蔡 林，周澤兵，祝 竺，高 防，許厚澤

1 華中科技大學(xué)電子與信息工程系，武漢 430074

2 華中科技大學(xué)物理學(xué)院，武漢 430074

3 華中科技大學(xué)地球物理研究所，武漢 430074

4 中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，武漢 430077

衛(wèi)星重力梯度恢復(fù)地球重力場(chǎng)的頻譜分析

蔡 林1，3，周澤兵2，3＊，祝 竺2，3，高 防2，3，許厚澤3，4

1 華中科技大學(xué)電子與信息工程系，武漢 430074

2 華中科技大學(xué)物理學(xué)院，武漢 430074

3 華中科技大學(xué)地球物理研究所，武漢 430074

4 中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，武漢 430077

根據(jù)儀器功率譜密度和重力位系數(shù)階方差的定義，本文建立了衛(wèi)星重力梯度測(cè)量噪聲功率譜密度與重力場(chǎng)模型的誤差階方差的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系，并基于此討論了重力梯度測(cè)量精度、衛(wèi)星軌道高度以及運(yùn)行時(shí)間對(duì)地球重力場(chǎng)恢復(fù)精度的影響.相比于傳統(tǒng)的基于最小二乘法評(píng)估衛(wèi)星載荷噪聲對(duì)地球重力場(chǎng)恢復(fù)精度的影響而言，本文提出的方法簡(jiǎn)單、直接，有助于快速設(shè)計(jì)和確定衛(wèi)星重力測(cè)量計(jì)劃的有關(guān)參數(shù).

衛(wèi)星重力梯度測(cè)量，地球重力場(chǎng)，頻譜分析

1 引 言

衛(wèi)星重力測(cè)量技術(shù)公認(rèn)為是當(dāng)今獲取全球高精度高分辨率地球重力場(chǎng)及其時(shí)變信息最有效的技術(shù)手段之一.于2000年7月15日和2002年3月17日分別發(fā)射升空的CHAMP衛(wèi)星［1］和GRACE衛(wèi)星［2］采用的是衛(wèi)衛(wèi)跟蹤（SST）觀測(cè)技術(shù)，測(cè)量了地球重力場(chǎng)的中長(zhǎng)波分量.2009年3月17日成功發(fā)射的GOCE衛(wèi)星［3－4］結(jié)合了高低衛(wèi)－衛(wèi)跟蹤模式和衛(wèi)星重力梯度測(cè)量（SGG）兩種技術(shù)模式.相對(duì)于CHAMP和GRACE而言，GOCE能更為精確地測(cè)量地球重力場(chǎng)的中短波分量，對(duì)地球的位系數(shù)測(cè)量能達(dá)到200階以上.

地球重力場(chǎng)的恢復(fù)精度取決于衛(wèi)星的測(cè)量模式、衛(wèi)星高度、軌道傾角、衛(wèi)星載荷的測(cè)量精度等參數(shù).目前在衛(wèi)衛(wèi)跟蹤（SST）測(cè)量的數(shù)據(jù)處理和誤差分析中廣泛采用的是利用基于軌道攝動(dòng)分析理論的時(shí)域法，包括動(dòng)力學(xué)積分法［5－6］、能量守恒法［7－8］和短弧邊值法［9］等.對(duì)于衛(wèi)星重力梯度數(shù)據(jù)的處理和評(píng)估，一般是基于將重力梯度觀測(cè)值作為衛(wèi)星位置或者時(shí)間的函數(shù)，在此基礎(chǔ)上利用相應(yīng)的空域最小二乘法［10－11］或時(shí)域最小二乘法［10，12－13］來確定重力場(chǎng)模型并進(jìn)行誤差分析.以上這些方法本質(zhì)上都是利用最小二乘法評(píng)估重力場(chǎng)恢復(fù)精度［14－15］，能夠在得到重力位系數(shù)的同時(shí)給出相應(yīng)重力場(chǎng)恢復(fù)的精度，以及可以把不同測(cè)量數(shù)據(jù)組合進(jìn)行聯(lián)合求解，得到優(yōu)化的結(jié)果.這類方法不僅需要消耗大量計(jì)算資源，且難以直接評(píng)估某些單一參數(shù)的影響.另外，當(dāng)前和未來的重力場(chǎng)研究都面臨著解算模型的分辨率越來越高、階數(shù)越來越大的問題.如果使用傳統(tǒng)方法研究誤差分析和恢復(fù)能力，則在階數(shù)較大時(shí)，每增加一階都會(huì)使計(jì)算量急劇增長(zhǎng)并帶來嚴(yán)重的數(shù)值不穩(wěn)定性問題［16］.所以，高效、穩(wěn)定的評(píng)估重力場(chǎng)精度的方法對(duì)高分辨率重力場(chǎng)模型的研究有著重要意義.

