程 敏，白會(huì)濤，潘 勇

（1.中原工學(xué)院信息商務(wù)學(xué)院，鄭州451191；2.鄭州宇通重工有限公司，鄭州450051；3.河南機(jī)電職業(yè)學(xué)院，鄭州451191）

電磁線(xiàn)圈的動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系一方面可以保證磁力機(jī)械產(chǎn)品順利工作，另一方面又影響該類(lèi)機(jī)械產(chǎn)品的工作性能［1］.鄭水英等在研究電磁阻尼器被動(dòng)減振時(shí)，考慮了動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系產(chǎn)生的波動(dòng)電流對(duì)阻尼器減振特性的影響，得出理論值與實(shí)驗(yàn)值吻合良好的結(jié)論［2］.李慧敏等在研究電磁輔助支撐的支撐特性時(shí)，將電磁線(xiàn)圈的動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系引起的感應(yīng)電流引入到理論模型中，較好地解釋了實(shí)驗(yàn)中支撐參數(shù)理論值與實(shí)驗(yàn)值之間存在誤差的現(xiàn)象［3］.以上研究表明，電磁線(xiàn)圈的動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系對(duì)機(jī)械產(chǎn)品工作性能的影響不容忽視.但是，目前對(duì)電磁線(xiàn)圈的動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系的研究?jī)H是針對(duì)某一機(jī)械產(chǎn)品，研究?jī)?nèi)容相對(duì)分散，很少有人對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的分析.

本文通過(guò)對(duì)不同情況下電磁線(xiàn)圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)態(tài)阻抗的分析，得到了因勵(lì)磁電流和間隙變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電流表達(dá)式，并對(duì)其合理性進(jìn)行了分析與討論.最后將動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系應(yīng)用到機(jī)械系統(tǒng)變剛度電磁支撐裝置中，得到了不同情況下電磁支撐裝置的附加支撐剛度參數(shù)和附加阻尼參數(shù)的表達(dá)式，合理解釋了電磁支撐裝置在實(shí)驗(yàn)中存在附加剛度和阻尼參數(shù)的現(xiàn)象.

1 電磁線(xiàn)圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

從結(jié)構(gòu)和工作原理上來(lái)講，磁力機(jī)械產(chǎn)品都可以看成電磁鐵或按一定空間布置的電磁鐵對(duì).電磁鐵是一種利用電磁感應(yīng)原理，使通電鐵心線(xiàn)圈中產(chǎn)生電磁力，從而吸引銜鐵進(jìn)行工作的一種執(zhí)行器.事實(shí)上，電磁線(xiàn)圈是一個(gè)非線(xiàn)性電感元器件，當(dāng)磁路的磁通發(fā)生變化時(shí)，電磁線(xiàn)圈中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).對(duì)于組成閉合電路的電磁線(xiàn)圈而言，同時(shí)會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，這符合法拉第電磁感應(yīng)定律的要求［4］.當(dāng)電磁鐵線(xiàn)圈中的磁通Ф0隨時(shí)間t發(fā)生變化時(shí)，在線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：

式中：N為電磁鐵線(xiàn)圈的總匝數(shù).假定電磁鐵鐵芯、銜鐵和間隙中的磁場(chǎng)是分段均勻的，在忽略漏磁和磁滯影響的情況下，根據(jù)磁路安培環(huán)路定律，線(xiàn)圈中的磁通勢(shì)為［5］：

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率，μ0＝4π×10－7H／m；S為磁場(chǎng)的有效面積；I為電磁鐵線(xiàn)圈的電流（A）；G為電磁鐵磁極與銜鐵的間隙（m）.

由式（2）可知，對(duì)于結(jié)構(gòu)參數(shù)一定的電磁鐵來(lái)說(shuō)，影響線(xiàn)圈磁通變化的因素主要有2個(gè)：一是勵(lì)磁電流I；二是間隙G.因此可從以下3種情況來(lái)考慮線(xiàn)圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：

（1）第一種情況：勵(lì)磁電流為交變電流，間隙為靜態(tài)間隙.此時(shí)

將式（3）代入式（1），可得

其中，dI／dt稱(chēng)為電流變化率，表征電流變化的速度，與電流的變化頻率有關(guān).

