馬松柏， 白 ， 陶春生

(北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京 100048)

基于復(fù)合形法的馬鈴薯分級(jí)機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

(北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京 100048)

分析了馬鈴薯分級(jí)機(jī)振動(dòng)篩及物料的運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)特性，從而找出其運(yùn)動(dòng)參數(shù)及約束條件，以復(fù)合形法結(jié)合Matlab程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言對(duì)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化求解，結(jié)果證明行之有效，可為相關(guān)產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論方法及借鑒.

復(fù)合形法;優(yōu)化設(shè)計(jì);往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)振動(dòng)篩;Matlab

馬鈴薯分級(jí)機(jī)是利用傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)使有篩孔篩面的振動(dòng)速度和加速度產(chǎn)生周期性變化，從而篩面上物料產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，并依據(jù)物料大小、重量不同產(chǎn)生不同的運(yùn)動(dòng)距離進(jìn)行分級(jí)的食品機(jī)械，其運(yùn)動(dòng)參數(shù)的選取至關(guān)重要.傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通過(guò)估算、經(jīng)驗(yàn)類比或試驗(yàn)來(lái)確定，很難求得最佳設(shè)計(jì)參數(shù).本文以篩分粒度為50 mm的馬鈴薯分級(jí)機(jī)為對(duì)象，通過(guò)合理簡(jiǎn)化建構(gòu)馬鈴薯分級(jí)機(jī)篩面及物料往復(fù)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，在保證較高篩分效率的前提下，力求提高生產(chǎn)率.選取往復(fù)振動(dòng)面的平均推進(jìn)速度為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，借助復(fù)合形法，以Matlab為實(shí)現(xiàn)平臺(tái)，對(duì)往復(fù)振動(dòng)面的振動(dòng)圓頻率ω，振動(dòng)振幅r，振動(dòng)方向角β，振動(dòng)面傾角α等參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化求解，以得到盡可能高的平均推進(jìn)速度.結(jié)果表明采用復(fù)合形法取得了比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)更佳的設(shè)計(jì)效果.

1 往復(fù)振動(dòng)面上物料相對(duì)運(yùn)動(dòng)的分析

設(shè)計(jì)實(shí)例要求篩分50 mm以下的馬鈴薯，在建立目標(biāo)函數(shù)之前，分析其在振動(dòng)面上的受力及相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，找出物料相對(duì)振動(dòng)面的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

設(shè)振動(dòng)面傾角為α，振動(dòng)方向角為β，振動(dòng)圓頻率為ω，振動(dòng)振幅為r，振動(dòng)面與物料間摩擦角為φ，物料顆粒質(zhì)量為m，重力加速度為g.物料沿往復(fù)振動(dòng)面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)主要方式如圖1.

圖1 物料沿往復(fù)振動(dòng)面的相對(duì)主要運(yùn)動(dòng)Fig.1 Relative motion of potato on surface of reciprocating vibration sieve

圖1中沿振動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)建立靜坐標(biāo)系OX;動(dòng)坐標(biāo)系為xoy，固連于振動(dòng)面，x軸沿振動(dòng)方向，向右為正，y軸垂直于振動(dòng)方向，向上為正，則物料受力有:重力 G=mg，振動(dòng)慣性力 P=mω2rsinωt，振動(dòng)面支承反力N，振動(dòng)面對(duì)物料的摩擦力Fmax=Ntanφ.

1.1 物料沿往復(fù)振動(dòng)面的相對(duì)上滑運(yùn)動(dòng)

1.1.1 物料相對(duì)上滑條件［1］

如圖1(a)，要使物料顆粒相對(duì)于振動(dòng)面上滑，必須滿足:

可得:ω2rsinωtcos(β+φ)＞gsin(φ+α).

為使上式有意義，對(duì)cos(β+φ)取絕對(duì)值，并將|sinωt|max=1代入上式，得:

式(1)即為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面上滑的條件.

1.1.2 物料相對(duì)上滑加速度

根據(jù)牛頓定律可得:

式(2)中，au為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面的上滑加速度.

