宋昌盛， 黎 菁， 王 瑩， 李峰波， 涂顏帥， 宗豐德

(浙江師范大學(xué)非線性物理研究所，浙江金華 321004)

0 引言

1995年，Anderson研究小組［1］通過激光和蒸發(fā)冷卻技術(shù)將稀薄堿金屬蒸氣降到極低的溫度，從而在實(shí)驗(yàn)上首次實(shí)現(xiàn)了玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(BECs)．這為原子的波動(dòng)特性提供了新的證據(jù)，也為研究和使用這種宏觀量子系統(tǒng)提供了重要的工具．目前，對(duì)BECs的實(shí)驗(yàn)和理論研究多數(shù)已把目標(biāo)鎖定在開發(fā)、操控和揭示宏觀量子現(xiàn)象上，如相位相干［2］、物質(zhì)波衍射［3］、物質(zhì)波傳輸［4］、物質(zhì)波格柵、脈沖物質(zhì)波激光［5］和量子邏輯［6］等．隨著BECs實(shí)驗(yàn)不斷取得新進(jìn)展，在諸多宏觀量子現(xiàn)象中，物質(zhì)波孤子囚禁操控方面受到了特別關(guān)注．一般而言，產(chǎn)生吸引和排斥的BECs可通過Feshbach共振有效地加以調(diào)控［7］．其實(shí)，通過外勢(shì)來囚禁操控BECs在實(shí)驗(yàn)上也是可行的，因?yàn)橥鈩?shì)中的光晶格勢(shì)是由波矢為2π/λ、夾角為θ相交入射的兩激光束干涉疊加而成［8］．在實(shí)驗(yàn)中，可通過調(diào)節(jié)兩激光束的夾角改變光晶格勢(shì)的空間周期，也可通過改變激光束初相位隨時(shí)間調(diào)制確定改變光晶格勢(shì)的極小值位置．因此，在BECs的研究過程中，怎樣通過調(diào)節(jié)外勢(shì)來操控凝聚體已成為一個(gè)很有價(jià)值的現(xiàn)實(shí)問題．

本文重點(diǎn)研究由光晶格勢(shì)和拋物勢(shì)組成復(fù)合勢(shì)中的BEC孤子囚禁操控動(dòng)力學(xué)．筆者在此提出了一種處理上述復(fù)合勢(shì)中的BEC孤子動(dòng)力學(xué)的拓展變分法，將控制系統(tǒng)的非線性偏微分方程降階為更為簡(jiǎn)捷的以揭示振幅、啁啾、中心位置和中心頻率波動(dòng)為特征的4個(gè)耦合的非線性微分方程，從而可以清楚地理解BEC孤子在復(fù)合勢(shì)中的囚禁操控動(dòng)力學(xué)特征，這將為BEC系統(tǒng)在精確量子測(cè)量和量子信息處理等方面的實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用提供了有力的理論參考．

1 BEC模型與變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

在足夠低的溫度和平均場(chǎng)近似下，稀薄的玻色氣體可采用帶有外勢(shì)的三維Gross-Pitaevskii方程［9］描述，而在一維雪茄型模型下吸引的BEC波函數(shù)被描述為帶外勢(shì)的非線性Schr?dinger方程(NLS)［10］

式(1)中:u(x，t)是Hartree-Fock近似下的規(guī)范復(fù)數(shù)平均場(chǎng)變量［11］;外勢(shì)場(chǎng)V(x，t)是光晶格勢(shì)和拋物勢(shì)的復(fù)合勢(shì)，具體形式如下:

式(2)中:V0和V1分別是光晶格勢(shì)和拋物勢(shì)的強(qiáng)度;參數(shù)k是產(chǎn)生光晶格勢(shì)的入射激光波數(shù);參量x是光晶格勢(shì)的最小值和拋物勢(shì)最小值之間的最小偏移量．

筆者拓展已被廣泛應(yīng)用于哈密頓系統(tǒng)中的變分法，從而得到BEC的變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)．一維雪茄型BEC的控制方程(1)的拉格朗日密度［12］為

由于選用高斯函數(shù)與雙曲函數(shù)作為孤子試探解的區(qū)別非常?。?3］，故筆者選取帶有啁啾項(xiàng)的試探解為

式(4)中:參量η，β，x0，ξ，φ分別代表振幅、啁啾、中心位置、中心頻率和絕對(duì)相位，它們都是時(shí)間t的函數(shù);常數(shù)A的大小由實(shí)驗(yàn)給定的被囚禁BEC原子總數(shù)目決定．將式(4)代入式(3)得到平均拉格朗日函變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為:

需要指出的是，在上述推導(dǎo)過程中做了簡(jiǎn)化處理k/η?1，使得exp［-k2/(2η2)］≈1，這樣就拓展了文獻(xiàn)［14］的結(jié)果，使得對(duì)BEC動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析變得簡(jiǎn)捷;另外，方程(5)～方程(8)分別反映了振幅、啁啾、中心位置和中心頻率的相互作用．正是引入了啁啾項(xiàng)，使我們能捕捉到驅(qū)使孤子的振幅-寬度波動(dòng)的二次相位變化的信息，因此，它能高質(zhì)量地揭示出BEC系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征．