（2）第二種情況：勵(lì)磁電流為穩(wěn)恒電流，間隙為動(dòng)態(tài)間隙.此時(shí)

同理，將式（5）代入式（1），可得

其中，dG／dt稱(chēng)為位移變化率，反映了電磁鐵間隙變化的速度.

（3）第三種情況：勵(lì)磁電流為交變電流，間隙為動(dòng)態(tài)間隙.此時(shí)

同理，將式（7）代入式（1），可得

2 電磁線(xiàn)圈的動(dòng)態(tài)阻抗

電磁線(xiàn)圈的等效電路圖如圖1所示.

圖1 電磁線(xiàn)圈等效電路圖

圖1中Rr為電磁線(xiàn)圈的電阻；L為電磁線(xiàn)圈的電感.在電路中，對(duì)于直流勵(lì)磁電流來(lái)說(shuō)，電感不起阻抗作用；對(duì)于交變電流來(lái)說(shuō)，電感起到阻止電流變化的作用.下面分2種情況加以說(shuō)明：

（1）當(dāng)線(xiàn)圈中的電流為交變電流時(shí)，電磁鐵的磁阻為［5］：

則電磁線(xiàn)圈的電感系數(shù)為：

式（10）表明：當(dāng)電磁鐵結(jié)構(gòu)參數(shù)一定時(shí)，線(xiàn)圈的電感系數(shù)是一個(gè)常數(shù)；而當(dāng)電磁鐵的間隙發(fā)生變化時(shí)，線(xiàn)圈的電感系數(shù)將隨之發(fā)生變化.

線(xiàn)圈中因交變勵(lì)磁電流而產(chǎn)生的感抗為：

式中：ω為交變電流變化的頻率（Hz）.此時(shí)線(xiàn)圈中的阻抗為：

（2）當(dāng)線(xiàn)圈中的勵(lì)磁電流為穩(wěn)恒電流時(shí)，電磁線(xiàn)圈相當(dāng)于一條導(dǎo)線(xiàn)，而非電感元件.此時(shí)，線(xiàn)圈中的阻抗為

3 電路中的感應(yīng)電流

線(xiàn)圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件是：①閉合回路；②磁通發(fā)生變化.對(duì)于電磁線(xiàn)圈來(lái)說(shuō)，其滿(mǎn)足產(chǎn)生感應(yīng)電流的這2個(gè)基本條件.在計(jì)算感應(yīng)電流時(shí)，特作如下假設(shè)：①忽略感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和阻抗的相位差，即認(rèn)為二者同相位；②忽略感應(yīng)電流再次引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象.

下面根據(jù)磁通發(fā)生變化的不同情況來(lái)討論線(xiàn)圈中的感應(yīng)電流：

（1）第一種情況：電流為交變電流，間隙為靜態(tài)間隙.根據(jù)式（4）和式（12）可得

（2）第二種情況：電流為穩(wěn)恒電流，間隙為動(dòng)態(tài)間隙.根據(jù)式（6）和式（13）可得

（3）第三種情況：電流為交變電流，間隙為動(dòng)態(tài)間隙.根據(jù)式（8）和式（12）可得

4 分析與討論

下面分析各種情況下所得感應(yīng)電流表達(dá)式的合理性［6］：

（1）在第一種情況下，電磁線(xiàn)圈中只有因交變電流而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱(chēng)為電磁線(xiàn)圈的自感現(xiàn)象.自感現(xiàn)象是電磁感應(yīng)的特例，所以自感現(xiàn)象遵循所有的電磁感應(yīng)規(guī)律.自感電動(dòng)勢(shì)僅能減緩原電流的變化，不會(huì)阻止原電流的變化或逆轉(zhuǎn)原電流的變化趨勢(shì)；原電流最終還是要增加到穩(wěn)定值或減小到零［4］.由此可知，感應(yīng)電流在數(shù)值上應(yīng)小于原電流，即∣iL∣＜∣I∣.假設(shè)交變電流I＝I0ejωt，I0為電流幅值.將該交變電流對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，帶入式（14），再進(jìn)行取模運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)∣iL∣＜∣I∣恒成立.

