郭曉燕， 黃 斌

（長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410114）

涉及微分多項式的亞純函數(shù)的唯一性

郭曉燕， 黃 斌

（長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410114）

研究了涉及（fn）（k）和（gn）（k）CM分擔(dān)1的唯一性問題，其中f和g是亞純函數(shù)，所得定理在一定程度上推廣了S.S.Bhoosnurmath和R.S.Dyavanal的結(jié)果.

亞純函數(shù)；分擔(dān)值；唯一性；微分多項式

1 引言及主要結(jié)果

本文采用值分布論中的標(biāo)準(zhǔn)符號，設(shè)f（z）與g（z）為非常數(shù)的亞純函數(shù)，如果f-a與g-a零點相同（不計重數(shù)），則稱a為f與g的IM分擔(dān)值；如果f-a與g-a零點相同，且每個零點重數(shù)也相同，則稱a為f與g的CM分擔(dān)值.對于任意常數(shù)a，我們定義

近年來，許多數(shù)學(xué)工作者對亞純函數(shù)的唯一性問題進(jìn)行了研究[1-7]，特別是對函數(shù)微分多項式具有分擔(dān)值的唯一性問題的研究得到了一些深刻的結(jié)果.

1997年楊重駿和華歆厚證明了下面定理：

定理A[1]設(shè)（fz）與g（z）為兩個非常數(shù)的亞純函數(shù)，n為正整數(shù)且滿足n≥11，對一非零復(fù)數(shù)a，如果fnf′與gng′CM分擔(dān)a，則或者（fz）=dg（z），這里的d滿足dn+1=1，或者g（z）=c1e-cz且（fz）=c2ecz，這里c，c1，c2是常數(shù)，且滿足（c1c2）n+1c2=-a2.

定理B[4]設(shè)f（z）與g（z）為兩個非常數(shù)的亞純函數(shù)，n，k為正整數(shù)且滿足n＞3k+8.如果（fn）（k）和（gn）（k）CM分擔(dān)1，則f（z）=c1ecz，g（z）=c2e-cz，其中c，c1，c2為三個常數(shù)且滿足（-1）k（c1c2）n（nc）2k=1，或者f（z）=tg（z），這里的t滿足tn=1.

2011年Renukadevi S.Dyavanal在定理A基礎(chǔ)上考慮重數(shù)推廣到定理C：

定理C[5]設(shè)f（z）與g（z）為兩個非常數(shù)的亞純函數(shù)，且它們的零點重數(shù)和極點重數(shù)至少為s，s，n（≥2）為正整數(shù)且滿足（n+1）s≥12，如果 fnf′與gng′CM分擔(dān)1，則g（z）=c1e-cz且f（z）=c2ecz，其中c，c1，c2為三個常數(shù)且滿足（c1c2）n+1c2=-1，或者f（z）=tg（z），這里的t滿足tn+1=1.

本文在定理B的基礎(chǔ)上考慮重數(shù)可得到下面的定理：

定理2設(shè)f（z）與g（z）為兩個非常數(shù)超越整函數(shù)，且它們的零點重數(shù)至少為s，s，n，k為正整數(shù)且滿足ns＞2k+4.如果（fn）（k）和（gn）（k）CM分擔(dān)1，則f（z）=c1ecz，g（z）=c2e-cz，其中c，c1，c2為三個常數(shù)且滿足（-1）k（c1c2）n（nc）2k=1，或者f（z）=tg（z），這里的t滿足tn=1.

2 引理

定理的證明需要以下幾個引理.

引理1[4]設(shè)f（z）與g（z）為兩個非常數(shù)的亞純函數(shù)，k為正整數(shù).若f（k）（z）與g（k）（z）CM分擔(dān)1，且

引理2[2]設(shè)f（z）是一非常數(shù)整函數(shù)，正整數(shù)k≥2，若f（z）f（k）（z）≠0，則f（z）=eaz+b，其中a（≠0），b都為常數(shù).

引理3[1]設(shè)f（z）與g（z）為兩個非常數(shù)整函數(shù)，n（≥1）為整數(shù)，若fnf′gng′=1，則g（z）=c1e-cz且f（z）=c2ecz，其中c，c1，c2為三個常數(shù)且滿足（c1c2）n+1c2=-1.

引理4[5]設(shè)f（z）與g（z）為兩個非常數(shù)超越整函數(shù)，k為正整數(shù).若f（k）（z）與g（k）（z）CM分擔(dān)1，且

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

3.2 定理2的證明

因為f（z）與g（z）為整函數(shù)，所以我們就有N（r，f）=N（r，g）=0.仿照定理1的證明，運用引理4即可證得結(jié)論.

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[7]Yang L.Value Distribution Theory,Springer-Verlag/Sci?ence Press[M].Berlin/Beijing,1993.

Uniqueness of Meromorphic Functions Concerning Differential Polynomials

GUO Xiaoyan，HUANG Bin
（College of Mathematics and Computing Sciences，Changsha University of Science and Technology，Changsha410114，China）

This paper studies the uniqueness of meromorphic functions concerning the case that（fn）（k）and（gn）（k）share 1 CM,where f and g are meromorphic,and establishes a uniqueness theorem that improves the results of S.S.Bhoosnur?math and R.S.Dyavanal.

Meromorphic function；sharing value；uniqueness；differential polynomials

O 174.52

A

1674-4942（2012）01-0017-03

2011-12-14

國家自然科學(xué)基金資助項目（11071064）

畢和平