為了快速評(píng)估和確定衛(wèi)星重力測(cè)量計(jì)劃有關(guān)參數(shù)，以及評(píng)估不同類型載荷噪聲功率譜的影響，本文根據(jù)儀器功率譜密度和重力位模型階方差的定義，討論了重力梯度測(cè)量噪聲與地球重力場(chǎng)的頻譜關(guān)系，建立起地球重力場(chǎng)恢復(fù)精度與儀器噪聲水平的直接表達(dá)式，這有助于項(xiàng)目設(shè)計(jì)初期選取和確定相應(yīng)載荷指標(biāo)，以及分析部分載荷指標(biāo)調(diào)整的影響.最后，本文利用該方法對(duì)衛(wèi)星重力梯度測(cè)量中儀器技術(shù)指標(biāo)、衛(wèi)星高度和運(yùn)行時(shí)間與恢復(fù)地球重力場(chǎng)的精度之間的關(guān)系作了模擬分析.

2 理論分析

地球引力場(chǎng)擾動(dòng)位函數(shù)T的球諧展開如下［10］：

其中GM為地心引力常數(shù)，R為地球平均半徑，l和m分別為球諧展開的階和次，與為相對(duì)于正常重力位的擾動(dòng)球諧系數(shù)，（cosθ）為歸一化的勒讓德函數(shù)，r、θ和λ分別為地心參考系下觀測(cè)點(diǎn)的半徑、余緯和經(jīng)度，r＝R＋H，H表示衛(wèi)星軌道高度.

對(duì)（1）式求導(dǎo)并利用相關(guān)坐標(biāo)關(guān)系，可得擾動(dòng)位函數(shù)T在局部指北坐標(biāo)系下沿z方向的梯度分量Tzz為

從上式可看出，若能精確測(cè)定重力梯度張量分量Tzz，則可以恢復(fù)高精度的地球重力場(chǎng)，得到相應(yīng)的位系數(shù)和.同時(shí)（2）式也意味著，和的不確定度與取決于Tzz的測(cè)量噪聲.根據(jù)球諧函數(shù)的正交性，由（2）式得到Tzz的測(cè)量噪聲總功率為［17］

如果已知梯度測(cè)量噪聲功率譜密度Szz（f）（單位：E2／Hz），則第l階m次對(duì)應(yīng)頻帶引入的噪聲功率為

其中flm為第l階m次重力位系數(shù)對(duì)應(yīng)的測(cè)量頻率，由傅里葉級(jí)數(shù)和球諧系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來確定［18－19］，Δf為flm對(duì)應(yīng)的測(cè)量頻率間隔，取決于測(cè)量頻率的分辨率和信號(hào)頻率的穩(wěn)定度.重力梯度測(cè)量水平或者分辨率取決于測(cè)量噪聲的功率譜密度，工程上習(xí)慣用噪聲功率譜密度的開方來表示，其單位為E／Hz1／2.若忽略實(shí)際重力衛(wèi)星無法覆蓋極軌區(qū)域的影響，同時(shí)假定測(cè)量頻帶內(nèi)梯度測(cè)量噪聲為白噪聲（例如對(duì)于GOCE計(jì)劃而言，在測(cè)量頻帶內(nèi)重力梯度儀噪聲譜密度可看作是白噪聲）.在此假設(shè)條件下，再考慮到l階內(nèi)獨(dú)立球諧系數(shù)ˉClm和ˉSlm的個(gè)數(shù)為（2l＋1），可以得出第l階對(duì)應(yīng)頻帶內(nèi)引入的梯度測(cè)量噪聲功率為

