張仕念，張國彬，易當(dāng)祥，顏詩源，楊艷妮

（北京市清河大樓子八，北京 100085）

0 引言

可靠性仿真是將仿真技術(shù)應(yīng)用于可靠性分析的一種方法，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)對己經(jīng)建好的系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行仿真，得到一系列的仿真結(jié)果，能夠解決常規(guī)的解析法很難奏效的部分可靠性問題?？煽啃苑抡婢哂薪?jīng)濟(jì)性好、應(yīng)用范圍廣、通用性好、難度小、直觀和保密等優(yōu)點(diǎn)[1]。Microsoft Excel是微軟公司開發(fā)的電子表格軟件，易學(xué)易用，使用范圍廣；Excel 2003就提供了財(cái)務(wù)、日期與時(shí)間、數(shù)學(xué)與三角函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等九大類約300個函數(shù)，具有強(qiáng)大的計(jì)算、統(tǒng)計(jì)功能。本文以服從威布爾分布的數(shù)據(jù)為例，利用Excel的、已有函數(shù)和單元格的引用，進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，利用RAND（）函數(shù)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)而引入隨機(jī)因素，實(shí)現(xiàn)可靠性評估的數(shù)值仿真。實(shí)例表明，用Excel進(jìn)行可靠性評估的數(shù)字仿真，可以避免繁雜的編程工作，省時(shí)省力，方便實(shí)用，且仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果十分接近。

1 威布爾型數(shù)據(jù)的可靠性評估模型

設(shè)n臺產(chǎn)品進(jìn)行無替換截尾試驗(yàn)，失效時(shí)間為t1≤t2≤…≤tr（r≤n）， 定數(shù)截尾時(shí) tr為第 r個產(chǎn)品的失效時(shí)間，定時(shí)截尾時(shí)tr為截尾時(shí)間，失效數(shù)據(jù)服從兩參數(shù)威布爾分布。其密度函數(shù)為：

分布函數(shù)為：

式中， DI（n， r， j ）， CI（n， r， j）可查 《可靠性試驗(yàn)用表》[3]獲得。

對給定的n，r，γ，R，Mann等給出了樞軸量：

的γ分位數(shù)VR，γ數(shù)表，式中xR是極值分布的 （1-R）分位數(shù)，即

2 威布爾型數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)字仿真

則tR的置信下限：

根據(jù)對稱原理， 在式 （3） 中將tR，L→t0，R→RL（t0）， 得可靠性下限 RL（t0） 的表達(dá)式為：

故可反查Vγ（R）-R表，用中轉(zhuǎn)查值法可求出 RL（t）。

2.1 隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生及隨機(jī)變量抽樣

目前，廣泛應(yīng)用的、在 [0，1]上產(chǎn)生均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)的方法是同余法[3]，包括混合同余發(fā)生器、乘法同余發(fā)生器等。Excel提供的RAND（）函數(shù)也能夠產(chǎn)生 [0，1]的隨機(jī)數(shù)，在其幫助中，說明該函數(shù)用于 “返回大于等于0及小于1的均勻分布隨機(jī)數(shù)，每次計(jì)算工作表時(shí)都將返回一個新的數(shù)值”。用RAND（）函數(shù)產(chǎn)生5次，每次5組， 每組 5000個隨機(jī)數(shù)，用 Co（i，j） （i≠j）表示第i組和j組隨機(jī)數(shù)的相關(guān)系數(shù)，隨機(jī)數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)見表1。由表1可見，其相關(guān)系數(shù)很小，表明各組隨機(jī)數(shù)之間的獨(dú)立性很好。本文用RAND（）函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。

表1 5組隨機(jī)數(shù)的相關(guān)系數(shù)

可采用逆變法[4]產(chǎn)生服從威布爾分布的隨機(jī)數(shù)，具體的步驟如下：

a）在 （0，1）區(qū)間上產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)數(shù) r。

b）做變換。

式 （5）中：y——服從參數(shù)為m，η的威布爾分布的隨機(jī)數(shù)。

c）重復(fù)步驟a）、b），直到取到要求數(shù)量的隨機(jī)數(shù)為止。

2.2 分布參數(shù)的最小二乘估計(jì)