2 BEC孤子的動(dòng)力學(xué)演化

處理BEC變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(5)～式(8)的耦合非線性微分方程組的基本思路是:先求出靜態(tài)解，然后再分析其穩(wěn)定性［15］．這里先令

就可得靜態(tài)解(η0，β0，x00，ξ0);然后，對(duì)求得的靜態(tài)解進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析［15］，得到特征方程為

求解特征方程(9)，得到4個(gè)特征值解

圖1 5個(gè)穩(wěn)定晶格勢(shì)槽V(x)對(duì)應(yīng)外勢(shì)場(chǎng)與位置x之間的關(guān)系曲線

根據(jù)線性穩(wěn)定性分析理論［15］可知，若4個(gè)特征值都是純虛數(shù)，則對(duì)應(yīng)的靜態(tài)解是穩(wěn)定的;若有一個(gè)特征值是實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的靜態(tài)解將顯現(xiàn)鞍形結(jié)構(gòu)且是不4個(gè)特征值都是純虛數(shù)，靜態(tài)解是穩(wěn)定的;只能產(chǎn)生心位置x0的變化，余弦函數(shù)將出現(xiàn)周期性振蕩，使得特征值λ3和λ4在純虛數(shù)(靜態(tài)解是穩(wěn)定的)和純實(shí)數(shù)(靜態(tài)解是不穩(wěn)定的)之間轉(zhuǎn)換．正是這一情形才為實(shí)現(xiàn)多穩(wěn)定晶格勢(shì)槽囚禁BECs提供了可能．要個(gè)穩(wěn)定晶格勢(shì)槽所對(duì)應(yīng)的極小值位置(從左至右)．

表1 5個(gè)穩(wěn)定晶格勢(shì)槽極小值與對(duì)應(yīng)位置x之間的關(guān)系

為了證實(shí)拓展變分法對(duì)于描述復(fù)合勢(shì)中的BEC孤子動(dòng)力學(xué)演化的充分性，筆者將對(duì)BEC變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(5)～式(8)的數(shù)值解與基本NLS方程的直接數(shù)值仿真進(jìn)行比較，這里，筆者利用分步傅立葉變換直接數(shù)值仿真NLS方程［16］，監(jiān)控基本守恒量和孤子的能量，又利用自適應(yīng)步長(zhǎng)控制的Runge-Kutta方法數(shù)值求解BEC變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(5)～式(8)［15，17］．

考慮一般情形，選取圖1中的部分參數(shù)來討論BEC孤子的動(dòng)力學(xué)行為．圖2展示了外勢(shì)場(chǎng)穩(wěn)定晶格勢(shì)槽中x0=3．74的BEC孤子動(dòng)力學(xué)特性．從BEC變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(5)～式(8)的時(shí)序圖可以看出，由于啁啾的波動(dòng)而導(dǎo)致了振幅的波動(dòng)，使得BEC孤子的演化過程中出現(xiàn)了呼吸行為．同樣，中心位置的變化會(huì)直接影響到中心頻率的變化，這正好驗(yàn)證了前面4個(gè)耦合方程中的式(5)和式(7)．由此可知，當(dāng)初始位置放置在外勢(shì)場(chǎng)穩(wěn)定晶格勢(shì)槽中時(shí)，孤子的動(dòng)力學(xué)演化過程保持穩(wěn)定．值得指出的是，BEC變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(5)～式(8)的數(shù)值解與BEC控制方程(1)的直接仿真結(jié)果完全符合．

圖2 初始位置放置在穩(wěn)定靜態(tài)解附近的BEC孤子動(dòng)力學(xué)行為

3 BEC孤子的操控

接下來討論復(fù)合勢(shì)中的BEC孤子的操控．主要通過如引言所述的調(diào)制光晶格勢(shì)的2種方式來實(shí)現(xiàn)操控BECs．第1種方式是通過復(fù)合勢(shì)的“平移拖曳操控”，操控函數(shù)為

式(12)中:x1和x2分別是BEC孤子的初始位置和目標(biāo)位置;t0和τ是操控參數(shù)，分別代表操控開啟時(shí)間和操控持續(xù)時(shí)間．整個(gè)拖曳過程是在絕熱情形下進(jìn)行的，要求τ取較大的值(τ=10)．若τ很小，則整個(gè)操控過程就會(huì)完全失去對(duì)BEC孤子的引導(dǎo)作用，最后使得整個(gè)BEC崩塌．操控過程猶如一個(gè)機(jī)器手，在無形地平移拖曳著，使BEC孤子在操控時(shí)間范圍內(nèi)成功地從初始位置移動(dòng)到任意目標(biāo)位置．BEC孤子從初始位置的穩(wěn)定晶格勢(shì)槽中的x1=-6．82處操控到目標(biāo)位置x2=25．00時(shí)，其對(duì)應(yīng)的復(fù)合勢(shì)演化如圖3(a)所示．而從圖3(b)中可明顯看出，從初始位置到目標(biāo)位置整個(gè)操控過程中復(fù)合勢(shì)的強(qiáng)度保持不變，只是BEC孤子從初始放置的穩(wěn)定晶格勢(shì)槽中的x1=-26．82的A點(diǎn)經(jīng)過平移拖曳到目標(biāo)位置x2=25．00的B點(diǎn)，2條復(fù)合勢(shì)曲線平移了一段距離而已．

