方金輝，王智勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇南京 210044)

反例思想在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用

方金輝，王智勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇南京 210044)

通過無界函數(shù)與函數(shù)趨于無窮大的關(guān)系和中值定理只在實數(shù)范圍內(nèi)成立兩個反例，說明運用反例思想有利于加深學(xué)生對概念、定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性，從而提高教學(xué)效果.

數(shù)學(xué)分析;反例;教學(xué);無界函數(shù);中值定理

反例思想是數(shù)學(xué)分析中的重要思想，對于概念、性質(zhì)的理解以及問題的研究與論證都具有不可替代的作用.恰當(dāng)運用反例，對于正確理解概念，鞏固和掌握定理、公式、法則，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，預(yù)防和糾正錯誤，具有十分重要的作用［1－3］.

1 注重反例加深對數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)分析中許多概念都是以抽象的數(shù)學(xué)語言描述，學(xué)生不易憑直觀思考并理解其含義，此時恰當(dāng)運用反例，不但可以加深學(xué)生對概念的理解，而且還可以溝通概念與概念之間的聯(lián)系［4］.

例1無界函數(shù)與函數(shù)趨于無窮大的關(guān)系.

無界函數(shù)的定義與函數(shù)趨于無窮大的定義有些相似，然而這兩個概念有本質(zhì)上的差異.若x→x0時，f(x)→∞，則f在x0的每個領(lǐng)域內(nèi)必定無界.反之，函數(shù)f在x0的任何領(lǐng)域內(nèi)都是無界的，但當(dāng)x→x0時，f(x)并不一定趨于無窮大.

由此可見，無界函數(shù)與函數(shù)極限趨于無窮大并不等價.

2 應(yīng)用反例培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性

中值定理是數(shù)學(xué)分析課程中的一個重要定理，但學(xué)生在學(xué)習(xí)時往往會忽略定理成立是在實數(shù)域范圍內(nèi)這個隱含條件.

例2羅爾(Rolle)中值定理只在實數(shù)域范圍內(nèi)成立.

羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)f滿足條件:①f在［a，b］上連續(xù);②f在(a，b)內(nèi)可導(dǎo);③f(a)= f(b)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f'(ξ)=0.

羅爾中值定理只在實數(shù)域范圍內(nèi)成立.事實上，令f(x)=cos x+i sin x，x∈R，此函數(shù)是處處連續(xù)和可微的，但是不存在區(qū)間(a，b)，使得ξ∈(a，b)滿足

上述反例說明，對于復(fù)值函數(shù)而言，中值定理不再有效.

3 小結(jié)

數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實踐表明，在教學(xué)過程中，恰當(dāng)運用反例，對于學(xué)生理解概念，克服對定理認識上的偏差，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性具有重要作用.恰當(dāng)?shù)剡\用反例思想，確實在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中會起到事半功倍的效果，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

［1］林文賢.反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用［J］.高師理科學(xué)刊，2008，28(4):93－95.

［2］馬建珍.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用［J］.宜賓學(xué)院學(xué)報，2006(12):39－41.

［3］董海瑞.淺談數(shù)學(xué)分析中反例的作用［J］.太原大學(xué)教育學(xué)院學(xué)報，2009，27(1):52－53.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001.

Function of Counter-Examples Idea in Mathematical Analysis Teaching

FANG Jin-hui，WANG Zhi-yong

(Department of Mathematics＆Statistics，Nanjing University of Information Science＆Technology，Nanjing 210044，China)

By two counter-examples of the relationship between unbounded function and conclusion that the function goes to infinity and the fact that the mean value theorem only works in the range of real number，it is stated that counter-examples idea can make students understand conceptions and theorems better，and foster the preciseness of students’thinking，so the teaching effect can be increased.

mathematical analysis;counter-examples;teaching;unbounded function;mean value theorem

G642.0;O171

A

1007－0834(2012)02－0057－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.017

2012－03－05

國家自然科學(xué)基金(11126302);江蘇省高校自然科學(xué)基金(11KJB110006)

方金輝(1984—)，女，安徽寧國人，南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師，博士，主要研究方向:數(shù)論.