（2）第二種情況反映了動(dòng)態(tài)間隙對(duì)穩(wěn)恒電流的影響.但此時(shí)存在這樣一個(gè)問(wèn)題，即對(duì)于穩(wěn)恒勵(lì)磁電流來(lái)說(shuō)，電感將不起作用，僅相當(dāng)于一條導(dǎo)線(xiàn).因此，有人認(rèn)為直流電磁鐵的勵(lì)磁電流僅與線(xiàn)圈電阻有關(guān)，不因間隙的大小而改變.但是，由式（6）可知，隨著間隙的變化，磁路的磁通也發(fā)生變化，進(jìn)而在閉合電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，即間隙的變化將影響勵(lì)磁電流的大小，這樣就產(chǎn)生了矛盾.事實(shí)上，由對(duì)電磁輔助支撐和電磁阻尼器的相關(guān)研究可知，間隙的變化將導(dǎo)致勵(lì)磁電流發(fā)生變化.為解決這一矛盾，可做一個(gè)關(guān)于動(dòng)態(tài)間隙影響穩(wěn)恒勵(lì)磁電流的實(shí)驗(yàn).通過(guò)實(shí)驗(yàn)可發(fā)現(xiàn)，此種情況下線(xiàn)圈中的確存在感應(yīng)電流.

（3）在第三種情況下，感應(yīng)電流表達(dá)式并不是前兩種情況的線(xiàn)性疊加，而是受到交變電流和動(dòng)態(tài)間隙兩因素的交叉影響.這是因?yàn)榫€(xiàn)圈中存在的動(dòng)態(tài)阻抗影響因動(dòng)態(tài)間隙而產(chǎn)生的感應(yīng)電流.事實(shí)上，電磁線(xiàn)圈的電磁關(guān)系是一種反復(fù)變化的動(dòng)態(tài)關(guān)系.例如，由交變電流和動(dòng)態(tài)間隙引起的感應(yīng)電流又會(huì)反過(guò)來(lái)影響感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而再次影響感應(yīng)電流，并依次進(jìn)行下去.但由于再次引起的感應(yīng)電流與勵(lì)磁電流相比非常小，可忽略不計(jì).另外，在第二種情況下，由動(dòng)態(tài)間隙引起的感應(yīng)電流會(huì)在線(xiàn)圈中產(chǎn)生一個(gè)動(dòng)態(tài)感抗，但是這個(gè)動(dòng)態(tài)感抗遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于由動(dòng)態(tài)勵(lì)磁電流引起的感抗.因此，在計(jì)算電磁線(xiàn)圈的阻抗時(shí)忽略了它的影響.其他兩種情況也存在類(lèi)似問(wèn)題.

5 應(yīng)用實(shí)例

利用電磁能進(jìn)行工作的機(jī)械產(chǎn)品有很多.第一作者基于電、磁、力三者之間的依存關(guān)系設(shè)計(jì)了一種用于機(jī)械系統(tǒng)變剛度支撐的電磁支撐裝置［7］，主要由電流源、電磁鐵、銜鐵和機(jī)械彈性元件組成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.電流源是電磁支撐的控制源，控制電磁鐵的磁場(chǎng)強(qiáng)度和電磁力，進(jìn)而控制電磁支撐裝置的支撐剛度參數(shù).電磁鐵由2塊鐵芯共用1塊銜鐵，呈對(duì)稱(chēng)分布，是整個(gè)支撐系統(tǒng)的執(zhí)行部件.鐵芯與機(jī)架的初始間隙均為g，并通入相同的勵(lì)磁電流I，以保證電磁支撐的電磁力與動(dòng)態(tài)間隙呈線(xiàn)性關(guān)系.機(jī)械彈性元件與機(jī)座相連，組成機(jī)械支撐裝置，可以保證整個(gè)支撐系統(tǒng)在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)工作.銜鐵為鐵磁性材料，由機(jī)械支撐裝置和電磁支撐裝置并聯(lián)組成的支撐系統(tǒng)支撐.