把（5）和（6）式帶入（4）式，整理得到

當(dāng)衛(wèi)星的運(yùn)行時(shí)間為T時(shí)，忽略重力信號(hào)的時(shí)變影響（即忽略信號(hào)頻率的漲落影響），則每階次位系數(shù)所對(duì)應(yīng)的梯度測(cè)量的頻率間隔為Δf＝1／T［13］，若梯度測(cè)量噪聲在測(cè)量頻帶內(nèi)為白噪聲，對(duì)每階次的影響都為第l階的總貢獻(xiàn)為由（7）式可得到：

為了分析重力位系數(shù)的恢復(fù)精度對(duì)應(yīng)的大地水準(zhǔn)面起伏和重力異常，我們使用大地水準(zhǔn)面累積誤差σN和重力異常累積誤差σΔg評(píng)定其影響，表達(dá)式分別為［10］

和

3 結(jié)果分析

根據(jù)（8）、（9）和（10）式，我們對(duì)不同的梯度測(cè)量噪聲功率譜密度、衛(wèi)星高度和衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間的影響進(jìn)行分析和討論.

3.1 梯度測(cè)量精度影響分析

當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間和高度一定時(shí)，重力場(chǎng)恢復(fù)精度主要依賴于重力梯度的測(cè)量精度.重力梯度測(cè)量精度依賴于梯度儀以及衛(wèi)星平臺(tái)角速度的測(cè)量精度.由（8）式可知，若其它因素不變時(shí)，重力梯度測(cè)量精度提高N倍，重力場(chǎng)的恢復(fù)精度會(huì)相應(yīng)提高N倍.若衛(wèi)星軌道高度H為250km，運(yùn)行時(shí)間T為6個(gè)月，梯度測(cè)量水平分別為4、7和10mE／Hz1／2，得到相應(yīng)的誤差階方差估計(jì)如圖1所示.需要說明的是，GOCE計(jì)劃建議立項(xiàng)前最先確定梯度測(cè)量精度為4mE／Hz1／2［3］，GOCE計(jì)劃第三次研討會(huì)將其調(diào)整為7mE／Hz1／2［20］，GOCE衛(wèi)星在軌運(yùn)行時(shí)重力梯度測(cè)量水平約為10mE／Hz1／2甚至更差［20］.另外，本文利用Kaula準(zhǔn)則評(píng)定恢復(fù)重力場(chǎng)位系數(shù)的最大階數(shù)［21］，其具體表達(dá)式如下：

圖1 不同梯度測(cè)量噪聲情況下的誤差階方差估計(jì)Fig.1 Errors degree variance with different precision of gravity gradient measurements

從圖1中可以看到，基于Kaula準(zhǔn)則，梯度測(cè)量水平為4、7和10mE／Hz1／2所對(duì)應(yīng)的恢復(fù)重力場(chǎng)位系數(shù)的最大階數(shù)分別為245、231和221階，這表明提高重力梯度的測(cè)量精度可有效提高恢復(fù)地球重力場(chǎng)的精度.

相應(yīng)的大地水準(zhǔn)面累積誤差估計(jì)如圖2a所示，當(dāng)階數(shù)為100階時(shí)，梯度測(cè)量水平為4、7和10mE／Hz1／2所對(duì)應(yīng)的大地水準(zhǔn)面精度分別約為0.22、0.39和0.56cm.從150階左右開始大地水準(zhǔn)面精度隨階數(shù)升高而明顯地變差，當(dāng)階數(shù)為200階時(shí)，對(duì)應(yīng)的大地水準(zhǔn)面精度分別為2.11、3.69和5.27cm.相應(yīng)的重力異常累積誤差估計(jì)如圖2b所示，梯度測(cè)量水平為4、7和10mE／Hz1／2，對(duì)應(yīng)前50階的重力異常累積誤差分別為0.0038、0.0067和0.0095mGal，前200階的累積誤差分別為0.59、1.04和1.48mGal.表1給出不同梯度測(cè)量噪聲情況下大地水準(zhǔn)面累積誤差以及重力異常累積誤差與恢復(fù)階數(shù)的關(guān)系.