1.1.3 物料相對(duì)上滑位移

同理，由式(2)連續(xù)積分可求得相對(duì)上滑位移表達(dá)式:

式(3)中，Su為振動(dòng)面運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期物料顆粒相對(duì)上滑的位移;tc為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面開始上滑的時(shí)刻;td為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面結(jié)束上滑的時(shí)刻.

1.2 物料沿往復(fù)振動(dòng)面的相對(duì)下滑運(yùn)動(dòng)

1.2.1 物料相對(duì)下滑條件

如圖1(b)，要使物料顆粒相對(duì)于振動(dòng)面下滑，必須滿足:

若物料顆粒相對(duì)于振動(dòng)面無(wú)跳動(dòng)，應(yīng)有

可得:ω2rsinωtcos(β－φ)＞gsin(φ－α).

為使上式有意義，對(duì) cos(β－φ)取絕對(duì)值，并將|sinωt|max=1代入上式，得:

式(4)即為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面下滑的條件.

1.2.2 物料相對(duì)下滑加速度

式(5)中，ad為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面的下滑加速度.

由式(5)連續(xù)積分求得相對(duì)下滑位移表達(dá)式:

式(6)中，Sd為振動(dòng)面運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期物料顆粒相對(duì)下滑的位移;ta為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面開始下滑的時(shí)刻;tb為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面結(jié)束下滑的時(shí)刻.

1.3 物料對(duì)往復(fù)振動(dòng)面的相對(duì)跳動(dòng)

只有在圖1(b)狀態(tài)下馬鈴薯物料顆粒才可能相對(duì)于振動(dòng)面跳動(dòng)，若使物料能跳離振動(dòng)面，須滿足:

式(7)即為物料顆粒相對(duì)振動(dòng)面跳動(dòng)的條件.

1.4 物料在往復(fù)振動(dòng)面上的平均推進(jìn)速度

物料在振動(dòng)面上僅相動(dòng)無(wú)跳動(dòng)時(shí)的平均推進(jìn)速度應(yīng)為:

2 振動(dòng)篩參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型及優(yōu)化方法

2.1 設(shè)計(jì)變量

綜前所述，往復(fù)振動(dòng)機(jī)械的基本運(yùn)動(dòng)參數(shù)有:振動(dòng)圓頻率ω，振動(dòng)振幅r，振動(dòng)方向角β(振動(dòng)面振動(dòng)方向與振動(dòng)面所夾銳角).影響物料在振動(dòng)面上運(yùn)動(dòng)的參數(shù)還有:振動(dòng)面傾角α(振動(dòng)面與水平面間所夾銳角)及振動(dòng)面與物料間的靜滑動(dòng)摩擦角φ.φ值隨振動(dòng)面及物料種類的確定相對(duì)為一定值，本例為馬鈴薯 φ，取 30°，故 ω、r、β、α 為設(shè)計(jì)變量:

2.2 目標(biāo)函數(shù)

衡量以輸送物料為主要目的往復(fù)振動(dòng)機(jī)械工藝性能好壞的重要指標(biāo)是生產(chǎn)率，而具有篩理作用的往復(fù)振動(dòng)機(jī)械，還要求有篩分效率.生產(chǎn)率高低取決于物料沿振動(dòng)面的平均推進(jìn)速度，平均推進(jìn)速度快則生產(chǎn)率高;篩分效率主要與物料所獲振動(dòng)慣性力大小及物料相對(duì)振動(dòng)面的篩理行程有關(guān).為簡(jiǎn)化優(yōu)化問題，將篩分效率列入約束條件，建立單一目標(biāo)函數(shù).為了得到較高生產(chǎn)率應(yīng)使物料沿往復(fù)振動(dòng)面的平均推進(jìn)速度盡可能快，目標(biāo)函數(shù)即為:

2.3 約束條件

馬鈴薯分級(jí)機(jī)在實(shí)際生產(chǎn)中除應(yīng)滿足較高的生產(chǎn)率外，還應(yīng)具備較高的篩分效率.因此，物料在振動(dòng)面上應(yīng)做雙向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，以增加物料與振動(dòng)面接觸機(jī)會(huì)及篩理行程，故物料在振動(dòng)面上應(yīng)具相對(duì)下滑和上滑運(yùn)動(dòng)，且下滑位移大于上滑位移，即:

于是得約束條件為:

由于往復(fù)振動(dòng)篩是利用物料自動(dòng)分級(jí)性進(jìn)行篩選分級(jí)的，應(yīng)避免破壞物料的自動(dòng)分級(jí)性，使物料相對(duì)于振動(dòng)面僅滑動(dòng)無(wú)跳動(dòng)，且獲得盡可能大的振動(dòng)慣性力，即

若取兩者差值不大于0.1，則約束條件為:

振動(dòng)方向角β取值0°～90°，約束條件為:

振動(dòng)面傾角α取值0°～5°，約束條件為:

振動(dòng)圓頻率ω取值41.88～62.83 rad/s(對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速400～600 r/min)，約束條件為:

2.4 復(fù)合形法

復(fù)合形法［2－5］用于求解非線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)f(x)在多約束條件下最優(yōu)解的問題，數(shù)學(xué)表達(dá)如下:

受約束于

復(fù)合形法的基本思想是，先在n維空間的可行域中產(chǎn)生一個(gè)以k個(gè)初始點(diǎn)為頂點(diǎn)的不規(guī)則多面體的復(fù)合形，一般(n+1≤k≤2n)，然后比較復(fù)合形各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的大小.其中目標(biāo)函數(shù)值最大的點(diǎn)作為壞點(diǎn)，以壞點(diǎn)之外其余各點(diǎn)的中心為映射中心，尋找壞點(diǎn)的映射點(diǎn).一般說(shuō)來(lái)，此映射點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值總小于壞點(diǎn)，也就是說(shuō)映射點(diǎn)優(yōu)于壞點(diǎn).這時(shí)，以映射點(diǎn)替換壞點(diǎn)與原復(fù)合形除壞點(diǎn)之外其余各點(diǎn)構(gòu)成k個(gè)頂點(diǎn)的新的復(fù)合形.如此反復(fù)迭代計(jì)算，在可行域中不斷以目標(biāo)函數(shù)值低的新點(diǎn)代替目標(biāo)函數(shù)值最大的壞點(diǎn)從而構(gòu)成新復(fù)合形，使復(fù)合形不斷向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)和收縮，直至收縮到復(fù)合形的各頂點(diǎn)與其形心非常接近、滿足迭代精度要求為止.最后輸出復(fù)合形各頂點(diǎn)中的目標(biāo)函數(shù)值最小的頂點(diǎn)，作為近似最優(yōu)點(diǎn).

本例中目標(biāo)函數(shù)為式(10)，約束條件為式g1(X)～g11(X)，即式(12)至(22)共11個(gè)約束.而由式(9)可知此為一個(gè)四維11個(gè)約束的多約束優(yōu)化方法求解問題.經(jīng)比較眾多機(jī)械設(shè)計(jì)優(yōu)化算法后，決定采用復(fù)合形算法.這是因?yàn)閺?fù)合形法較為適合解決有約束優(yōu)化問題，僅需比較目標(biāo)函數(shù)值即可決定搜索方向，算法較簡(jiǎn)單，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的要求不苛刻，適用于變量少(小于15維)，約束條件不多的優(yōu)化問題，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中采用廣泛.

3 程序?qū)崿F(xiàn)

算法最終通過(guò)Matlab程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，由1個(gè)主程序和6個(gè)子程序組成，程序框圖如圖2.

圖2 復(fù)合形法程序Fig.2 Program chart of complex method

3.1 程序構(gòu)成及參數(shù)說(shuō)明［6－7］

主程序首先給定N，M，K值，然后定義數(shù)組維數(shù).主程序中提供自變量的初始值，輸入已知參數(shù)及打印最后結(jié)果面.

其中 x1，x2，…，xn為獨(dú)立自變量，

xn+1～xm為隱式變量，是 x1，x2，…，xn的函數(shù)，Gi，Hi為下界和上界.