由式（2） 得：

令

則

如果ti服從威布爾分布， {xi，yi}成線性關(guān)系，通過最小二乘法線性回歸，解得系數(shù)a、b。

則

兩個變量的相關(guān)系數(shù)表示為：

可根據(jù)|rC|→1的程度，判斷是否服從威布爾分布。

在計(jì)算過程中，無替換定數(shù)截尾時(shí)，分布函數(shù)為：

小樣本 （n≤20）時(shí)，為了減少計(jì)算誤差，用下式計(jì)算：

2.3 仿真步驟

數(shù)字仿真的基本思路是：用最小二乘法根據(jù)原始數(shù)據(jù)估計(jì)分布參數(shù)和，利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和逆變法抽取服從分布參數(shù)為和的威布爾分布的抽樣樣本，根據(jù)抽樣樣本計(jì)算出可靠度的一個抽樣值，反復(fù)抽樣，得到可靠度的分布密度函數(shù)，從而獲得可靠度的置信下限。具體的步驟如下：

a）根據(jù)最小二乘法，利用Excel軟件的單元格 引 用 和 LN （number）、 AVERAGE （number1，number2， ...）、 EXP （number） 等函數(shù)， 由式 （6）和 （7） 計(jì)算威布爾分布的分布參數(shù)m^和η^。

b）從仿真循環(huán)次數(shù)i=1開始，由式 （5），在Excel軟件電子表格的某一列用 “=*POWER （（-LN （RAND （））），” 產(chǎn)生 r個服從威布爾分布的隨機(jī)數(shù)；在另一列用 “=SMALL（array1，k）”（array1為r個隨機(jī)數(shù)組成的數(shù)列，k=1，2，…，r）函數(shù)對其由小到大排序，得故障產(chǎn)品的抽樣觀察值為ti1，ti2，…，tir（無替換定時(shí)截尾時(shí)，產(chǎn)生n個服從威布爾分布的隨機(jī)數(shù)，取定時(shí)截尾時(shí)間T0以前的樣本排序）。

c）由故障產(chǎn)品壽命的抽樣觀察值ti1，ti2，…，tir，同a），采用最小二乘法估計(jì)抽樣樣本的分布參數(shù)為和。

d）對于給定任務(wù)時(shí)間t0，對應(yīng)的可靠度抽樣值為：

e）i=i+1重復(fù)上述過程，1≤i≤N，N為仿真次數(shù)。單元格引用和公式在Excel電子表格中建立后，只需做簡單的拷貝即可完成。

f）給定置信度γ，在可靠度的分布密度函數(shù)中， （1-γ）N的整數(shù)部分對應(yīng)的Ri（t0）， 就是給定置信度為γ的可靠度下限值，即在某一單元格用 “=SMALL （array2，（1-γ）*N）” 的返回值即為仿真結(jié)果，此處的array2為仿真結(jié)果組成的數(shù)列。

給定可靠度R的可靠壽命tR的抽樣公式為：

對tRi反復(fù)抽樣，進(jìn)行排序得tR1≤tR2≤…≤tRN，對于給定的置信度γ的壽命下限tR為 （1-γ）N的整數(shù)部分對應(yīng)的tRi。

4 仿真算例

取某產(chǎn)品15臺進(jìn)行無替換定數(shù)截尾自然貯存試驗(yàn)，10臺產(chǎn)品出現(xiàn)失效，失效時(shí)間分別為 （單位 ： 年 ） ：14.71、 15.09、 18.29、 19.91、 20.67、21.87、 22.32、 22.87、 24.91、 25.06。 給定置信度為0.75，求：a）給定可靠度R=0.95時(shí)產(chǎn)品的可靠壽命下限；b）任務(wù)時(shí)間t0=14年時(shí)的產(chǎn)品貯存可靠度下限。

采用最小二乘法估計(jì)以上數(shù)據(jù)的參數(shù)時(shí)，用式 （8）計(jì)算相關(guān)系數(shù)rC=0.977638，可以認(rèn)為該產(chǎn)品的貯存壽命服從威布爾分布。查 《可靠性試驗(yàn)用表》獲得n=15、 r=10 時(shí)的 DI（n， r， j）、 CI（n， r，j）。

現(xiàn)用Excel對其進(jìn)行仿真，每次抽取4000個樣本，仿真5次所得的結(jié)果見表2。由表2可見，5次仿真的可靠壽命的平均值為12.053，計(jì)算值為12.43，5次仿真的貯存可靠度的平均值為0.920，計(jì)算值為0.919，二者很接近。

表2 某產(chǎn)品的可靠壽命、可靠度仿真結(jié)果

4 結(jié)束語

通過以上分析和實(shí)例可以看到，采用Excel進(jìn)行可靠性數(shù)值仿真，只需利用Excel提供的函數(shù)和單元格的引用就可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，簡單直觀，方便實(shí)用，仿真結(jié)果準(zhǔn)確可信，對可靠性評估研究和可靠性分析計(jì)算具有重要的參考價(jià)值，有助于可靠性仿真技術(shù)的推廣應(yīng)用。

[1]陸勝勇.可靠性仿真技術(shù) [J].電子產(chǎn)品可靠性與環(huán)境試驗(yàn)， 1999， （1）： 19-22.

[2]周源泉.質(zhì)量可靠性增長與評定方法 [M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1997.

[3]中國電子技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)化研究所.可靠性試驗(yàn)用表[M].增訂本.北京：國防工業(yè)出版社，1987.

[4]宋筆鋒.飛行器可靠性工程[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006.