□胡天翼（西安交通大學(xué)）

1.前言

含圓孔平板在自身受力時(shí)出現(xiàn)的應(yīng)力集中問題是工程中普遍存在的問題，其平面模型是彈性力學(xué)中的經(jīng)典模型，已有了精確的解析解。與平面問題相比，考慮了厚度效應(yīng)和三維尺寸效應(yīng)的三維分析更加符合工程實(shí)際，因此也更具有指導(dǎo)意義。然而由于三維材料的復(fù)雜性和彈塑性狀態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變分布的特殊性，目前對帶孔圓板的研究主要集中于對構(gòu)件進(jìn)行彈性分析，或假定平板厚度足夠小，使各項(xiàng)參數(shù)能夠在厚度方向均勻分布，而對三維彈塑性材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的準(zhǔn)確推導(dǎo)尚無完全定論。用于預(yù)測材料局部彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場的Neuber準(zhǔn)則已經(jīng)在二維彈塑性分析中得到了廣泛應(yīng)用，但其在三維分析領(lǐng)域的準(zhǔn)確性依然值得商榷。

文章以胡克定律為立足點(diǎn)，對三維彈塑性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系做了進(jìn)一步的推導(dǎo)，并通過三維有限元方法建立了單軸拉伸狀態(tài)下的含圓孔有限厚度板模型進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析，將其結(jié)果與所推導(dǎo)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對比驗(yàn)證。本文還討論了Neuber準(zhǔn)則對三維構(gòu)件的適用性，并對其在三維條件下的保守程度與二維條件做了對比。

2.Neuber平衡方程簡介和有限元模型介紹

2.1 Neuber平衡方程簡介

在分析圓孔根部彈塑性應(yīng)力應(yīng)變時(shí)，由Neuber提出了平衡方程：

2.2 有限元分析模型

模型計(jì)算借助大型有限元計(jì)算軟件ANSYS-10.0完成。選取1/8試樣，坐標(biāo)原點(diǎn)位于板厚中面圓心，在試樣長度、寬度、厚度中面加載對稱約束，圓孔遠(yuǎn)端沿y方向加載大小為N的均勻拉應(yīng)力。圓孔的半徑圖1模型的網(wǎng)格劃分為r，板的長度2L=400mm，寬度2W=200mm(當(dāng)r/W<5時(shí)，可近似認(rèn)為圓孔很小，試樣為無限大)，厚度為2B=30mm，如圖1所示：

圖1 模型的網(wǎng)格劃分圖

在分析中，采用8節(jié)點(diǎn)三維實(shí)體單元，沿試樣的1/2厚度處取15層單元，每層單的厚度從板的厚度中面到表面逐漸減小，間距比率取0.1。在每一單元層的圓孔周圍畫出三倍半徑大小的細(xì)化區(qū)，采用映射劃分(應(yīng)力集中和塑性區(qū)主要出現(xiàn)在三倍半徑范圍以內(nèi))，三倍半徑以外區(qū)域單元尺寸較大(經(jīng)實(shí)測將二維平板照此方式劃分網(wǎng)格，計(jì)算結(jié)果能很好地符合解析解，誤差在1%以內(nèi))。在板遠(yuǎn)端作用有的均勻分布拉應(yīng)力，材料的彈性模量和泊松比分別為200GPa和0.3，屈服強(qiáng)度300Mpa，切線模量為0，本構(gòu)關(guān)系見圖2。

圖2 材料本構(gòu)的定義圖

3.三維彈塑性狀態(tài)下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的推導(dǎo)

其中：

將上式代入離面約束Tz及面內(nèi)約束Tx表達(dá)式：

則有應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)：

將割線模量Es用等效應(yīng)變表達(dá)，同時(shí)表示出彈塑性泊松比νep：

即可得到以Tz，Tx和εep表示的各方向應(yīng)變：

這里，我們?nèi)匀皇褂们笆龅腁nsys模型提取數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，來對上述公式進(jìn)行驗(yàn)證驗(yàn)證。

取2.2中所介紹之模型，令N=230MPa，在塑性區(qū)內(nèi)取出5個具有代表性的點(diǎn)，分別提出 σyy，εep，Tz，Tx這幾個值，并計(jì)算出，，與實(shí)際應(yīng)變作為對比。

根據(jù)表1可以看出，由該式計(jì)算出的應(yīng)變值基本滿足精度要求，較為準(zhǔn)確。

表1 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)際應(yīng)變值對比表

4.三維狀態(tài)下Neuber準(zhǔn)則適用性的討論

在工程斷裂力學(xué)領(lǐng)域，對于一個含缺口的受力試樣而言，Neuber準(zhǔn)則是最為常用的反映缺口根部應(yīng)力-應(yīng)變集中與理論應(yīng)力集中關(guān)系的準(zhǔn)則之一。Neuber準(zhǔn)則的平衡方程已在本文第二部分提到，其在二維彈塑性領(lǐng)域的適用性也已得到廣泛認(rèn)可。然而Neuber準(zhǔn)則在用于估計(jì)局部應(yīng)力應(yīng)變場時(shí)往往給出過高的預(yù)測結(jié)果，也即是預(yù)測結(jié)果偏保守[6]，那么將Neuber準(zhǔn)則應(yīng)用于三維領(lǐng)域會產(chǎn)生和二維分析相同的效果嗎，其結(jié)果是否也會偏保守，保守的程度如何？本部分將依然使用前述的Ansys模型提取數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，來驗(yàn)證Neuber準(zhǔn)則在三維狀態(tài)下的適用性。

表2 不同拉力下三維和二維狀態(tài)Neuber準(zhǔn)則的保守程度對比表

表2為2.2中所介紹之三維模型與其他條件均相同的平面板，由Neuber準(zhǔn)則計(jì)算所得結(jié)果的保守程度對比。表中和分別為由Ansys計(jì)算所得的試樣局部應(yīng)變和局部應(yīng)力。

由該表可以看出，在材料進(jìn)入彈塑性以后 (拉力N>100Mpa)，Neuber準(zhǔn)則的估計(jì)值比真實(shí)值要保守，保守的程度都在5%-10%之間。相比二維狀態(tài)，三維用Neuber準(zhǔn)則估計(jì)出的結(jié)果比二維狀態(tài)普遍更為保守，也即是說，用Neuber準(zhǔn)則來估計(jì)三維試樣的局部應(yīng)力應(yīng)變同樣是安全的。

5.結(jié)論

一是板中任意一點(diǎn)的各向應(yīng)變值均可由σyy，εep，Tz，Tx表示出，應(yīng)變值ε與這些值均呈正比關(guān)系；二是Neuber準(zhǔn)則在三維彈塑性試樣估計(jì)中仍然具有適用性，并且在三維分析中用Neuber準(zhǔn)則估算出的結(jié)果比二維狀態(tài)更為保守，所以此時(shí)Neuber準(zhǔn)則依然是安全的。