各子程序的作用分別為:

CONSX—是一個(gè)主要子程序，調(diào)用其他子程序及輸出中間結(jié)果;CHECK—檢查所有的點(diǎn)是否滿足約束條件，對(duì)違背約束的點(diǎn)進(jìn)行校正;CENTR—計(jì)算中心點(diǎn);FUNC—目標(biāo)函數(shù);CONST—規(guī)定顯式和隱式約束;RANDU—產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).

1)輸入?yún)?shù)中，N為顯式自變量數(shù);M為約束組數(shù);K為構(gòu)成復(fù)合形的頂點(diǎn)數(shù)，N+1;ITMAX為允許最多迭代次數(shù);IPRINT為打印控制參數(shù)，IPRINT=1，打印中間結(jié)果，IPRINT=0，不打印中間結(jié)果;ALPHA為反射因子，常用1.3;BETA為收斂參數(shù)，函數(shù)的幅值乘1E－4;GAMMA為收斂參數(shù)，整數(shù)，常用值為5;DELTA為顯式約束違反校正，小正數(shù)，如X向量幅值乘1E－4;X(1，J)為自變量初始可行點(diǎn)，等于1，N.

2)輸出變量中，F(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)最大值;X(I)為自變量最優(yōu)值，I=1，N.

3.2 優(yōu)化結(jié)果

ω 為54.43 rad/s，約為 520 r/min;α 為3.25°約合3°;r為 4.52 mm，約為 4.5 mm;β 為 44.85°約為45°.

4 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)的食品機(jī)械設(shè)計(jì)方法已經(jīng)無(wú)法滿足提高生產(chǎn)率及經(jīng)濟(jì)性等諸多要求，而優(yōu)化設(shè)計(jì)方法愈來(lái)愈多的得到重視和使用，本文中提到的復(fù)合形法優(yōu)化設(shè)計(jì)問題在馬鈴薯分級(jí)機(jī)的設(shè)計(jì)中取得了較好的效果，由于該方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無(wú)特殊要求，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，算法的收斂速度比較快，非常適合求解中小型機(jī)械的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.

［1］梁基照.食品機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2008:178-183.

［2］祝立萍，張振生，龔義書.基于復(fù)合形法的板翅式換熱器優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，28(1):63-66.

［3］徐小明，蔣炎坤，劉志恩.基于復(fù)合形法的車用發(fā)動(dòng)機(jī)配氣機(jī)構(gòu)凸輪型線設(shè)計(jì)［J］.柴油機(jī)，2007，29(6):34-36.

［4］陳惠，詹少華，阮進(jìn)華.基于Matlab復(fù)合形法的二級(jí)圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.煤礦機(jī)械，2011，32(8):31-33.

［5］韓中合，焦紅瑞.基于復(fù)合形法的風(fēng)力機(jī)槳葉優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.華東電力，2009，37(9):1612-1613.

［6］王凌.智能優(yōu)化算法及其應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004.

［7］王謙，趙俊利.基于Matlab軟件的振動(dòng)篩振動(dòng)研究［J］.煤礦機(jī)械，2011，9(32):38-39.

(責(zé)任編輯:檀彩蓮)

Optimal Design Research of Potatoes Classifier Based on Complex Method

MA Song-bai， BAI Qiao， TAO Chun-sheng
(School of Material and Mechanical Engineering，Beijing Technology and Business University，Beijing 100048，China)

The kinematics parameters and constraints of a typical vibrating sieve which was used as potatoes classifier were analyzed in this paper.And these parameters were optimized by complex method accomplished in the environment of Matlab software.The results proved that the complex method mentioned in this paper is an effective tool for potatoes classifier optimal design，which could offer foundation and method to design some machineries related to potatoes classifier.

complex method;optimization design;vibration sieve;Matlab

TS210.3;TS215

A

1671-1513(2012)02-0070-05

2011-11-28

北京工商大學(xué)青年基金項(xiàng)目資助(QNJJ2010-17).

馬松柏，男，講師，碩士，主要從事食品與包裝機(jī)械設(shè)計(jì)、機(jī)電一體化技術(shù)、CAD/CAM應(yīng)用等方面的研究.