董彥彥，邱 祎

(1.鄭州大學(xué)體育學(xué)院，河南鄭州 450044;2.河南財(cái)政稅務(wù)高等?？茖W(xué)校學(xué)生處，河南鄭州 451464)

平均跟蹤性的兩個(gè)性質(zhì)

董彥彥1，邱 祎2

(1.鄭州大學(xué)體育學(xué)院，河南鄭州 450044;2.河南財(cái)政稅務(wù)高等?？茖W(xué)校學(xué)生處，河南鄭州 451464)

給出了在緊致度量空間上具有平均跟蹤性的自同胚f:X→X的兩個(gè)性質(zhì).首先證明了f是鏈混合的，其次證明了若空間中周期點(diǎn)稠密，則f是Devaney混沌的.

平均跟蹤性;鏈混合;Devaney混沌

1 引言及定義

偽軌跟蹤性與系統(tǒng)的穩(wěn)定和混沌性態(tài)都有著密切的聯(lián)系，在動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論中起著重要的作用，任何一個(gè)擾動(dòng)系統(tǒng)的軌道均可稱為系統(tǒng)的偽軌.在刻畫Anosov微分同胚性質(zhì)時(shí)，平均跟蹤性的概念被引入，在文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］中研究了緊致度量空間上平均跟蹤性的性質(zhì).復(fù)雜性(拓?fù)潇?、混合性、混沌?的研究一直在動(dòng)力系統(tǒng)理論中引起重視，本文在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了鏈混合和Devaney混沌.文獻(xiàn)［4］證明了緊致度量空間中，具有平均跟蹤性的自同胚是鏈可遷的，本文得到了一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)果，具有平均跟蹤性的自同胚也是鏈混合的.最后我們證明了在緊致度量空間上，如果周期點(diǎn)稠密，且其上的自同胚f具有平均跟蹤性，則這個(gè)系統(tǒng)是Devaney混沌的.

下面給出有關(guān)的記號(hào)和定義.設(shè)(X，d)為度量空間，f是X上的連續(xù)自映射.Z表示所有整數(shù)的集合，Z+表示所有非負(fù)整數(shù)的集合.

定義2［6］設(shè)ε＞0，n∈Z+，若序列{x，x，…，x}滿足d(f(x)，x)＜ε(i=0，1，…，n－1)，則稱

01nii+1此序列是從x0到xn的一個(gè)ε鏈.如果?ε＞0，?x，y∈X，都存在一個(gè)從x到y(tǒng)的ε鏈，那么稱f是鏈可遷的.

定義3［6］如果?ε＞0，?x，y∈X，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，總有一個(gè)從x到y(tǒng)長度為n的ε鏈，那么稱f是鏈混合的.

定義4［7］設(shè)X是緊致度量空間，f是X上的連續(xù)自映射.如果存在δ＞0，使得對(duì)每一點(diǎn)x∈X和x的任意鄰域Ux，存在y∈Ux和n＞0，滿足d(fn(x)，fn(y))＞δ，那么稱f對(duì)初值敏感依賴.

定義5［7］設(shè)X是緊致度量空間，f是X上的連續(xù)自映射，如果f滿足:①f是拓?fù)鋫鬟f的;②f的周期點(diǎn)在X內(nèi)處處稠密，即;③f對(duì)初值敏感依賴，那么稱f在Devaney意義下是混沌的.

2 平均跟蹤性與鏈混合

從以上定義可以知道，若空間中任意兩點(diǎn)間只要存在一條ε鏈就稱為鏈可遷，若兩點(diǎn)間存在無數(shù)條ε鏈就稱為鏈混合.可見，鏈混合的概念要比鏈可遷強(qiáng).

設(shè)(Xi，di)，i=1，2，是度量空間，di是Xi上的度量.X1×X2是乘積空間，且有度量d((x1，x2)，(y1，y2))=max{d1(x1，y1)，d2(x2，y2)}，其中x1，y1∈X1，x2，y2∈X2.設(shè)fi是Xi上的自同胚，令f1×f2(x，y)=(f1(x)，f2(y))(x∈X1，y∈X2)，則f=f1×f2是X1×X2上的自同胚.

定理2設(shè)f是緊致度量空間(X，d)上的自同胚，若f具有ASP，則f是鏈混合的.