圖2 機(jī)械系統(tǒng)變剛度電磁支撐裝置的結(jié)構(gòu)示意圖

由圖2可知，當(dāng)銜鐵沿X方向的位移為x時(shí)，上下電磁鐵的間隙由g 變?yōu)椋╣＋x）和（g－x），且0≤x≤g.其中，g為靜態(tài)間隙；x為動(dòng)態(tài)間隙.此時(shí)電磁支撐裝置的穩(wěn)定懸浮狀態(tài)被打破，電磁鐵將沿X方向表現(xiàn)出吸力特性.

如果考慮動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系對(duì)磁路磁通的影響，電磁線(xiàn)圈中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，分別記為iL1和iL2.此時(shí)，電磁支撐的電磁力為：其中，λ是當(dāng)考慮間隙處磁通不均勻分布而產(chǎn)生誤差時(shí)加上的修正系數(shù)［8］，λ＝（1＋0.1ag）－1，a＝3～5.

將式（17）在x＝0，iL1＝0，iL2＝0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，略去高階小項(xiàng)可得

由式（18）可知，如果忽略感應(yīng)電流的影響，電磁力僅僅是位移x的一次函數(shù).此時(shí)可得電磁支撐裝置的支撐剛度參數(shù)為：

當(dāng)電磁支撐裝置的勵(lì)磁電流為穩(wěn)恒電流時(shí)，根據(jù)式（15）可得

把式（20）代入式（18），可得

式中：

由此可知，當(dāng)考慮動(dòng)態(tài)間隙對(duì)電磁支撐裝置支撐特性的影響時(shí)，電磁支撐裝置在提供支撐剛度參數(shù)K的同時(shí)，還提供一個(gè)附加阻尼參數(shù)C′，這有利于整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定.

同理，當(dāng)勵(lì)磁電流為交變電流時(shí)，根據(jù)式（16）可得

將式（23）代入式（18），可得此種情況下電磁支撐的電磁力表達(dá)式：

其中：

由上可知，當(dāng)同時(shí)考慮交變電流和動(dòng)態(tài)間隙產(chǎn)生的電磁感應(yīng)時(shí)，電磁支撐裝置的支撐特性將發(fā)生明顯變化，同時(shí)產(chǎn)生附加支撐剛度和阻尼參數(shù).附加支撐剛度和阻尼參數(shù)有利于整個(gè)支撐系統(tǒng)的穩(wěn)定，這也在某種程度上使得電磁類(lèi)機(jī)械產(chǎn)品具有一定的穩(wěn)定性.

另外，通過(guò)搭建懸臂梁實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)電磁支撐裝置的支撐參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)識(shí)別，結(jié)果表明，當(dāng)考慮動(dòng)態(tài)間隙對(duì)電磁支撐裝置支撐特性的影響時(shí)，支撐系統(tǒng)中的確存在附加阻尼參數(shù)，從而解釋了電磁支撐裝置支撐參數(shù)理論識(shí)別值與實(shí)驗(yàn)識(shí)別值之間存在差異的現(xiàn)象［7］，進(jìn)而有力地證明了電磁線(xiàn)圈的動(dòng)態(tài)關(guān)系對(duì)電磁類(lèi)機(jī)械產(chǎn)品工作性能的影響是不容忽視的.

6 結(jié) 語(yǔ)

動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系是磁力機(jī)械產(chǎn)品順利工作的前提和基礎(chǔ).本文通過(guò)研究影響動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系的電流和間隙參數(shù)，得到了表征動(dòng)態(tài)電磁特性的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)態(tài)阻抗.忽略二者的相位差，即認(rèn)為二者同相位，同時(shí)忽略感應(yīng)電流再次引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，得到了不同情況下感應(yīng)電流的表達(dá)式，并對(duì)其合理性進(jìn)行了分析.最后將動(dòng)態(tài)電磁關(guān)系應(yīng)用到機(jī)械系統(tǒng)變剛度電磁支撐裝置中，得到了不同情況下電磁支撐裝置存在的附加支撐剛度參數(shù)和附加阻尼參數(shù)的表達(dá)式，合理解釋了電磁支撐裝置在實(shí)驗(yàn)中存在附加阻尼參數(shù)的現(xiàn)象，從而也為磁力機(jī)械產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和工作參數(shù)的合理確定提供了理論依據(jù).

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