿生移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度要求。

由圖7～圖14所示仿真結(jié)果可知，增加并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分支數(shù)，例如由目前三分支增加至六分支，合理分布于機(jī)身兩側(cè)，并利用文中1.2節(jié)所述運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型構(gòu)建方法，對(duì)六分支并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型進(jìn)行構(gòu)建，即對(duì)六足仿生機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型進(jìn)行構(gòu)建，通過增加式 （4）位置正解的非線性約束方程組數(shù)目，同理應(yīng)用魚群算法可對(duì)六分支并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型進(jìn)行求解。

3 結(jié)論

（1）對(duì)一種多運(yùn)動(dòng)模式仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，并運(yùn)用螺旋理論計(jì)算該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。

（2）應(yīng)用坐標(biāo)變換法則對(duì)仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型進(jìn)行構(gòu)建，可同時(shí)構(gòu)建仿生移動(dòng)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型和該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的數(shù)學(xué)模型。

（3）提出了基于尋優(yōu)域、視域、擁擠度因子等改進(jìn)后的魚群算法，構(gòu)建了魚群算法的數(shù)學(xué)模型，引入了協(xié)調(diào)函數(shù)，對(duì)魚群算法進(jìn)行描述。

（4）仿真實(shí)現(xiàn)魚群算法，結(jié)果表明，代碼易于實(shí)現(xiàn)，運(yùn)用魚群算法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行求解，無需逆解，無需初值，且具有較好的全局尋優(yōu)，快速尋優(yōu)性能。

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