證明 由引理1和定理1得，f有ASP?f×f有ASP?f×f鏈可遷?f鏈混合.

3 具有平均跟蹤性的系統(tǒng)是Devaney混沌的條件

如果要說明一個(gè)系統(tǒng)是Devaney混沌的，那么要驗(yàn)證定義5中的3個(gè)條件，但在文獻(xiàn)［7］中證明它們之間不是相互獨(dú)立的，即:拓?fù)鋫鬟f和周期點(diǎn)稠密可推出對(duì)初值敏感依賴.

定理3設(shè)f是緊致度量空間(X，d)上的自同胚，f具有ASP.如果X中的周期點(diǎn)稠密，那么f是Devaney混沌的.

證明 設(shè)U，V是X中任意兩個(gè)非空開集.因?yàn)?，所以存在周期點(diǎn)x，y及ε0＞0，滿足B(x，ε0)?U，B(y，ε0)?V.設(shè)x，y的周期分別為m，n，即fm(x)=x，fn(y)=y.由f－1的一致連續(xù)性可得，對(duì)于ε0＞0，?ε＜ε0，使得任意z，z'∈X，有d(z，z')＜ε?d(f－l(z)，f－l(z'))＜ε0，其中0≤l≤max{m，n}.設(shè)D=max(x，y)∈X×Xd(x，y).設(shè)δ=δ()＞0滿足f具有平均跟蹤性的定義.取足夠大的N0＞0，使

那么這個(gè)序列從i=0到i=2N0－1的項(xiàng)為

則當(dāng)n≥N0時(shí)，對(duì)?k∈Z有

斷言 存在無限多個(gè)正整數(shù)i，j，使得

只證明(4)式.若不成立，則存在自然數(shù)N，使得對(duì)所有i＞N，當(dāng)xi∈{x0=x，x1=f(x)，…= fN0－1(x)}時(shí)，有d(fi(z0)，xi)≥ε，將有.這就得到一個(gè)矛盾.相似地，對(duì)(5)式也有此結(jié)果.因此斷言成立.那么可以選擇0＜i0＜j0，使得

因?yàn)閤，y是周期分別為m，n的周期點(diǎn)，所以存在0≤i1＜m，0≤j1＜n，且j0－j1＞i0－i1，滿足)==yj0.即d)，)＜ε，d(，))＜ε.由f－1的一致連續(xù)性可得

則fj0－j1－(i0－i1)(U)∩V≠?，所以f具有拓?fù)鋫鬟f性.

再由文獻(xiàn)［7］得f對(duì)初值敏感依賴.因此系統(tǒng)(X，f)是Devaney混沌的.

［1］ SAKAI K.Shadowing properties of L－h(huán)yperbolic homeomorphisms［J］.Topology and Its Applications，2001，112(3):229－243.

［2］ SAKAI K.Vatious shadowing properties for positively expansive maps［J］.Topology and Its Applications，2003，131(1):15－31.

［3］ 邱祎.動(dòng)力系統(tǒng)中兩類跟蹤性的研究［D］.桂林:廣西師范大學(xué)，2007.

［4］ ZHANG YONG.On the average－shadowing property［J］.Acta Sci Natur Vniv Pekinensis，2001，37(5):648－651.

［5］ BLANK M L.Metric properties of trajectories of dynamical systems with stochastic behavior［J］.Ergodic Theory Dynamic Systems，1988，8(3): 365－378.

［6］ 楊潤生.偽軌跟蹤與一致正熵［J］.數(shù)學(xué)年刊，1996，17(4):411－414.

［7］ 周作領(lǐng).符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)［M］.上海:上?？萍冀逃霭嫔?，1997.

Two Properties of Average Shadowing Property

DONG Yan-yan1，QIU Yi2

(1.College of Physical Education，Zhengzhou University，Zhengzhou450044，China; 2.Student Affairs Office，Henan College of Finance and Taxation，Zhengzhou451464，China)

Two properties of average shadowing property with homeomorphismf:X→Xin compact metric space are given.The first property is thatfis chain mixing，the second is that if the periodic point is dense in the compact metric space，thenfis Devaney chaos.

average shadowing property;chain mixing;Devaney chaos

O189.1

A

1007－0834(2012)01－0026－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.01.009

2011－12－26

董彥彥(1978—)，女，河南舞鋼人，鄭州大學(xué)體育學(xué)院教師.