表1 不同梯度測(cè)量噪聲情況下的大地水準(zhǔn)面累積誤差以及重力異常累積誤差估計(jì)比較Table 1 Cumulative geoid height errors and gravity anomaly errors with different precision of gravity gradient measurements

圖2 不同梯度測(cè)量噪聲情況下的大地水準(zhǔn)面累積誤差（a）以及重力異常累積誤差（b）估計(jì)Fig.2 Cumulative geoid height errors（a）and cumulative gravity anomaly errors（b）with different precision of gravity gradient measurements

3.2 衛(wèi)星軌道高度影響分析

軌道高度是重力衛(wèi)星的關(guān)鍵參數(shù)之一，其選擇直接影響到衛(wèi)星重力恢復(fù)精度.當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間和重力梯度測(cè)量精度一定時(shí)，不考慮大氣密度變化等因素時(shí)，降低軌道高度有利于提高恢復(fù)重力場(chǎng)的精度.假設(shè)在重力梯度測(cè)量衛(wèi)星的梯度測(cè)量噪聲不變的情況下，梯度測(cè)量水平為7mE／Hz1／2，運(yùn)行時(shí)間為6個(gè)月，衛(wèi)星軌道高度H分別為200、250和300km，得到相應(yīng)的誤差階方差估計(jì)如圖3所示，重力場(chǎng)位系數(shù)的最大恢復(fù)階次數(shù)分別為287、230和191階，即軌道高度每降低50km，恢復(fù)重力場(chǎng)系數(shù)的最大階數(shù)提高約40～50階.因此，降低軌道高度可以大幅提高地球重力場(chǎng)恢復(fù)的精度和空間分辨率.

相應(yīng)的大地水準(zhǔn)面累積誤差估計(jì)如圖4a所示，當(dāng)階數(shù)小于100階時(shí)，恢復(fù)的大地水準(zhǔn)面精度在不同衛(wèi)星軌道高度情況下差異不大，分別為0.31、0.39和0.58cm，這意味著降低衛(wèi)星軌道高度對(duì)階數(shù)小于100階的大地水準(zhǔn)面精度的恢復(fù)影響較小.隨著階數(shù)增加，降低衛(wèi)星軌道高度對(duì)大地水準(zhǔn)面精度的恢復(fù)有非常大的影響，當(dāng)階數(shù)為200階時(shí)，對(duì)應(yīng)的大地水準(zhǔn)面精度分別為0.96、3.69和15.16cm，分別相差約4倍.相應(yīng)的重力異常累積誤差估計(jì)如圖4b所示，從中可得重力異常累積誤差估計(jì)隨衛(wèi)星軌道高度增加而變差.由重力異常累積誤差估計(jì)同樣可以得到，階數(shù)較低時(shí)，衛(wèi)星軌道高度對(duì)重力異常的作用不明顯，當(dāng)軌道高度為200、250和300km時(shí)，前50階的重力異常累積誤差分別為0.0050、0.0067和0.0090mGal；而階數(shù)較高時(shí)，衛(wèi)星軌道高度的作用隨階數(shù)增加越來越明顯，前200階的重力異常累積誤差分別為0.25、1.04和4.35mGal，也是分別相差約4倍.表2給出了不同高度情況下的大地水準(zhǔn)面累積誤差以及重力異常累積誤差估計(jì)與恢復(fù)階數(shù)的關(guān)系.由此可看出，在衛(wèi)星實(shí)際運(yùn)行條件下，降低衛(wèi)星運(yùn)行軌道高度有利于提高地球重力場(chǎng)中短波段系數(shù)的恢復(fù)精度和空間分辨率.