圖3 第1種方式操控下復(fù)合勢(shì)的演化圖

BEC孤子的操控動(dòng)力學(xué)演化如圖4所示．BEC孤子從穩(wěn)定晶格勢(shì)槽中的x1=-26．82處向坐標(biāo)原點(diǎn)左邊平移拖曳操控，目標(biāo)位置是 x2=25．00．圖 4 中的參數(shù)為 A=1．0，V0=-50，V1=0．025，k=0．1，t0=50．0，τ=10．結(jié)果表明，通過調(diào)制光晶格勢(shì)中的操控函數(shù)x，實(shí)現(xiàn)了BEC孤子穩(wěn)定平移拖曳的動(dòng)力學(xué)操控．需要進(jìn)一步指出的是，該操控移動(dòng)過程中的變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(5)～式(8)的數(shù)值解與BEC控制方程(1)的直接數(shù)值模擬仿真結(jié)果非常吻合．

圖4 第1種方式的BEC孤子的操控動(dòng)力學(xué)演化圖

第2種方式是通過復(fù)合勢(shì)的“周期性振動(dòng)操控”，操控函數(shù)為

式(13)中:x1，x2，t0和τ的物理意義與第1種方式相同;τ1表示移到目標(biāo)位置的操控時(shí)間．其復(fù)合勢(shì)與位置和時(shí)間之間的演化如圖5所示．圖5中的參數(shù)為t0=15．0，τ=0．5，τ1=5．0，k=0．1，A=1．5，V0=-50，V1=0．025，x1=3．74，x2=25．00．先將 BEC孤子放置在穩(wěn)定晶格勢(shì)槽中x1=3．74的位置，BEC孤子被穩(wěn)定地囚禁在勢(shì)槽中，然后到演化時(shí)間t0=15．0時(shí)，復(fù)合勢(shì)中的BEC孤子按正弦曲線軌跡開始移動(dòng)，再經(jīng)過5個(gè)單位時(shí)間拖曳到目標(biāo)位置;隨著時(shí)間的演化，BEC孤子將圍繞初始位置作周期性移動(dòng)，可以按需要穩(wěn)定移動(dòng)到周期性移動(dòng)范圍內(nèi)的任意位置，BEC孤子的穩(wěn)定操控動(dòng)力學(xué)演化如圖6所示．值得強(qiáng)調(diào)的是，該操控移動(dòng)過程中的變分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(5)～式(8)的數(shù)值解與BEC控制方程(1)的直接數(shù)值模擬仿真結(jié)果也照樣非常吻合．

圖5 第2種方式操控復(fù)合勢(shì)V(x，t)與位置x和時(shí)間t之間的演化圖

圖6 第2種方式的BEC孤子的操控動(dòng)力學(xué)演化圖

4 結(jié)論

如何在BECs的各種外勢(shì)場(chǎng)中管理和操控BEC孤子的問題備受研究者的關(guān)注．筆者提出了一種拓展變分法，將BEC系統(tǒng)經(jīng)拓展變分法降階為4個(gè)耦合非線性微分方程．該方法引入了啁啾項(xiàng)，使得我們能捕捉到驅(qū)使孤子的振幅-寬度波動(dòng)的二次相位變化的信息，因此，它能更清晰地揭示出在光晶格勢(shì)與拋物勢(shì)作用下BEC孤子的動(dòng)力學(xué)行為和特征．由它不僅得到了產(chǎn)生精確多穩(wěn)定晶格勢(shì)槽數(shù)目和外勢(shì)場(chǎng)參數(shù)決定的臨界比值，而且還得到了2種操控BEC孤子的基本方法．特別需要指出的是，通過調(diào)制光晶格勢(shì)，成功地實(shí)現(xiàn)了BEC孤子從某一穩(wěn)定晶格勢(shì)槽為初始位置到任意目標(biāo)位置的平移拖曳操控和周期性移動(dòng)操控．這將為與BEC孤子操控相關(guān)的宏觀量子現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用提供了良好的理論依據(jù)．研究還表明，拓展變分法對(duì)BEC孤子系統(tǒng)的描述與數(shù)值仿真的結(jié)果完全符合．基于拓展變分法對(duì)于在光晶格勢(shì)與拋物勢(shì)作用下BEC孤子的囚禁操控動(dòng)力學(xué)特性描述的有效性，可將該方法拓展到高維BEC孤子的穩(wěn)定性分析和操控問題，具體工作正在進(jìn)行中．

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