圖3 不同高度情況下的誤差階方差估計(jì)Fig.3 Errors degree variance with different altitudes

3.3 衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間影響分析

重力場(chǎng)的恢復(fù)精度還取決于衛(wèi)星的運(yùn)行時(shí)間.由（8）式可知，其他因素不變時(shí)，衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間延長(zhǎng)N倍，靜態(tài)重力場(chǎng)的恢復(fù)精度會(huì)提高倍.當(dāng)然，考慮到重力場(chǎng)的時(shí)變效應(yīng)，需選擇合適的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行模擬分析.若衛(wèi)星軌道高度為250km，梯度測(cè)量水平為7mE／Hz1／2，運(yùn)行時(shí)間T為1、3和6個(gè)月得到相應(yīng)的誤差階方差估計(jì)如圖5所示，對(duì)應(yīng)恢復(fù)重力場(chǎng)位系數(shù)的最大階數(shù)分別為206、222和230階，表明增加運(yùn)行時(shí)間可提高恢復(fù)地球重力場(chǎng)的精度.

表2 不同高度情況下的大地水準(zhǔn)面累積誤差以及重力異常累積誤差估計(jì)比較Table 2 Cumulative geoid height errors and cumulative gravity anomaly errors with different altitudes

相應(yīng)的大地水準(zhǔn)面累積誤差估計(jì)和重力異常累積誤差估計(jì)如圖6a和6b所示，從中可以看出，當(dāng)階數(shù)為200階時(shí)，運(yùn)行時(shí)間為1、3和6個(gè)月所對(duì)應(yīng)的大地水準(zhǔn)面精度分別為9.04、5.22和3.69cm，重力異常累積誤差估計(jì)分別為2.54、1.47和1.04mGal.大地水準(zhǔn)面和重力異?；謴?fù)精度隨著衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間增加而變好，表3給出了多種運(yùn)行時(shí)間情況下的大地水準(zhǔn)面累積誤差以及重力異常累積誤差估計(jì)，當(dāng)重力梯度測(cè)量噪聲和衛(wèi)星軌道高度一定時(shí)，重力場(chǎng)恢復(fù)的空間分辨率依賴于衛(wèi)星的運(yùn)行時(shí)間.值得強(qiáng)調(diào)的是，若考慮到實(shí)際情況中重力場(chǎng)的時(shí)變效應(yīng)，衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間進(jìn)一步增加對(duì)地球重力場(chǎng)恢復(fù)精度和空間分辨率的改善不會(huì)太顯著.

圖4 不同高度情況下的大地水準(zhǔn)面累積誤差（a）以及重力異常累積誤差（b）估計(jì)Fig.4 Cumulative geoid height errors（a）and cumulative gravity anomaly errors（b）with different altitudes

表3 不同運(yùn)行時(shí)間下的大地水準(zhǔn)面累積誤差以及重力異常累積誤差估計(jì)比較Table 3 Cumulative geoid height errors and cumulative gravity anomaly errors with different operation duration

圖5 不同運(yùn)行時(shí)間下的誤差階方差估計(jì)Fig.5 Errors degree variance with different mission duration

4 討論和結(jié)論

根據(jù)儀器功率譜密度和重力場(chǎng)模型階方差的定義，本文直接建立了梯度測(cè)量噪聲功率譜對(duì)位系數(shù)恢復(fù)精度的表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上討論了衛(wèi)星重力梯度測(cè)量中儀器技術(shù)指標(biāo)、衛(wèi)星軌道高度和衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間對(duì)重力場(chǎng)恢復(fù)的影響.結(jié)果分析表明，重力梯度測(cè)量精度越高、衛(wèi)星軌道高度越低以及運(yùn)行時(shí)間越長(zhǎng)，恢復(fù)地球重力場(chǎng)精度越高.其結(jié)果與國(guó)外學(xué)者用數(shù)值仿真方法得到的結(jié)果符合很好［10，22－23］.相對(duì)于傳統(tǒng)的研究衛(wèi)星重力測(cè)量誤差分析和恢復(fù)能力論證的方法，本文提出的方法具有簡(jiǎn)單和直接等優(yōu)點(diǎn)，且不需要消耗大量計(jì)算資源.該方法特別適合項(xiàng)目建議初期對(duì)部分觀測(cè)量或者載荷指標(biāo)進(jìn)行快速評(píng)估和確定，也可以對(duì)衛(wèi)星重力測(cè)量系統(tǒng)數(shù)值模擬仿真中參數(shù)選擇和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo).

需要指出的是，在本文的推導(dǎo)中采用的是極圓軌道，而實(shí)際重力測(cè)量衛(wèi)星的軌道是偏心率很小的橢圓，且軌道的傾角略大于或小于90°，這會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)采集不能覆蓋極區(qū)以及恢復(fù)的重力場(chǎng)模型精度與理想情況有一定偏差.此外，本文僅使用Vzz進(jìn)行估計(jì)，未考慮Vxx和Vyy以及重力梯度衛(wèi)星中衛(wèi)衛(wèi)高低跟蹤模式的貢獻(xiàn).本文討論中，假設(shè)了測(cè)量頻帶范圍內(nèi)梯度測(cè)量噪聲功率譜密度與頻率無關(guān)，即測(cè)量頻帶內(nèi)白噪聲的假設(shè).下一步將對(duì)這些問題做進(jìn)一步分析，特別是實(shí)際梯度測(cè)量中色噪聲的影響分析.

圖6 不同運(yùn)行時(shí)間下的大地水準(zhǔn)面累積誤差（a）以及重力異常累積誤差（b）估計(jì)Fig.6 Cumulative geoid height errors（a）cumulative gravity anomaly errors（b）with different operation duration

致 謝 感謝中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所鐘敏研究員、武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院姜衛(wèi)平教授和徐新禹博士的有益討論，感謝審稿專家提出的修改意見和建議.

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Spectral analysis for recovering the Earth′s gravity potential by satellite gravity gradients

CAI Lin1，3，ZHOU Ze－Bing2，3＊，ZHU Zhu2，3，GAO Fang2，3，HSU Houtse3，4
1 Department of Electronics and Information Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China
2 School of Physics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China
3 Institute of Geophysics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China
4 Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China

Direct relationship between the power spectrum density of the satellite gradiometry and the coefficients of the Earth′s gravity potential is established based on the definitions of the instrument′s power spectrum density and the Earth′s gravity field potential，and then the effect of gravity gradient measurement accuracy，the altitude of the satellite，and the operation duration on recovering of Earth＇s gravity field is analyzed by using this method.This method is simple and direct compared with the others based on the least square approach，and is very useful to design and verify the parameters for the Earth gravity recovery missions.

Satellite gravity gradiometry，The Earth＇s gravity potential，Spectral analysis

10.6038／j.issn.0001－5733.2012.05.014

P228

2011－10－18，2011－11－27收修定稿

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11075058）資助.

蔡林，男，1984年生，在讀博士研究生，主要從事衛(wèi)星重力測(cè)量方法研究.E－mail：mumu0202＠gmail.com

＊通訊作者周澤兵，男，1973年生，教授，主要從事衛(wèi)星重力測(cè)量和引力實(shí)驗(yàn)研究.E－mail：zhouzb＠m(xù)ail.hust.edu.cn

蔡林，周澤兵，祝竺等.衛(wèi)星重力梯度恢復(fù)地球重力場(chǎng)的頻譜分析.地球物理學(xué)報(bào)，2012，55（5）：1565－1571，

10.6038／j.issn.0001－5733.2012.05.014.

Cai L，Zhou Z B，Zhu Z，et al.Spectral analysis for recovering the Earth′s gravity potential by satellite gravity gradients.Chinese J.Geophys.（in Chinese），2012，55（5）：1565－1571，doi：10.6038／j.issn.0001－5733.2012.05.014.

（本文編輯 胡素芳）